导数在高中数学解题中的应用探析

导数在高中数学解题中的应用探析
作者：洛松扎西
来源：《读写算》2013年第11期
摘要：近几年来，导数的相关知识一直是高考命题的重点与热点。

将导数这一概念引入到高中数学教学中，不仅使高中数学的教学更显活力，同时也为函数的求解过程提供了更简单更灵活的解题工具。

利用导数可以更便捷的解决高中数学中一些用传统方法难以解决的问题，并且能够提高解题的准确率与速度，在实际问题的解决中也能发挥作用。

本文通过阐述导数在分析函数及在相关问题中的求解方式，对其在高中数学解题过程中的应用进行探讨。

关键词：导数高中数学解题应用
1.引言
近些年来，导数作为高中数学中的新增知识点成为了各地高考命题的重点。

相关数据显示，在2006年和2007年两年的高考中，全国各地的试卷都涉及到了对于导数知识的考查[1]。

导数是微积分中的基础知识，对于实际问题的解决及函数问题的研究具有推动作用。

对导数知识的考查一般都从不同的角度进行，而且也会和解析几何、函数、不等式等相关知识点综合起来进行命题，需要学生在牢固掌握导数相关知识的基础上能够灵活的加以运用，并且还要将数学知识应用到解决实际问题之中。

所以对于高中学生来说，在高考复习过程中，要加强对导数知识的温习与巩固，并增强在解决数学问题中将相关知识灵活运用的能力[2]。

2.导数在解决高中数学问题中的应用
2.1对函数的单调性进行判断时导数的应用
高中数学中函数的单调性一直是重点内容，它表示的是在一定的区间内，随着自变量的变化，因变量产生的变化情况。

在还没有将导数的知识引入其中前，常根据函数单调性的定义对函数的单调性进行判断。

即在特定的区间内，如果函数中的因变量随着自变量变大也跟着变大则该函数为增函数，因变量随着自变量的增大而变小则是减函数，而相应的区间则是其相应的单调区间。

这种方法对于简单的函数进行单调性判断尚可，一旦遇到较复杂的函数，则这种判断方法会极为繁杂，而且往往难以予以准确证明。

而引入导数的概念后，就可以利用导数进行函数单调性的判断了，这种判断方法既准确又迅速。

在用导数对函数单调性进行判断时，如果是要判断f（x）这一函数在区间[m，n]上的单调性，则只需对其在此区间上求导，所得的导数如果大于零，则该函数在区间[m，n]上单调递增，反之则是单调递减。

在利用导数对函数的单调性进行判断时，最重要的是要对一些常见函数的求导方法清楚并能够熟练掌握，同时要说明函数具有的单调性及其相应的区间。

2.2证明不等式时导数的应用
近年来，高考的命题趋势是考题的综合化和知识运用的灵活性考查。

高中数学高考常见的命题形式之一就是将函数和不等式结合起来进行考查。

而在过去几年的高考试题中，很多与不等式有关的题目都可以将导数运用其中，达到简捷明了解题的效果[3]。

在使用导数证明不等式的过程中，通常的步骤是先把待证明的不等式稍加变形，转换成判断两个函数大小的问题，然后构建出一个辅助函数并进行求导，判断导数在相应区间上的正负，确定辅助函数在相应区间的单调性，从而对两个函数大小进行判断，达到不等式证明的目的。

尤其是在证明对数函数、指数函数和三角函数等相关的不等式时，运用导数知识进行解答更加简便，效率也更高。

利用导数解题不仅可以帮助学生理解不等式、函数和方程等知识点的联系[4]，还可以帮助学生在解题过程中对其性质及概念进行进一步的理解。

2.3解决切线问题时导数的应用
随着高考命题中导数相关知识的考查比重逐步增加，对于一些特殊曲线进行切线问题探讨的题目也不断增加，包括对指数函数曲线、三角曲线、圆锥曲线和对数曲线等的切线研究等，而在这些切线问题中，传统的解答方法不仅费时费力，而且往往无法得出准确答案。

而导数的实质意义就是在曲线上某一点处切线的斜率[5]，这一点决定了它可以很好的利用到对切线问题的解答中，为之提供新的解题方法和解题思路，从而使高考命题具有更加广阔多样的空间。

2.4在求解函数最值中导数的应用
函数求解最值一直以来都是作为高考难点出现的，传统的求解方式也有很多。

而导数的引入为函数最值的求解提供了一种新的解题思路和解题方法，很多时候也是最为简便快捷的解题方法。

如最具典型的二次函数求解最值的题目，由于其所求的在某一区间内的最值是要求得相应区间的最小值或最大值，具有参数，所以也是一个难点。

而解决这一问题的传统方法是数形结合方法，解答过程十分繁琐复杂。

而导数可以用来对此函数在该区间上的单调性及其最值进行判断，并明确其最值与相应区间的对应关系即可，所以解决此问题十分简洁明了。

对于特殊的复合函数要求最值时，难以运用传统解题方法寻找突破口和出发点，而且解题过程复杂，而用导数只需要先将相应的定义域求出，就可以快捷简单的求解其最值。

3.结束语
在高中数学解题中，导数具有非常广泛的应用，除了文中罗列的几种应用之外，还可以应用在立体几何与解析几何的向量问题中。

它可以作为一个纽带将高中数学和下阶段的大学数学的知识内容连接起来，便于学生在大学中学习微积分知识的快速入门与深刻把握。

然而由于导数的内容在课本较后面，学生在解题时常会用比较习惯和熟悉的解题方法来解答，对于导数的应用相对较少，所以在平常的学习和模拟考试中，要加大导数的应用力度，以便为高中数学问题的解决准备多种方法，多种思路，加强解决实际问题的能力。

参考文献：
[1]冯国东.导数在高中数学解题中的运用分析[J].新课程研究（基础教育）
[2]余修伟，高海霞.导数在高中数学解题中的运用分析[J].华章
[3]闰红梅.谈导数在高中数学解题中的应用[J].数学之友
[4]胡益志.导数法在中学数学解题中的应用[J].语数外学习（数学教育）。