高考数学二轮解题方法篇：专题1客观题的解题技巧第2讲

第 2 讲五种策略搞定全部填空题
[题型解读 ]填空题是高考三大题型之一，主要考察基础知识、基本方法以及剖析问题、解决
问题的能力，试题多半是教材例题、习题的改编或综合，表现了对通性通法的考察．该题型
的基本特色是：(1)拥有考察目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵巧、答案简洁、明确、
详细，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特色； (2)填空题与选择题有质的差别：①填空题没有备选项，所以，解答时不受诱误扰乱，但同时也缺乏提示；②填空题的结构常常是
在正确的命题或断言中，抽出此中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考察方法比较灵
巧； (3) 从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数目
关系．因为填空题缺乏选项的信息，所以高考题中多半是以定量型问题出现；另一类是定性
填写型，要求填写的是拥有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假
的判断等．近几年出现了定性型的拥有多重选择的填空题．
方法一直接法
直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法例等知识，经过变形、推理、计
算等，得出正确结论，使用此法时，要擅长透过现象看实质，自觉地、存心识地采纳灵巧、
简捷的解法．
例 1
π
M ，N 两点，已知直线 x＝a(0< a< )与函数 f(x)＝ sinx 和函数 g(x)＝cosx 的图象分别交于
2
若 MN ＝1
，则线段 MN 中点的纵坐标为 ________． 5
答案
7 10
分析由题意，知 M( a， sina)， N(a， cosa)，
则 MN 的中点为
1
P(a， (sina＋ cosα)) ．2
而 |MN |＝ |sina－ cosa|＝
1
5.①设 sina＋ cosa＝ t，②
①② 两式分别平方，相加，得2＝127＋ t，解得 t＝± . 255
π
7.又 0<a<，所以 t＝ sina＋ cosa>0，故 t 取
25
所以线段MN 中点的纵坐标为1777
.× ＝.故填
10 2510
拓展训练 1 已知曲线 f(x) ＝x n＋1(n∈N*) 与直线 x＝ 1 交于点 P，设曲线 y＝ f(x)在点 P 处的切线
与 x 交点的横坐 x n， log2014x1＋ log2014x2＋⋯＋log 2014x2013的 ________．答案－1
分析由意知f′(x)＝ (n＋ 1)x n，
点 P 切的斜率k，
k＝ f′(1)＝ n＋ 1，点 P(1,1) 的切方程y－1＝ (n＋ 1)(x－ 1)，
令 y＝ 0，得 x＝ 1－1
＝
n
，即 x n＝
n
. n＋ 1 n＋ 1n＋ 1
n
a n＝ log 2014x n＝ log 2014
n＋ 1
＝log2014n－ log2014(n＋ 1)，
a1＋ a2＋⋯＋a2013＝ (log 20141－ log 20142)＋ (log 20142－ log 20143)＋⋯＋ (log 20142013－ log 20142014)＝－ log 20142014＝－ 1.故填－ 1.
方法二特别法
当填空的独一或条件中供给的信息示意答案是一个定，我只需把中的参量用特别 (或特
别函数、特别角、特别数列、形特别地点、特别点、特别方程、特别模型等 )取代之，即可获得．
例 2如，在△ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 M 的直与直 AB、
AC 分交于不一样的两点
→→→→11
P、Q，若 AP＝λAB，AQ＝μAC，＋＝ ________.
λ μ
答案2
分析由意可知，1
＋
1
的与点 P、 Q 的地点没关，而当直BC 与直λ μ
PQ 重合，有λ＝μ＝ 1，所以1
＋
1
＝ 2.
λμ
拓展2在△ABC中，角A、B、C所的分a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，cosA＋cosC
＝ ________.
1＋ cosAcosC
答案4 5
分析令 a＝ 3，b＝ 4， c＝5，△ ABC 直角三角形，
且 cosA＝4
， cosC＝ 0，代入所求式子，得5
cosA＋cosC
4
＋ 0
44 5
＝
4＝，故填.
1＋ cosAcosC55
1＋5×0
方法三清除法
填空中的清除法主要用于多，判断正确命的号的目，解决法是依据条件和
有关的知识来逐一考证清除，进而确立出正确的命题或说法．
例 3设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对随意的x∈R恒有f(x＋ 1)＝ f(x－ 1)，已知当
x∈ [0,1] 时， f(x) ＝2x，则有
① 2 是函数 f(x)的周期；
②函数 f(x)在 (1,2)上是减函数，在(2,3) 上是增函数；
③函数 f(x)的最大值是1，最小值是0.
此中全部正确命题的序号是________．
答案①②
分析在 f(x＋ 1)＝f(x－ 1)中，令 x－ 1＝ t，
则有 f(t＋2) ＝ f(t)，
所以 2 是函数 f(x) 的周期，故①正确；
当 x∈ [0,1] 时， f(x)＝ 2x是增函数，
则 f(x)在 [－ 1,0]上是减函数，
依据函数的周期性知，函数f(x)在 (1,2)上是减函数，
在 (2,3)上是增函数，故② 正确；
在区间 [ － 1,1]上， f( x)的最大值为 f(1)＝ f(－1) ＝2，
f(x)的最小值为f(0) ＝1，故③错误．
拓展训练 3在实数集 R 中，定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，近似地，在平面
向量集 D＝ { a|a＝ (x， y)， x∈R， y∈R} 上也能够定义一个称为“序”的关系，记为“>”定义如．
下：关于随意的两个向量a1＝(x1，y1)， a2＝(x2，y2)，当且仅当“x1>x2”或“x1＝x2且y1>y2”时，
a1>a2成立．按上述定义的关系“>”，给出以下四个命题：
①若 e1＝(1,0)， e2＝(0,1)，0＝(0,0)，则 e1>e2>0；
②若 a1>a2， a2>a3，则 a1>a3；
③若 a1>a2，则关于随意a∈D， a1＋ a>a2＋ a；
④关于随意愿量a>0，0＝(0,0)，若 a1>a2，则 a·a1>a·a2.
此中是真命题的有________． (写出全部真命题的编号)
答案①②③
分析关于①，e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，因为横坐标1>0，由定义可知 e12，e2＝(0,1)，0＝(0,0)，
>e
由横坐标 0＝ 0 且纵坐标 1>0 可知e2 1 2
>0，所以e >e >0
，故① 正确；
关于②， a1>a2当且仅当“x1>x2”或“x1＝x2且y1>y2”， a2>a3当且仅当“x2>x3”或“x2＝x3且
y2>y3”，可得“x1>x3”或“x1＝ x3且 y1>y3”，故可得a1>a3，故②正确；
关于③，设 a＝( x，y)，则 a1＋ a＝(x1＋x，y1＋y)，a2＋ a＝(x2＋x，y2＋y)，又 a1>a2时，
“x1>x2”或“x1＝ x2且 y1>y2”，所以有“x1＋ x>x2＋ x”或“x1＋ x＝x2＋x 且 y1＋ y>y2＋y”，即a1＋a>a2＋a，故③正确；
关于 ④，举反例，设 a ＝ (0,1)，知足 a >0，若 a 1＝ (2,0) ， a 2＝ (1,0)， a 1>a 2，但 a ·a 1＝ 0×2＋ 1×0
＝ 0， a ·a 2＝ 0×1＋ 1×0＝ 0，此时， a ·a 1＝a ·a 2 ，故 ④ 错误．方法四 数形联合法
关于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则常常能够借助图形的直观性
快速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果． Venn 图、三角函数线、函数图象，以及
方程的曲线等都是常用的图形．
例 4
π →→→
在△ ABC 中，∠ B ＝ ， O 为 △ABC 的外心， P 为劣弧 AC 上一动点，且 OP ＝ xOA ＋yOC
3
(x ， y ∈ R ) ，则 x ＋ y 的取值范围为 ________． 答案 [1,2]
分析
如图是成立直角坐标系，
设圆 O 的半径为 1，
π
∵∠B ＝，
3
∴ A(－
3
1 3 1
2 ，－ )， C(
，－
)．
2
2
2
设 P(cos θ，sin θ)，
7π 11π
则 θ∈ [ 6 ， 6 ] ，
∵ sin θ＝－ x ＋y
， ∴ x ＋ y ＝－ 2sin θ∈
[1,2] ． 2 拓展训练 4 若不等式
4x － x 2>(a － 1)x 的解集为 A ，且 A? { x|0<x<2} ，则实数
a 的取值范围
是 ________．
答案 [2，＋ ∞)
分析
在同一坐标系中作出函数
y ＝ 4x －x 2和函数 y ＝ (a － 1)x 的图象 (如
图 )，由图可知斜率 a － 1≥1，即 a ≥2.
所以实数 a 的取值范围是 [2，＋ ∞)．
方法五 估量法
当题目中的条件有时不可以很好地进行转变，或许条件中波及的量在变化时，我们不方便很好地定量计算，这时常常采纳估量法来解决．
例 5
已知点 G 是 △ ABC 的重心，点 →→→
P 是 △ GBC 内一点，若 AP ＝ λAB ＋ μAC ，则 λ＋ μ的取
值
范围是 ________．
答案
(2
，1)
3
分析
当 P 点在 G 点地点时， λ＝ μ＝ 1，
3
2
所以 λ＋ μ＝ ，
当 P 点位于 B 点地点时 λ＝ 1， μ＝ 0， λ＋μ＝ 1，当 P 点位于 C 点地点时， λ＝ 0， μ＝ 1，λ＋ μ＝ 1，
2
综上， λ＋ μ范围为 ( ， 1)． 拓展训练 5 不等式
答案
(1，＋ ∞)
1＋lg x>1－ lgx 的解集为
________．
分析
先求
x 的取值范围得
x ≥1 ，
10
若 x>1 则 1＋ lgx>1,1－ lg x<1 不等式成立．
1
若 10≤x ≤1，
则 1＋ lgx ≤1－ lgx ，原不等式不可立．故正确答案为 x>1.
1．已知在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 B ＝ 60°，2b 2＝ 3ac ，则角 A 的大小为 ________．
π π
答案
6或 2
分析
由 2b 2＝ 3ac 及正弦定理可知，
2sin 2B ＝ 3sinAsinC ，
故 sinAsinC ＝
1
2，
cos(A ＋ C) ＝cosAcosC － sinAsinC
＝ cosAcosC － 1
，
2
即 cosAcosC － 12＝－ 1
2，
cosAcosC ＝ 0，
故 cosA ＝ 0 或 cosC ＝ 0，可知
π π
A ＝ 或
.
6 2
2.如下图， 在平行四边形 ABCD 中，AP ⊥ BD ，垂足为 P ，且 AP ＝ 3，
→ →
则 AP ·AC ＝________.
答案 18
分析
方法一
→ → → → →→→→→
∵ AP ·AC ＝ AP ·(AB ＋BC) ＝ AP ·AB ＋ AP ·BC
→ → → → → → → → →
＝ AP ·AB ＋AP ·(BD ＋ DC )＝ AP ·BD ＋2AP ·AB ，
→ →
∵ AP ⊥ BD ， ∴AP ·BD ＝ 0.
→ → → → → 2 又 ∵ AP ·AB ＝ |AP||AB|cos ∠ BAP ＝ |AP| ，
→ → → 2
∴ AP ·AC ＝2|AP | ＝ 2×9＝ 18.
方法二
→ →
把平行四边形 ABCD 当作正方形，则 P 点为对角线的交点， AC ＝ 6，则 AP ·AC ＝ 18.
2x ＋ y ≤4，
3．已知 x ， y 知足拘束条件
x ＋2y ≤4， 则 z ＝ x ＋ y 的最大值为 ________．
x ≥0， y ≥0，
答案
8
3
分析 作出不等式组对应的可行域，如图中暗影部分所示，由 z ＝ x ＋ y
得 y ＝－ x ＋ z ，平移直线 y ＝－ x ，由图象可知当直线 y ＝－ x ＋ z 经过点 B 时，直线 y ＝－ x ＋z 的截距最大，此时
z 最大．
2x ＋y ＝ 4，
x ＝ 4，
3
由
解得
4 x ＋ 2y ＝ 4，
y ＝ ，
3
即 B(4，4)，代入 z ＝ x ＋ y 得 z ＝ 4＋ 4＝ 8
.
33333
4．在 △ABC 中，角 A ＝ 60°， M 是 AB 的中点，若 AB ＝ 2， BC ＝2 3， D 在线段 AC 上运动，
→ →
则 DB ·DM 的最小值为 ________．
23 答案
16
分析 在 △ ABC 中，设角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，依据余弦定理得 a 2＝b 2＋ c 2－ 2bccosA ，
即 12＝b 2＋ 4－ 2b ，即 b 2－ 2b － 8＝ 0，解得 b ＝ 4.
→ → 设 AD ＝ λAC(0≤λ≤1)，
→ → → → → → 则 DB ·DM ＝ (AB － AD) ·(AM － AD )
→ → 1 → →
＝ (AB － λAC) ·( AB － λAC)
2
2 → 2
3 → →
1 → 2
＝ λ|AC| －2λAB ·AC ＋ 2|AB|
2
＝ 16λ－ 6λ＋ 2，
当 λ＝ 3 2
时， 16λ－ 6λ＋ 2 最小，
16
23
最小.
5．定： min{ a1， a2， a3，⋯，a n } 表示a1， a2， a3，⋯， a n中的最小．已知f(x)＝min{ x,5－x，x2－ 2x－ 1} ，且于随意的 n∈N*，均有 f(1)＋ f(2) ＋⋯＋ f(2n－ 1)＋ f(2n) ≤kf( n)成立，常数 k 的取范是 ________．
1
答案[－，0]
分析∵ f(x)＝ min{ x,5－ x， x2－2x－ 1} ，
∴f(1) ＝－ 2， f(2) ＝－ 1，
3
∴ f(1) ＋ f(2)≤kf(1) ，即－ 3≤－ 2k，解得 k≤；
2
同理， f(3)＝ 2，
f(4) ＝ 1，
∴f(1) ＋ f(2)＋ f(3) ＋ f(4)≤kf(2) ，
即－ 2－1＋ 2＋ 1≤k×(－ 1)，解得 k≤0.
由以上可知k 非正数．
当 n≥3 ，
{ f(n)} 是以 2 首，－ 1 公差的等差数列，
f(1) ＋ f(2)＋⋯＋ f(2n－ 1)＋ f(2n)≤kf( n) ，
2＋ 5－2n
即－ 2－1＋×(2n－2)≤k(5－n)，
2
2n2－ 9n＋ 10≥k(n－ 5)，
又 2n2－ 9n＋10≥2×32－9×3＋ 10＝1，
1
k(n－ 5)≤k(3－ 5)＝－ 2k，∴ k≥－2.上所述，常数k 的取范是[－1
， 0]．2
x2y2
6．已知 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0) 的左焦点 F ，C 与原点的直订交于A，B 两点，接
4
， C 的离心率 e＝ ________.
AF， BF .若 |AB |＝10， |AF|＝ 6， cos∠ ABF ＝5
答案5 7
分析如， |BF|＝ m，
由知， m2＋ 100－ 2×10mcos∠ ABF ＝ 36，解得 m＝ 8，所以△ ABF 直角三角形，
所以 |OF |＝ 5，即 c＝ 5，
由的称性知 |BF |＝ |AF ′|＝8， (F ′ 右焦点 )
5
所以 a＝7，所以离心率e＝ .
7．已知 f(x)＝ 2mx2－ 2(4－ m)x＋1， g(x)＝ mx，若同时知足条件：
①? x∈R， f(x)>0 或 g(x)>0；
② ? x∈ (－∞，－ 4)， f(x)g(x)<0.
则实数 m 的取值范围是 ________．
答案(0,8)
分析当 f(x)， g(x)知足条件①时，
m≤0 明显不合题意；
当 m>0 时， f(0)＝ 1>0，
4－m
若对称轴x＝2m≥0，
即 0<m≤4，结论明显成立，
若对称轴x＝4－m
2m <0，即 m>4 ，
只需方程2mx2－2(4 －m)x＋ 1＝0 的鉴别式＝ 4(4－ m)2－8m＝4(m－ 8)(m－ 2)<0 即可，
又 m>4，可得 4<m<8，所以 m∈(0,8) ．
当 f(x)， g( x)知足条件②时，
关于 m∈ (0,8) ， x∈ (－∞，－ 4)， g(x)<0 恒成立，
由①可知，必存在 x0∈ (－∞，－ 4)，
使得 f(x0)>0 成立，故可得m∈ (0,8)．
－x2＋6x＋ e2－ 5e－ 2，x≤e，
8．已知函数 f(x)＝(此中 e 为自然对数的底数，且 e≈ 2.718)．若x－2ln x，x>e
f(6 －a2)>f(a)，则实数 a 的取值范围是 ________．
答案－ 3< a<2
－ 2x＋6， x≤e，
分析∵ f ′(x)＝2
，x>e，
1－
x
当 x≤e 时， f′(x)＝ 6－ 2x＝2(3－ x)>0，
2x－ 2
当 x>e 时， f ′(x)＝ 1－x＝x >0，
∴ f( x)在R上单一递加．
又 f(6－ a2)> f(a)，∴ 6－a2>a，解之得－ 3<a<2.
9．已知函数f(x)＝x|x－ 2|，则不等式f(2－ x) ≤f(1) 的解集为答案[－1，＋∞)
分析函数 y＝ f(x)的图象如图，由不等式f(2－ x)≤f(1) 知，________．
2－x≤ 2＋ 1，进而获得不等式f(2
－ x)≤f(1) 的解集为 [－ 1，＋ ∞)．
10．已知平行四边形 ABCD ，点 P 为四边形内部或许界限上随意一点，向量
→→→
，
AP ＝ xAB ＋ yAD 1 2
则 0≤x ≤ ， 0≤y ≤ 的概率是 ________．
2 3
答案
1
3
分析
由平面向量基本定理及点
P 为 ABCD 内部或界限上随意一点，可知
0≤x ≤1 且 0≤y ≤1，
2 1
1 2 3 × 1
又知足条件的
2 .
x ， y 知足 0≤x ≤ ， 0≤y ≤ ，所以 P(A) ＝
1×1 ＝
2
3
3
11． (2013 ·宁辽 )已知等比数列 { a n } 是递加数列， S n 是 { a n } 的前 n 项和．若 a 1，a 3 是方程 x 2
－5x
＋ 4＝ 0 的两个根，则 S 6＝ ________. 答案 63
分析
∵ a ， a 是方程 x 2
－ 5x ＋ 4＝0 的两根，且 q ＞ 1，
1
3
∴ a 1＝ 1， a 3 ＝4，则公比 q ＝ 2，
6
1×
－2
所以 S 6＝
＝ 63.
12．如下图，在四棱锥 P － ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 知足 ________时，平面 MBD ⊥平面
PCD .(只需填写一个你以为是正确的条件即可
)
答案
DM ⊥PC
分析
易得 BD ⊥ PC.
∴ 当 DM ⊥ PC ，即有 PC ⊥ 平面 MBD .
而 PC? 平面 PCD ， ∴平面 MBD ⊥ 平面 PCD .
13．已知双曲线
x 2 y 2
y ＝ 3x ，它的一个焦点与抛物线
2 2 － 2＝ 1(a>0， b>0) 的一条渐近线方程是
y
a
b
＝ 16x 的焦点同样，则双曲线的方程为 ________．
2
2
答案
x
－ y
＝ 1
4 12
分析
由双曲线
x 2 y 2
y ＝ b
3， ∴ b ＝ 3a.
2 － 2＝ 1(a>0， b>0) 的一条渐近线方程为
3x 得 ＝
a
b
a
2
∵ 抛物线 y ＝ 16x 的焦点 F(4,0)， ∴ c ＝ 4.
∴ 16＝a 2＋( 3a)2， ∴ a 2＝ 4， b 2＝ 12，
2
2
∴ 所求双曲线的方程为 x － y
＝ 1. 4 12
e 4 ， e 5 ， e 6
14.16
25
36(此中 e 为自然对数的底数 )的大小关系是 ________ ．
4 5
6
答案
e
e
e
16<25<
36
分析
因为 e 4 e 4
e
5
e
5
e
6
e
6
e
x
e
4
e
5
16
＝ 2
＝
2
＝ 2
，故可结构函数 2
， f(5)＝
，f(6)＝
4 ，
25
5 ，
36
6 f( x)＝ x ，于是 f(4) ＝16
25
6
e
36
.
而 f ′(x)＝ (
e x
e x ·x 2－ e x ·2x e x x 2－ 2x
2
4
＝
4
，令 f ′(x)>0 得 x<0 或 x>2，即函数 f(x)在 (2，＋ ∞)上
x ) ′＝
x
x
单一递加，所以有
f(4)< f(5)< f(6)，即 e 4 e 5 e 6
16<25<36
.
15．定义区间 [x 1， x 2] (x 1<x 2)的长度为 x 2 －x 1 ，已知函数 f(x)＝ |log 1
x|的定义域为 [a ， b] ，值域
2
为 [0,2] ，则区间 [a ， b] 的长度的最大值与最小值的差为 ________．答案 3
分析
如图， f(1) ＝0， f 1 ＝ f(4)＝ 2， (b － a)max ＝4－ 1＝ 15
，
4 4 4 (b － a)min ＝ 1－ 1＝ 3，则 1
5 － 3
＝3.
4 4 4 4。