西藏自治区拉萨市北京实验中学2025届高考仿真卷数学试题含解析

西藏自治区拉萨市北京实验中学2025届高考仿真卷数学试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等式23
24
2
14012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++成立，则2414a a a ++
+=（ ）
A ．0
B ．5
C ．7
D ．13
2．双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a
=-，过点1F 且与l 垂直的直线分
别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足111
22
OP OF OQ =
+，则该双曲线的离心率为（ ） A
B ．3
C
D ．2
3．若向量(1,5),(2,1)a b ==-，则(2)a a b ⋅+=（ ） A ．30
B ．31
C ．32
D ．33
4．已知集合{}21|A x log x =<
，集合{
|B y y ==，则A B =（ ）
A ．(),2-∞
B ．(],2-∞
C ．()0,2
D ．[)0,+∞
5．设x ，y 满足约束条件21210
x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，若32z x y =-+的最大值为n ，
则2n
x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( )
A ．60
B ．80
C ．90
D ．120
6．若复数12bi
z i
-=
+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3
B ．3±
C ．3-
D
．7．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）
A ．甲7件，乙3件
B ．甲9件，乙2件
C ．甲4件，乙5件
D ．甲2件，乙6件
8．已知i 是虚数单位，则复数
2
4
(1)i =-（ ）
A ．2i
B ．2i -
C ．2
D ．2-
9．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线
的离心率为2e ，若112PF F F =，则2
133
e e +的最小值为（ ） A
．6+
B
．6+
C ．8
D ．6
10．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．数列{}n a 满足：3111
,25
n n n n a a a a a ++=
-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021 B ．2021 C ．919 D ．1819
12．已知函数2
(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n
+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是
( )
A ．1,2m n ==-
B ．1,2m n =-=
C ．1,2m n ==
D ．1,2m n =-=-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若
i
21i a -=+，i 为虚数单位，则正实数a 的值为______. 14．若复数13i z =-（i 是虚数单位），则(10)z z -=________
15．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为_______． 16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若366,8S S ==-，则9S =____. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.
（1）若函数()f x 在()0+∞，
上单调递减，且函数()g x 在02
，上单调递增，求实数m 的值；
（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+++⋯+<
⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（*n N ∈，且2n ≥）. 18．（12分）已知椭圆22
:143
x y C +=的右顶点为D ，E 为上顶点，点A 为椭圆C 上一动点．
（1）若DE AE ⊥，求直线AD 与y 轴的交点坐标；
（2）设F 为椭圆C 的右焦点，过点()4,0M 与x 轴垂直的直线为0l ，FM 的中点为N ，过点A 作直线0l 的垂线，垂足为B ，求证：直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上．
19．（12分）已知02
π
ϕ<<，函数()()22cos f x x x ϕ=
+-． （1）若3
π
ϕ=，求()f x 的单调递增区间；
（2）若164f π⎛⎫=-
⎪
⎝⎭
，求sin ϕ的值． 20．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴
正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=. （1）当4
π
α
=
时，求C 与l 的交点的极坐标； （2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为(1,1)M ，求||AB 的值.
21．（12分）a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知a ＝3，sin sin sin c C a A b B =+，且B ＝60°. （1）求△ABC 的面积；
（2）若D ，E 是BC 边上的三等分点，求sin DAE ∠.
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y α
α=⎧⎨=⎩
（α为参数，将曲线C 经过伸缩变换112x x y y =⎧⎨
=⎩后得到曲线1C .在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 50ρθρθ+-=. （1）说明曲线1C 是哪一种曲线，并将曲线1C 的方程化为极坐标方程；
（2）已知点M 是曲线1C 上的任意一点，又直线l 上有两点E 和F ，且||5EF =，又点E 的极角为2
π
，点F 的极角为锐角.求： ①点F 的极角；
②EMF ∆面积的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可. 【详解】
由23
24
2
14012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++可知：
令0x =，得0011a a ⇒==； 令1x =，得012140121411(1)a a a a a a a a =+++
+++++⇒=；
令1x =-，得0123140123142727(2)()()a a a a a a a a a a =-++-++-++⇒=+-+
，
(2)(1)+得，024********(28)14a a a a a a a a ++++=⇒++++=，而01a =，所以
241413a a a ++
+=.
故选：D 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力. 2、A 【解析】
设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为b
x y c a =-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()
2412222a b y y b a c =-，
根据向量关系化简到229b a =，得到离心率. 【详解】
设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为b
x y c a
=
-. 联立22
22
,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()
442324
20b a y ab cy a b --+=，
则()()324
121222
2222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.
因为111
22
OP OF OQ =
+，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()
()()()
2
26222
2
1222
22222412
4942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =， 故该双曲线的离心率10e =. 故选：A .
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 3、C 【解析】
先求出2a b +,再与a 相乘即可求出答案. 【详解】
因为2(1,5)(4,2)(3,7)a b +=+-=-,所以(2)35732a a b ⋅+=-+⨯=. 故选:C. 【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题. 4、D 【解析】
可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】
解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；
∴[)0,A B =+∞．
故选D ． 【点睛】
考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算． 5、B 【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
32z x y =-+，即322
z
y x =
+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.
5
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()3
55521551221r
r r r r r r r T C x C x
x ---+⎛⎫=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝
⎭，
取2r
得到2x 项的系数为：()2
25252180C -⋅⋅-=.
故选：B .
【点睛】
本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 6、C 【解析】
利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可. 【详解】
()221125
b b i
bi z i --+-=
=
+，又z 的实部与虚部相等，
221b b ∴-=+，解得3b =-.
故选:C 【点睛】
本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用. 7、D 【解析】
由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】
设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*
4750,
,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩
1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，
显然当55
99
y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 【点睛】
本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题. 8、A 【解析】
根据复数的基本运算求解即可. 【详解】
22
4422(1)2i i i i i
===---. 故选：A
本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题. 9、C 【解析】
由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2
133
e e +，结合基本不等式即可求解. 【详解】
设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1c e a =
，2c
e a ='
，设2PF m = 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
1222m PF PF a a c +=⇒=
+，2122
m
PF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
68≥+=
当且仅当7
3
a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 10、A 【解析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可. 【详解】
当m ⊥平面α时，若l ∥α”则“l ⊥m ”成立，即充分性成立， 若l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，即必要性不成立， 则“l ∥α”是“l ⊥m ”充分不必要条件，
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题 11、A 【解析】
分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知
1112n n a a +-=，进而可知121
n a n =-，利用裂项相消法求和即可． 详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴
111
2n n
a a +-=， 又∵3
1
a =5，
∴
()311
2n 32n 1n a a =+-=-，即121
n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫
=
-=- ⎪-+⎝⎭
，
∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111
111110
112335
192122121
⎛⎫⎛⎫-+-+
+
-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子
的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++
⎝⎭
；
（2）
1
k
=
； （3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
；（4）()()11122n n n =++ ()()()11
112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项
之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 12、A 【解析】
由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n . 【详解】
根据题意，20
1
x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)，
又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-=
==+++ 1mn
x n
-+， 所以1,2m n ==-. 故选：A. 【点睛】
本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13 【解析】
利用复数模的运算性质，即可得答案． 【详解】
2
=，0a >，解得a =
． 【点睛】
本题考查复数模的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 14、30i 【解析】
直接根据复数的代数形式四则运算法则计算即可． 【详解】
=13z i +，(10)(13)(1310)30z z i i i ∴-=-+-=．
【点睛】
本题主要考查复数的代数形式四则运算法则的应用． 15、24 【解析】
由分层抽样的知识可得
2400
903624002000n
⨯=++，即1600n =，所以高三被抽取的人数为
1600
9024240020001600
⨯=++，应填答案24．
16、42- 【解析】
由3S ，63S S -，96S S -成等差数列，代入366,8S S ==-可得9S 的值.
【详解】
解：由等差数列的性质可得：3S ，63S S -，96S S -成等差数列，
可得：633962()S S S S S -=+-，代入366,8S S ==-，
可得：942S =-，
故答案为：42-.
【点睛】
本题主要考查等差数列前n 项和的性质，相对不难.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1；（2）见解析
【解析】
（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值；
（2）由（1）可知当0x >时，()ln 1x x +<，当02
x π
<<时，sin x x <，因而()()
*111sin1sin sin sin 0,213,221n N n n n ⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，从而不等式可证明. 【详解】
（1）∵函数()f x 在()0+∞，
上单调递减， ∴()101m f x x '=
-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，
又∵函数()g x 在02
，上单调递增， ∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，
上恒成立，m 1≥，
∴综上可知，1m =.
（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，
上为减函数， ()sin g x x x =-在02
，上为增函数，而()()00,00f g ==， ∴当0x >时，()ln
1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()
*111sin1sin sin sin 0,213,221n N n n n ⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sin sin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯ ()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
122n
=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣
⎦， ∴()()()
2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 【点睛】
本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题.
18、（1
）0,⎛ ⎝⎭
（2）见解析
【解析】
（1）直接求出直线AE 方程，与椭圆方程联立求出A 点坐标，从而可得直线AD 方程，得其与y 轴交点坐标； （2）设00(,)A x y ，则0(4,)B y ，求出直线BN 和AF 的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分01x =和01x ≠说明．
【详解】
解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合，
（1）由题知()2,0D
，(E
，则DE k =．因为DE AE ⊥
，所以AE k = 则直线AE
的方程为3y x =+
22314
3y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，可得482525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
故48,25A ⎛- ⎝⎭
．则2548225
DA k ==+AD
的方程为2)14y x =-．令0x =，
得7y =-，故直线AD 与y
轴的交点坐标为0,7⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
． （2）证明：因为(1,0)F ，(4,0)M ，所以5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．设点()00,A x y ，则()04,B y ． 设
当01x =时，设31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则34,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，此时直线AF 与x 轴垂直， 其直线方程为1x =，
直线BN 的方程为305205242
y x -⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭-，即52y x =-． 在方程52y x =-中，令1x =，得32y =-，得交点为31,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭，显然在椭圆C 上． 同理当31,2A ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
时，交点也在椭圆C 上． 当01x ≠时，可设直线BN 的方程为055242
y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，即02532y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，联立方程0002532(1)1y y x y y x x ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪-⎩
， 消去y 得00025(1)321
y y x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，化简并解得005825x x x -=-．
将005825x x x -=-代入00(1)1
y y x x =--中，化简得00325y y x =-． 所以两直线的交点为0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭
． 因为22
000058311425325x y x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
()()()222200000022200025806432580641242525425x x y x x y x x x -+-++=+=---， 又因为2200143
x y +=，所以22004123y x =-， 则()()()()22220000
0022200025258064124202514252525x x x y x x x x x --++-+===---， 所以点0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭
在椭圆C 上．
综上所述，直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上．
【点睛】
本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线方程验证点在曲线．本题考查了学生的运算求解能力．
19、（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦；（2
【解析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()11sin 2262f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，然后解不等式()222262k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+≤+∈，可得出函数()y f x =的单调递增区间；
（2）由164f π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
得出sin 33
πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，并求出cos 3πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用两角差的正弦公式可求出sin ϕ的值. 【详解】 （1）当3π
ϕ=时，(
)211cos 22cos sin 22232222x f x x x x x π⎛⎫+⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11112cos 2sin 242262
x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，
由()222262k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+≤+∈，得()36k x k k Z π
π
ππ-+≤≤+∈，
因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
； （2
）331in 644f ππϕ
⎛⎫⎛⎫=+-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 3πϕ⎛⎫∴+=< ⎪⎝⎭， 02π
ϕ<<，5336π
π
πϕ
∴<+<，5236πππϕ∴<+<，
cos 33πϕ⎛⎫∴+=- ⎪
⎝⎭
， 1sin sin sin 3
3233ππππϕϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢
⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属中等题．
20、（1）
(0,0)，4π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）【解析】
（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为4π
θ=（ρ∈R ），再对ρ分三种情况考虑；
（2）利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案.
【详解】
（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为4π
θ=（ρ∈R ），
当0ρ>时，联立,44cos ,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩
解得交点4π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当0ρ=
时，经检验(0,0)满足两方程，（易漏解之处忽略0ρ=的情况）
当0ρ<时，无交点；
综上，曲线C 与直线l 的点极坐标为(0,0)，4π⎛⎫ ⎪⎝
⎭， （2）把直线l 的参数方程代入曲线C ，得22(sin cos )20t t αα+--=，
可知12
0t t +
=，122t t ⋅=-，
所以12||AB t t =-=
=【点睛】
本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
21、（1；（2）434
【解析】
（1）根据正弦定理，可得△ABC 为直角三角形，然后可计算b ，可得结果.
（2）计算,AE AD ，然后根据余弦定理，可得cos DAE ∠，利用平方关系，可得结果.
【详解】
（1）△ABC 中，由csinC ＝asinA +bsinB ，
利用正弦定理得c 2＝a 2+b 2，所以△ABC 是直角三角形.
又a ＝3，B ＝60°
,所以tan 6033b a ==
所以△ABC 的面积为12S ab ==. （2）设D 靠近点B ，则BD ＝DE ＝EC ＝1.
AE =，AD =
所以222cos 2AE AD DE DAE AE AD +-∠==⋅
所以sin DAE ∠==
. 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属基础题.
22、（1）曲线1C 为圆心在原点，半径为2的圆.1C 的极坐标方程为2ρ=（2）①8π②5,544⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
【解析】
（1）求得曲线C 伸缩变换后所得1C 的参数方程，消参后求得1C 的普通方程，判断出1C 对应的曲线，并将1C 的普通方程转化为极坐标方程.
（2）
①将E 的极角代入直线l 的极坐标方程，由此求得点E 的极径，判断出EOF ∆为等腰三角形，求得直线l 的普通方程，由此求得4FEO π
∠=，进而求得38
FOE π∠=，从而求得点F 的极角.
②解法一：利用曲线1C 的参数方程，求得曲线1C 上的点M 到直线l 的距离d 的表达式，结合三角函数的知识求得d 的最小值和最大值，由此求得EMF ∆面积的取值范围.
解法二：根据曲线1C 表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆1C 上的点到直线l 的距离的最大值和最小值，进而求得EMF ∆面积的取值范围.
【详解】
（1）因为曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩
（α为参数）， 因为11
,2x x y y =⎧⎨=⎩则曲线1C 的参数方程112cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩ 所以1C 的普通方程为22114x y +=.所以曲线1C 为圆心在原点，半径为2的圆.
所以1C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=.
（2）①点E 的极角为2
π，代入直线l 的极坐标方程cos sin 50ρθρθ+-=得点E 极径为5ρ=，且||5EF =，所以EOF ∆为等腰三角形，
又直线l 的普通方程为50x y +-=，
又点F 的极角为锐角，所以4FEO π
∠=，所以38
FOE π∠=， 所以点F 的极角为3288
π
ππ-=. ②解法1：直线l 的普通方程为50x y +-=.
曲线1C 上的点M 到直线l 的距离
d ==. 当sin 14πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，即24k π
απ=+（k ∈Z ）时， d
22=-.
当sin 14πα⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭，即324
k παπ=-（k ∈Z ）时，
d 2
2=+.
所以EMF ∆面积的最大值为1525224⎛⎫⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
；
所以EMF ∆面积的最小值为1525224⎛⎫⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭
；
故EMF ∆面积的取值范围5⎤-+⎥⎣⎦
. 解法2：直线l 的普通方程为50x y +-=.
因为圆1C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离
2d ==，
2>，所以圆1C 与直线l 相离.
所以圆1C 上的点M 到直线l 的距离最大值为22d r +=
+，
最小值为22
d r -=-.
所以EMF ∆面积的最大值为1525224⎛⎫⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
；
所以EMF ∆面积的最小值为15252⎫⨯⨯-=⎪⎪⎝⎭
；
故EMF ∆面积的取值范围5⎤-+⎥⎣⎦
. 【点睛】
本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.。