2015高考数学一轮课件：5-7解三角形应用举例

所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝30°.
由正弦定理，得 sin
A∠BACB＝sin
B∠CCAB，
则BC＝ABs·isnin3100°5°＝50( 6＋ 2)(m)．
第三十页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长就是该 河段的宽度．在Rt△BDC中，
答案：
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●一个程序 解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知 与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的 模型．
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(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单 位问题．近似计算的要求等．
，AB为定值，BE最小时，仰角最大．要求出塔高AB，必须先
求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)．
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解析：如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进， CD＝40，此时∠DBF＝45°，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝ 30°，
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则AE＝x－20 m，tan60°＝CBDD，
∴BD＝taCn6D0°＝
x＝ 3
33x(m)．
在△AEC中，x－20＝ 33x，解得x＝10(3＋ 3) m.
故山高CD为10(3＋ 3)m.
答案：10(3＋ 3) m.
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考点三 测量角度问题 【例3】 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军
注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余 弦定理要恰当．
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通关训练1 如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了 测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的 点C，测得∠CAB＝105°，∠CBA＝45°，且AB＝100 m.
(1)求sin ∠CAB的值； (2)求该河段的宽度．
答案：B
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2．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧， 选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝ 105°，则A、B两点的距离为( )
A．50 2 m C．25 2 m
B．50 3 m 25 2
D. 2 m
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解析：如图，∠CBA＝
1 2
(180°－80°)＝50°，α＝60°－50°＝
10°，故选B.
答案：D
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4．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝ 75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为__________千米．
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°. 所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23 h才能靠近渔轮． 答案：舰艇以66.8°的方位角航行，需23 h才能靠近渔轮．
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点评：对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键 量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件．
CD＝BC·sin 45°＝50( 6＋ 2)× 22＝50( 3＋1)(m)． 所以该河段的宽度为50( 3＋1) m.
答案：(1)
6＋ 4
2；(2)50(
3＋1) m.
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考点二 测量高度问题 【例2】 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，
【复习指导】 (1)会从实际问题抽象中解三角形问题，培 养建模能力；(2)掌握解三角形实际应用的基本方法，体会数学在 实际问题中的应用．
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教材回归 自主学习
必考必记 夯基固本
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1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 □1 ________的 角叫仰角，在水平线□2 ________的角叫俯角(如图①)．
望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．
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思维启迪：依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前
进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只
有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝
AB BE
舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的 速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营 救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．
思维启迪：本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相 遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三 角形．
6＋ 2
2 .
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝(
3)2＋
6＋ 2
22－2×
3×
6＋ 2
2×cos75°
＝3＋2＋ 3－ 3＝5，
∴AB＝ 5(km)，∴A、B之间的距离为 5 km.
答案： 5km.
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点评：这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离 不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题 意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．
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解析：(1)sin ∠CAB＝sin105°
＝sin(60°＋45°)
＝sin 60°cos45°＋cos60°sin 45°
＝ 23× 22＋12× 22＝
6＋ 4
2 .
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(2)因为∠CAB＝105°，∠CBA＝45°，
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2．方位角
从指北方向□3 ________转到目标方向线的水平角，如B点的
方位角为α(如图②)．
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3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③)
(1)北偏东α°，即由指北方向 □4 ________旋转α°到达目标方
向．
考点研析 变式通关
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考点一 测量距离问题 【例1】 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 3 km
的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°， ∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．
思维启迪：将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用 正、余弦定理解三角形．
第五章
三角函数、三角恒等变换、解三角形
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第七节 解三角形应用举例
教材回归 自主学习
核心考点 引领通关
考题调研 成功体验
开卷速查 规范特训
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【考点分析】 考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题 中和三角形有关的角度、方向、距离等测量问题．
解析：由正弦定理得
AB＝AC·sisnin∠B ACB＝50×1
2 2 ＝50
2(m)．
2
答案：A
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3．已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在 观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10°
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●两种情形 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个 三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个 以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形， 然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中 列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
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解析：如图所示，在△ACD中， ∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°， ∴AC＝CD＝ 3 km. 在△BCD中，∠BCD＝45°， ∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
第二十五页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
∴BC＝3ssiinn6705°°＝
第四十二页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
即360t2－90t－100＝0，解得t＝
2 3
或t＝－152
(舍去)．所以舰艇靠近
渔轮所需的时间为23 h．此时AB＝14，BC＝6.
在△ABC中，根据正弦定理得sin∠BCCAB＝sinA1B20°，
所以sin∠CAB＝6×1423＝3143，
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第十九页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
解析：如图所示，由题意知∠C＝45°，
由正弦定理得siAn6C0°＝sin245°，
∴AC＝ 22·23＝ 6. 2
答案： 6
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5．一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔 恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏 东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行 __________海里．
第十二页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC
＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15°
B．北偏西15°
C．北偏东10°
D．北偏西10°
第十三页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
解析：如图所示，∠ACB＝90°， 又AC＝BC， ∴∠CBA＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A在点B的北偏西15°.
(2)北偏西α°，即由指北方向 □5 ________旋转α°到达目标方
向． (3)南偏西等其他方向角类似．
第七页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
4．坡度(比)
坡面与水平面所成的 □6 ______的度数(如图④，角θ为坡
角)． 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度
(比))．
第八页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
第三十七页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
通关训练2 如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶 C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝ 20 m，求山高CD.
第三十八页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
解析：如图，设CD＝x m，
第三十九页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
第四十一页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
解析：如图 所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°， 设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝ 21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－ 2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×12，
第三十五页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
在Rt△ABE中，∠AEB＝30°， ∴AB＝BEtan30°＝130(3－ 3)(米)． 故所求的塔高为130(3－ 3)米． 答案：130(3－ 3)米．
第三十六页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
点评：在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出 准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进 行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．
第二十一页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
解析：如图，由题意知在△ABC中，∠ACB＝75°－60°＝
15°，B＝15°，
∴AC＝AB＝8.
在Rt△AOC中，OC＝AC·sin 30°＝4.
∴这艘船每小时航行41＝8海里．
答案：8
2
第二十二页，编辑于星期五：十三点 二十一分。
核心考点 引领通关

在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正
弦定理，得
sin∠CDDBC＝sin∠BDBCD，
∴BD＝4s0insi1n3350°°＝20 2(米)． ∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.
在Rt△BED中，
BE＝DBsin15°＝20
2×
6－ 4
2＝10(
3－1)(米)．