中考数学中考数学压轴题 易错题测试综合卷学能测试试卷(1)

一、中考数学压轴题
1．在平面直角坐标系中，直线4(0)3
y x b b =-+>交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，10AB =．
（1）如图1，求b 的值；
（2）如图2，经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ，与x 轴交于点R ，//CD OA ，交AB 于点D ，设线段CD 长为d ，求d 与n 的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 在第四象限，CF 交OA 于点E ，45AEF ∠=︒,点P 在第一象限，PH OA ⊥，点N 在x 轴上，点M 在PH 上，MN 交PE 于点G ，PH EN =，过点E 作EQ CF ⊥，交PH 于点Q ， 32==EQ EF PM ，
∠=∠OBR HNM ，BC CR =，点G 的坐标为1927,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
，连接FN ，求EFN 的面积．
2．如图，AB ∥CD ，定点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，平行线AB ，CD 之间有一动点P ． （1）如图1，当P 点在EF 的左侧时，∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为 ，如图2，当P 点在EF 的右侧时，∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为 ． （2）如图3，当∠EPF ＝90°，F P 平分∠EFC 时，求证：EP 平分∠AEF ；
（3）如图4，QE ，QF 分别平分∠PEB 和∠PFD ，且点P 在EF 左侧．
①若∠EPF ＝60°，则∠EQF ＝ ．
②猜想∠EPF 与∠EQF 的数量关系，并说明理由；
3．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．
（1）求直线BC 的解析式；
（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ∆的面积为S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．
4．已知．在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，3O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内，将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处．
（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．
（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积．
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在线段AD上运动时，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出DP满足的条件：．
6．在平面直角坐标系xOy中，对于点A和图形M，若图形M上存在两点P，Q，使得 ，则称点A是图形M的“倍增点”．
AP AQ
3
（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B -，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；
（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范
围；
（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．
7．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．
（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °
（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．
②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．
（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．
8．如图，在正方形ABCD 中，DC=8，现将四边形BEGC 沿折痕EG(G ，E 分别在DC ，AB 边上)折叠，其顶点B ，C 分别落在边AD 上和边DC 的上部，其对应点设为F ，N 点，且FN 交DC 于M ．
特例体验：
(1)当FD=AF 时，△FDM 的周长是多少?
类比探究：
(2)当FD≠AF≠0时，△FDM 的周长会发生变化吗?请证明你的猜想．
拓展延伸：
(3)同样在FD≠AF≠0的条件下，设AF 为x ，被折起部分(即：四边形FEGN)的面积为S ，试用含x 的代数式表示S ，并问：当x 为何值时，S=26?
9．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC <，O 为AC 中点，点D 在BO 延长线上，CD BC =，AE BC ∥，CE CA =，AE 交BD 于点G ．
（1）若28DCE ∠=︒，求AOB ∠的度数；
（2）求证：AG GE =；
（3）设DC 交GE 于点M ．
①若3AB =，4BC =，求::AG GM ME 的值；
②连结DE ，分别记ABG ，DGM ，DME 的面积为1S ，2S ，3S ，当AC DE 时，123::S S S = ．（直接写出答案）
10．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-
与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；
（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．
11．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝43
AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．
（1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示)
（2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形．
（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）
12．如图，已知抛物线()2
y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；
（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
13．已知四边形ABCD 是正方形，点P 在直线BC 上，点G 在直线AD 上（P ，G 不与正方形顶点重合，且在CD 的同侧），PD =PG ，DF ⊥PG 于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，连结EF ．
（1）如图1，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 上时．
①求证：DF =PG ；
②若AB =3，PC =1，求四边形PEFD 的面积；
（2）如图2，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
14．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．
（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；
（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13
，求DEF ∆的最小内角． （3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．
15．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC
（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；
（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．
①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；
②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由；
（3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．
16．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．
（1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；
（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；
（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．
17．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC △的斜边在AB 在x 轴上，点C 在y 轴上90ACB ∠=︒，OC 、OB 的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两个根，且OC OB <．
（1）求点A 的坐标；
（2）D 是线段AB 上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合），过点D 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边AC 或边BC 于点P ，设点D 的横坐标为t ，线段DP 的长为d ，求d 关于t 的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，当12d =时，请你直接写出点P 的坐标．
18．将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标系中，点0(3)A ，，点()0, 3B ，点(0,0)O
(I)过边OB 上的动点D (点D 不与点B ，O 重合)作DE OB ⊥交AB 于点E ，沿着DE 折叠该纸片，点B 落在射线BO 上的点F 处．
①如图，当D 为OB 中点时，求E 点的坐标；
②连接AF ，当AEF ∆为直角三角形时，求E 点坐标：
(Ⅱ) P 是AB 边上的动点(点 P 不与点B 重合)，将AOP ∆沿OP 所在的直线折叠，得到'A OP ∆，连接'BA ，当'BA 取得最小值时，求P 点坐标(直接写出结果即可)．
19． 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝﹣x+4与x 轴交于点A ，过点A 的抛物线y ＝ax 2+bx 与直线y ＝﹣x+4交于另一点B ，且点B 的横坐标为1．
（1）该抛物线的解析式为；
（2）如图1，Q 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点（不与B 、A 重合），过Q 作QP ⊥x 轴，交x 轴于P ，连接AQ ，M 为AQ 中点，连接PM ，过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ，若点P 的横坐标为t ，点N 的横坐标为n ，求n 与t 的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN 并延长，交y 轴于E ，连接AE ，求t 为何值时，MN ∥AE ．
（3）如图3，将直线AB 绕点A 顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C ，点T 为线段OA 上的一动点（不与O 、A 重合），以点O 为圆心、以OT 为半径的圆弧与线段OC 交于点D ，以点A 为圆心、以AT 为半径的圆弧与线段AC 交于点F ，连接DF ．在点T 运动的过程中，四边形ODFA 的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．
20．如图，直角梯形ABCD 中，
1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ︒︒∠∠＝＝＝＝的圆心1O 从点A 开始沿折线——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动，2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以3/cm s 的速度向点A 运动，1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ，若12,O O 分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为ts
（1）请求出2O 与腰CD 相切时t 的值；
（2）在03s t s ≤＜范围内，当t 为何值时，1O 与2O 外切？
21．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．
（1）请求出EAF ∠的度数？
（2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；
（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .
（3）直接写出EAF ∠=_________度；
（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.
22．如图，二次函数2
3y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点
（1）则m =_________；C 点坐标为___________；
（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由．
（3）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q
①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；
②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t =________时，四边形PBQC 的面积最大．
23．问题一：如图①，已知AC ＝160km ，甲，乙两人分别从相距30km 的A ，B 两地同时出发到C 地．若甲的速度为80km /h ，乙的速度为60km /h ，设乙行驶时间为x （h ），两车之间距离为y （km ）．
（1）当甲追上乙时，x ＝ ．
（2）请用x 的代数式表示y ．
问题二：如图②，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表
上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB ＝30°．
（3）分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ，时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °；
（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？
24．（1）（发现）如图1，在ABC 中，//DE BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD BE ⊥，3CD =，5BE =，求BC DE +的值．
思考发现，过点E 作//EF DC ，交BC 延长线于点F ，构造BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：BC DE +的值为______．
（2）（应用）如图3，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AD 与BC 不平行且
AD BC =，对角线AC BD ⊥，垂足为O ．若3CD =，5AB =，DAB CBA ∠=∠，求AC 的长．
（3）（拓展）如图4，已知平行四边形ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，FD FB =，且30BFD ∠=︒，60EBF ∠=︒，判断AC 与DF 的数量关系并证明．
25．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线
l 交O 于A
B 、两点．
（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l
（不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度．
（2）已知M 是O 一点，1cm OM =．
①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________．
②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ．
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一、中考数学压轴题
1．B
解析：（1）8b =；（2）382d n =
+；（3）92EFN S =△ 【解析】
【分析】
（1）先用b 表示出点B 和点A 的坐标，然后利用勾股定理列出方程即可求出b 的值； （2）联立直线BC 的解析式和直线AB 的解析式即可用n 表示出点C 的坐标，从而求出点D 的坐标，从而求出d 与n 的函数关系式；
（3）过点C 作CS ⊥x 轴于S ，过点F 作FT ⊥x 轴于T ，过点G 作GD ⊥y 轴于D ，MN 与y 轴交于点I ，根据相似三角形判定可得△RSC ∽△ROB ，列出比例式即可求出OR 和CS ，然后根据等角的锐角三角函数相等求出ON ，再根据等腰直角三角形的性质求出NE ，然后结合已知条件和等角的锐角三角函数相等求出TF ，即可求出结论．
【详解】
解：（1）当x=0时，y=b ；当y=0时，x=34
b ∴点B 的坐标为（0，b ），点A 的坐标为（
34b ，0） ∴OB=b ，OA=34
b 根据勾股定理OB 2＋OA 2=AB 2
b 2＋（34
b ）2=102 解得：b=8或-8（不符合已知条件，舍去）
∴b=8
（2）直线BC 的解析式为(4)8=++y n x ，直线AB 的解析式为483
y x =-+ 联立(4)8y n x y nx =++⎧⎨=⎩
解得：22x y n =-⎧⎨=-⎩
∴点C 的坐标为（-2，-2n ）
∵//CD OA
∴点D 的纵坐标为-2n
将y=-2n 代入483y x =-+中，解得：x=362+n ∴点D 的坐标为36,22⎛⎫+-
⎪⎝⎭n n ∴线段CD 长d =362+n －（-2）=382
+n （3）过点C 作CS ⊥x 轴于S ，过点F 作FT ⊥x 轴于T ，过点G 作GD ⊥y 轴于D ，MN 与y 轴交于点I
∴OD=275，GD=195
由（2）知点C 坐标为（-2，-2n ）
∴CS=-2n ，OS=2
∵BC CR =，CS ∥y 轴
∴RB=2RC ，△RSC ∽△ROB
∴
12===CS RS RC OB OR RB 即22182
--==n OR OR 解得：n=-2，OR=4
∴CS=4
∵∠=∠OBR HNM ，GD ∥x 轴
∴∠=∠OBR HNM =∠DGI
∴tan tan ∠=∠OBR HNM =tan ∠DGI
∴==OR OI ID OB ON GD
即48927515
-==ID ID ON
解得：1910
,7==ID ON ∵45AEF ∠=︒
∴∠CES=∠AEF=45°，∠QEH=∠QEF －∠AEF=45°
∴△CES 、△EFT 和△EHQ 都是等腰直角三角形
∴CS=SE=4，
ET=TF=2
EF ， EH=HQ ，设EH=HQ=a ，则
∴EN=ON ＋OE=ON ＋SE －OS=9
∵3==
EQ EF ，PH EN = ∴
EF=3
a ，PM=a ，PH=9， ∴NH=EN ＋EH=9＋a ，MH=PH －PM=9－a ∴tan ∠HNM =
12==MH OI NH ON ∴9192
-=+a a 解得：a=3
∴
EF=33
⨯=∴
TF=
12= ∴S △EFN =12EN ·TF=12×9×1=92
【点睛】
此题考查的是一次函数与几何图形的综合题型，此题难度较大，掌握勾股定理、联立方程求交点坐标、锐角三角函数的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
2．E
解析：（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）见解析；（3）①150°，∠EQF=180°－
12
∠EPF 【解析】
【分析】
（1）如下图，过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可推导出角度关系；
（2）如下图，根据（1）的结论，可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°，利用△EPF内角和为180°可推导得出∠PEF+∠PFE=90°，从而得出∠PEF=∠AEP；
（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，再利用角平分线的性质得出
∠PEQ+∠PFQ=150°，最后在四边形EPFQ中得出结论；
②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF°，再利用角平分线的性质得出
∠PEQ+∠PFQ=180°－1
EPF
2
，最后在四边形EPFQ中得出结论．
【详解】
（1）如下图，过点P作PQ∥AB
∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD
∴∠AEP=∠EPQ，∠QPF=∠PFC
又∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF
∴∠EPF=∠AEP+∠PFC
如下图，过点P作PQ∥AB
同理，AB∥QP∥CD
∴∠AEP+∠QPE=180°，∠QPF+∠PFC=180°
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°（2）根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°
∵PF是∠CFE的角平分线，∴∠PFC=∠PFE
在△PEF中，∵∠EPF=90°，∴∠PEF+∠PFE=90°
∴∠PEF+∠PFE=∠AEP+∠PFC
∴∠PEF=∠AEP，∴PE是∠AEF的角平分线
（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=300°
∵EQ、QF分别是∠PEB和∠PFD的角平分线
∴∠PEQ=QEB，∠PFQ=∠QFD
∴∠PEQ+∠PFQ=150°
在四边形PEQF 中，∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－60°－150°=150° ②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF
∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=360°－∠EPF
∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线
∴∠PEQ=∠QEB ，∠PFQ=∠QFD
∴∠PEQ+∠PFQ=()1360EPF 2∠︒－=180°－1EPF 2
∠ ∴在四边形PEQF 中： ∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－EPF ∠－(180°－
1EPF 2∠)=180°－1EPF 2∠ 【点睛】
本题考查“M ”型模型，解题关键在过两条平行线中间的点作已知平行线的平行线，然后利用平行线的性质进行角度转化可推导结论．
3．A
解析：（1）6y x =-+；（2）636S t =-，()6t >；（3）5599
y x =
+ 【解析】
【分析】
（1）求出点A 、B 的坐标，从而得出△ABO 是等腰直角三角形，再根据2ABC ACB ∠=∠可得△OCB 也是等腰直角三角形，从而可求得点C 的坐标，将点B 、C 代入可求得解析式；
（2）存在2种情况，一种是点D 在线段BC 上，另一种是点D 在线段BC 的延长线上，分别利用三角形的面积公式可求得；
（3）如下图，先证ACR CAD ∆≅∆，从而推导出//RD AC ，进而得到CF RG =，同理还可得NF DG =，RD CN =，然后利用:7:12NF FC =可得到N 、D 的坐标，代入即可求得．
【详解】
解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，
(6,0)A ∴-，(0,6)B ．6OA OB ∴==． 45BAO ∴∠=︒，180BAO ABC BCO ∠+∠+∠=︒，
2ABC ACB ∠=∠，45BCO ∴∠=︒
6OC OB ∴==，()6,0C ∴．设直线BC 的解析式为y kx b =+，
将B 、C 两点坐标代得606
k b b +=⎧⎨=⎩ 解得16k b =-⎧⎨=⎩
∴直线BC 的解析式为6y x =-+．
（2）点D 是射线BC 上一点，点D 的横坐标为t ，
(,6)D t t ∴-+，6(6)12AC =--=．
如下图，过点D 作DK AC ⊥于点K ，当点D 在线段BC 上时，
6DK t =-+， 16362
S AC DK t ∴=⋅=-+()06t ≤<； 如下图，当点D 在线段BC 的延长线上时，
6DK t =-，636S t ∴=-()6t >．
（3）如图，延长CE 交AB 于点R ，连接DR 交BF 于点G ，交y 轴于点P ．
45BAO BCO ∠=∠=︒，BA BC ∴=．
AO CO =，BO AC ⊥EA EC ∴=，EAC ECA ∴∠=∠．
ACR CAD ∴∆≅∆．BAD BCR ∴∠=∠．
AR CD ∴=．BR BD ∴=．//RD AC ∴．BH AD ⊥，
HBD BAD BCR ∴∠=∠=∠．MB MC ∴=，∠MRB MRB MBR ∠=∠
MR MB ∴=．CM MR ∴=．//RD AC ，
::1:1CF RG CM RM ∴==．CF RG ∴=．
同理NF DG =．RD CN =．
∵:7:12NF FC =．:7:12DG RG ∴=．
RP PD BP ==，5tan 19PG OF OBF BP OB ∴
==∠= 6OB ∴=，3019OF ∴=，6OC =，8419
CF ∴=． 7RD GN ∴==．1ON ∴=，72PD =．52
OP OB BP ∴=-=． (1,0)N ∴-，75,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 设直线 DN 的解析式为y ax c =+，将N 、D 两点代入，
0752
2a c a c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得5959a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线DM 的解析式为5599
y x =
+． 【点睛】
本题考查了一次函数与图形的综合，需要用到全等、三角函数和平面直角坐标系的知识，解题关键是想办法确定函数图像上点的坐标． 4．C
解析：（1）y=﹣x 2
；（2
）⎝⎭
3）存在，
53)或(
﹣3，﹣73) 【解析】
【分析】
（1）根据折叠的性质可得OC=OA ，∠BOC=∠BAO=30°，过点C 作CD ⊥OA 于D ，求出OD 、CD ，然后写出点C 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）求出直线OC 的解析式，根据点M 到OC 的最大距离时，面积最大；平行于OC 的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式求出m 的值，利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）分两种情况求出直线AP 与y 轴的交点坐标，然后求出直线AP 的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P 的坐标．
【详解】
解：（1）∵Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处，
∴
BOC=∠BAO=30°，
∴∠AOC=30°+30°=60°，
过点C 作CD ⊥OA 于D ，
则OD=1233 33， 所以，顶点C 33），
设过点O ，C ，A 抛物线的解析式为为y=ax 2+bx ， 则223)33(23)230
a b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：123
a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴抛物线的解析式为y=﹣x 23；
（2）∵C 33），
∴直线OC 的解析式为：3y x =，
设点M 到OC 的最大距离时，平行于OC 的直线解析式为3y x m =+， 联立233y x m y x x
⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩， 消掉未知数y 并整理得，230x x m +=，
△=（3-2-4m=0，
解得：m=
34
． ∴23304x x +=， ∴3x =；
∴点M到OC的最大距离=3
4
×sin30°=
313
428
⨯=；
∵OC==
∴
13
28
MOC
S
∆
=⨯⨯=
此时，
M
⎝⎭
（3）∵∠OAP=∠BOC=∠BOA =30°，
∴2
=，
∴直线AP与y轴的交点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
当直线AP
经过点（0）、（0，2
）时，解析式为2
y x
=+，
联立
2
2
3
y x
y x
⎧=-+
⎪
⎨
=-+
⎪
⎩
，
解得1
1
x
y
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
2
2
5
3
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
．
所以点P
5
3
），
当直线AP
经过点（0）、（0，﹣2
）时，解析式为2
3
y x
=-，
联立
2
2
y x
y x
⎧=-+
⎪
⎨
=-
⎪
⎩
解得1
1
x
y
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
2
2
7
3
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
；
所以点P
的坐标为（
3
-
7
3
-）．
综上所述，存在一点P
，
5
3
7
3
），使∠OAP=∠BOA．【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要利用了折叠的性质，待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点的方法，（2）判断出点M到OC的距离最大是，平行于OC的直线与抛物线只有一个交点是解题的关键，（3）确定出直线AP的解析式是解题的关键．
5．D
解析：（1）见解析；（2）存在，满足条件的x的值为6或25
3
；（3）DP=
48
5
或10＜
DP≤12
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF=∠EAB 时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
（3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围,从而得出DP的范围．
【详解】
（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠ABE=90°，AD∥BC，
∴∠PAF=∠AEB，
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=90°=∠ABE，
∴△PFA∽△ABE．
（2）解：分二种情况：
①若△EFP∽△ABE，如图1，
则∠PEF=∠EAB，
∴PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA=EB=6，即x=6．
②如图2，若△PFE∽△ABE，
则∠PEF =∠AEB ，
∵AD ∥BC
∴∠PAF =∠AEB ，
∴∠PEF =∠PAF ．
∴PE =PA ．
∵PF ⊥AE ，
∴点F 为AE 的中点，
Rt △ABE 中，AB =8，BE =6，
∴AE =22AB BE +=2286+=10，
∴EF =152
AE =， ∵△PFE ∽△ABE ，
∴
PE EF AE BE
=， ∴5106x =， ∴PE =253
， ∴满足条件的x 的值为6或
253． （3）如图3，当⊙D 与AE 相切时，设切点为G ，连接DG ，
∵AP =x ，
∴PD ═DG =12﹣x ，
∵∠DAG =∠AEB ，∠AGD =∠B =90°，
∴△AGD ∽△EBA ， ∴AD DG AE AB =， ∴1212108
x -=， ∴x =
125， ∴12481255
DP =-=， 当⊙D 过点E 时，如图4，⊙D 与线段有两个公共点，连接DE ，
此时PD =DE =10，
故答案为：DP =
485
或10＜DP ≤12． 【点睛】
本题考查动点问题，动点在不同地方时，得到的图形是不同的，解题关键是确定动点运动过程中，有几种对应的图形，然后再根据图形性质分析求解． 6．A
解析：（1）()1,1E -；（2）1312m -≤≤-或0131m ≤≤3）639t ≤≤.
【解析】
【分析】
（1）首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义，将三个点逐一代入验证即可； （2）分两种情况:①点"倍增点”在
O 的外部，分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值，②点"倍增点"在
O 的内部，依次求得“倍增点"横坐标的最大值和最小值，即可确
定“倍增点”横坐标的范围；
（3）分别求得线段GH 两端点为T "倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可．
【详解】
（1）()1,2D -到线段BC 的距离为2，
22(12)(20)1332DC =--+-=<⨯
∴()1,2D -不是线段BC 的倍增点；
()1,1E -到线段BC 的距离为1，
22(12)(10)103EC =--+-=>,
∴在线段BC 上必存在一点P 使EP=3，∴()1,1E -是线段BC 的倍增点；
()0,2F 到线段BC 的距离为2，
22(02)(20)2232FC =-+-=<⨯
∴()0,2F 不是线段BC 的倍增点；
综上，()1,1E -是线段BC 的倍增点；
（2）设直线l 上“倍增点”的横坐标为m ，
当点在O 外时，222(2)8,m m +-+≤
解方程222(2)8m m +-+=，
得1131m =+，2131m =-
当点在O 内部时，22224(2)3(44(2))m m m m ++-+≥--+-+
解得：m≥0或m≤-2
∴直线l 上“倍增点”的橫坐标的取值范围为
1312m -≤≤-或0131m ≤≤+；
（3）如图所示，
当点G(1,0)为T "倍增点"时，
T(9,0)，此时T 的横坐标为最大值，
当点H(0,1)为T “倍增点”时，
则T(63，此时T 的横坐标为最小值；
∴圆心T(t, 0)的横坐标的取值范围为：639t -≤≤．
【点睛】
在正确理解点A 是图形M 的“倍增点”定义的基础上，利用（1）判断是否是倍增点的不
等关系式，即可列不等式组求解范围．
7．A
解析：（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45°
【解析】
【分析】
（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；
（2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；
②证明和推理过程同①的求解过程；
（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，
∠MON=90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍.
【详解】
（1）(
)11801802
118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-
∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒
（2）①如图所示
AD 与BO 交于点E ，
()9060301180307521909030602
180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒
∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化
设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以
180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。

因为BC 平分ABN ∠，所以45ABC α∠=︒+。

又因为180ABC ABD D BAD ∠=︒-∠=∠+∠。

所以
4545D ABC BAD αα∠=∠-∠=︒+-=︒
（3）因为∠BAO 与∠BOQ 的平分线交于点E ，
所以135AOE ∠=︒，
所以
()11118045454518090222
E EAO AOE EAO BAO ABO ABO ∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒-∠=︒-︒-︒-∠=∠
因为AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的平分线， 所以11118090222EAF BAO GAO ∠=
∠+∠=⨯︒=︒在△AEF 中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当3EAF E ∠=∠时，得30E ∠=︒，此时60ABO ∠=︒
②当3EAF F ∠=∠时，得60E ∠=︒，此时12090ABO ∠=︒>︒，舍去。

③当3F E ∠=∠时，得19022.54E ∠=
⨯︒=︒，此时45ABO ∠=︒ ④当3E F ∠=∠时，得39067.54
E ∠=⨯︒=︒，此时13590ABO ∠=︒>︒，舍去。

综上可知，∠ABO 的度数为60°或45°。

【点睛】
前两问熟练运用三角形内角和定理、两角互余、两角互补、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明EAF ∠=90°，再分情况进行讨论.
8．F
解析：（1）16；（2）不变，证明见解析；（3）214322S x x =
-+，当x=2或6时，四边形FEGN 的面积为26．
【解析】
【分析】
（1）如图1中，在△AEF 中，设AE=x ，则EF=8-x ，AF=4，∠A=90°，理由勾股定理构建方程求出x ，再根据△AEF ∽△DFM ，可得3124FDM
AE DF C ∆==，由此即可解决问题； （2）△FDM 的周长与（1）中结论相同．证明方法与（1）类似；
（3）作GK ⊥AB 于K ．连接BF 交GE 于P ．由△AFB ≌△KEG ，可得FB=GE ，由（2）可知：AE=21416x -
，设AF=EK=x ，AK=AE+EK=AF+AE=21416x x -+，根据S=82
AE DG +⨯，构建二次函数即可解决问题； 【详解】
解：（1）在△AEF 中，设AE=x ，则EF=8-x ，AF=4，∠A=90°，
由勾股定理，得：42﹢x 2=(8-x)2，
∴x=3，
∴AE=3，EF=5．
∴△AEF 的周长为12，
如图，
∵∠MFE=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°
又∵∠A=∠D=90，∠AFE=∠DMF ，
∴△AEF ∽△DFM ， ∴AE
DF =34=12FDM
C ， ∴△FDM 的周长为16；
（2）△FDM 的周长不会发生变化；
理由：如下图，
设AF=x ，EF=8-AE ，x 2+AE 2=（8-AE ）2，
∴AE=21416
x -， ∵△AEF ∽△DFM ，
∴8FDM
AE x DF C ∆+=， ∴△FMD 的周长：2(8)(8)161416
FDM x x C x ∆-+==-． （3）如图，作GK ⊥AB 于K ．连接BF 交GE 于P ．
∵B 、F 关于GE 对称，
∴BF ⊥EG ，
∴∠FBE=∠KGE ，
在正方形ABCD 中，GK=BC=AB ，∠A=∠EKG=90°，
∴△AFB ≌△KEG ，
∴FB=GE ，
由（2）可知：AE=21416
x -， ∴AF=EK=x ，AK=AE+EK=AF+AE=21416x x -
+， ∴梯形AEGD 的面积为：
22211184(44)432216162
AE DG x x x x x +⨯=⨯-+-+=-++， ∴221188(432)43222
S x x x x =⨯--
++=-+， 当S=26时，有 21432262
x x -+=， 解得：x=2或x=6，
∴当x=2或6时，四边形FEGN 的面积为26．
【点睛】
本题考查四边形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数，理由方程解决问题，属于中考压轴题．
9．A
解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①::32:7:25AG GM ME =；②6:1:2．
【解析】
【分析】
（1）根据∠AOB=∠OBC+∠OCB ，只要求出∠OBC ，∠OCB 即可．
（2）想办法证明CG ⊥AE 即可解决问题．
（3）①如图2中，作MH ⊥CE 于H ，解直角三角形求出AG ，GM ，ME 即可解决问题．
②如图3所示：连接DE ．首先证明四边形OCED 是平行四边形，再证明EC=2DG ，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵CE CA =，CD BC =，
∴CAE CEA ∠=∠，CBD CDB ∠=∠．
∵AE BC ∥，
∴CAE OCB ∠=∠．
∵90ABC ∠=︒，O 为AC 中点，
∴OB OC =．
∴CBD OCB CAE ∠=∠=∠．
∴ACE BCD ∠=∠．即28ACB DCE ∠=∠=︒．
∴56AOB OBC OCB ∠=∠+∠=︒．
（2）连结CG （如图1）．
∵AE BC ∥，AO CO =，
∴BO OG =．
∵90ABC ∠=︒，
∴四边形ABCG 为矩形．
∴CG AE ⊥．
∵CE CA =，
∴AG GE =．
（3）①作MH CE ⊥于H （如图2）．
由AG BC ，AG GE BC ==，
则四边形GBCE 是平行四边形，
∴E OBC OCB DCE ∠=∠=∠=∠．
∴MC ME =，2222345CE BG AC AB BC ===
+=+=．
∵MH CE ⊥，
∴
5
22
CE
HE==．
∵
4
cos cos
5
E OCB
=∠=，
∴
25
cos8
HE
ME
E
==．
∵4
GE AG BC
===，
∴
257
4
88
GM GE ME
=-=-=．
∴
725
::4::32:7:25
88
AG GM ME==．②如图3所示：连接DE．
∵OA=OC，∠ABC=90°，
∴BO=OA=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠ACB，∠AGO=∠OBC，
∵CA=CE，
∴∠CAE=∠CAE，
∴∠AGB=∠AEC，
∴AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴OD=CE=CA，
∵∠OAG=∠OGA，
∴OA=OG，
∴OA=OC=OG=DG，
∵DG∥EC，
∴1
2
GM DG
ME CF
==，
∴1
2
1
2
S
S
=，
设S 2=m ，则S 3=2m ， ∴S △DGE =3m ，
∵OG=GD ，∠AGO=∠DGE ，∠OAG=∠DEG ， ∴△AGO ≌△EGD （AAS ）， ∴S △AOG =S △DEG =3m ， ∵OB=OG ， ∴S △ABG =2S △AOG =6m ，
∴S 1：S 2：S 3=6m ：m ：2m=6：1：2． 故答案为：6：1：2． 【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
10．B
解析：（1）直线x=0；（2）B （0，1
a ）；（3）≤a ≤13-或13
≤a 【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的表达式直接得出对称轴即可；
（2）根据题意得出点A 的坐标，再利用关于x 轴对称的点的坐标规律得出点B 坐标； （3）分a ＞0和a ＜0两种情况分别讨论，画图图像，求出a 的范围. 【详解】
解：（1）在抛物线2
1
y ax a
=-
中， 0
02a
-
=， ∴对称轴为直线x=0，即y 轴； （2）∵抛物线与y 轴交于点A ，
∴A （0，1
a
-）， ∵点A 关于x 轴的对称点为点B ，
∴B （0，
1
a
）； （3）当a ＞0时，点A （0，1
a
-
）在y 轴负半轴上， 当点P 恰好在抛物线上时，代入得：11a a a -=，
解得：a =
（舍），
当点Q 恰好在抛物线上时，代入得：1
90a a
-
=，
解得：
1
3
a=或
1
3
-（舍），
∴当1
3
≤a≤2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
当a＜0时，点A（0，
1
a
-）在y轴正半轴上，
同理可知：
当点P恰好在抛物线上时，代入得：
11
a
a a -=，
解得：2
a=（舍）或2
-，
当点Q恰好在抛物线上时，代入得：
1
90 a
a
-=，
解得：
1
3
a=（舍）或
1
3
-，
∴当2
-≤a≤
1
3
-时，抛物线与线段PQ只有一个公共点；
综上：若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，a的取值范围是2
-≤a≤
1
3 -或
1
3
≤a2.
【点睛】
本题是一道二次函数的综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合。