2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第5讲椭圆学案(含解析)北师大版

第5讲椭圆
基础知识整合
1．椭圆的概念
在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做01
椭圆.
这两定点叫做椭圆的02焦点，两焦点间的距离叫做03焦距.
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若04a>c，则集合P表示椭圆；
(2)若05a＝c，则集合P表示线段；
(3)若06a<c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)
y2
a2
＋
x2
b2
＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
07－a≤x≤08a
09－b≤y≤10b
11－b≤x≤12b
13－a≤y≤14a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长轴A
1A2的长为
152a；短轴B
1B2的长为
162b
焦距|F
1F2|＝
172c
焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率e＝18
c
a
∈19(0,1)
a，b，c的关系c2＝20a2－b2
1．椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.
(1)当P 为短轴端点时，θ最大．
(2)S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2
tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最
大值，最大值为bc .
(3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． (4)4c 2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|cos θ.
2．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2
a
.
3．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则
(1)弦长l ＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|；
(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0
a 2y 0
.
1．已知椭圆x 2
25＋y 2
m
2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
答案 B
解析 由4＝25－m 2
(m >0 )⇒m ＝3，故选B ．
2．若椭圆x 2
＋my 2
＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A ．14 B ．1
2 C ．2 D ．4
答案 A
解析 将原方程变形为x 2
＋y 21m
＝1.由题意知a 2
＝1m
，b 2＝1，∴a ＝
1
m
，b ＝1.∴
1
m
＝2，
∴m ＝14
.
3．(2019·北京高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1
2
，则( )
A ．a 2
＝2b 2
B ．3a 2＝4b 2
C ．a ＝2b
D ．3a ＝4b
答案 B
解析 因为椭圆的离心率e ＝c a ＝12
，所以a 2＝4c 2
.
又a 2
＝b 2
＋c 2
，所以3a 2
＝4b 2
.故选B ．
4．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1
3，则椭圆C 的方程是( )
A ．x 24＋y 23＝1
B ．x 24＋y 2
3＝1
C ．x 24＋y 2
2＝1
D ．x 29＋y 2
8
＝1 答案 D
解析 依题意，设椭圆方程为x 2
a 2
＋y
2
b
2
＝1(a >b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝1，c a ＝13，
c 2
＝a 2
－b 2
，
解得a 2
＝9，
b 2
＝8.故椭圆C 的方程为x 29
＋y 2
8
＝1.
5．(2019·西安模拟)已知点P (x 1，y 1)是椭圆x 225＋y 2
16＝1上的一点，F 1，F 2是其左、右焦
点，当∠F 1PF 2最大时，△PF 1F 2的面积是( )
A ．1633
B ．12
C ．16(2＋3)
D ．16(2－3)
答案 B
解析 ∵椭圆的方程为
x 2
25
＋
y 2
16
＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝25－16＝3，∴F 1(－3,0)，
F 2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P 与短轴端点重合时，∠F 1PF 2最大，此时△PF 1F 2的面积S
＝1
2
×2×3×4＝12，故选B ． 6．椭圆3x 2
＋ky 2
＝3的一个焦点是(0，2)，则k ＝________. 答案 1
解析 方程3x 2
＋ky 2
＝3可化为x 2
＋y 23k
＝1.a 2＝3k >1＝b 2，c 2＝a 2－b 2
＝3k
－1＝2，解得k ＝
1.
核心考向突破
考向一 椭圆定义及其应用
例1 (1)已知圆(x ＋2)2
＋y 2
＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
答案 B
解析 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PA |＝|PM |＋|PN |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．
(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，
B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16.则|AF 2|＝________.
答案 5
解析 由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3.∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4.则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5.
(1)椭圆定义的应用范围
①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的应用
椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|，|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．
[即时训练] 1.(2019·河北保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2
＋y 2
＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2
＋y 2
＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．
答案
x 225＋y 2
16
＝1 解析 设动圆的半径为r ，圆心P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r ，所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|，即点P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，即点P 的轨迹方程为x 225＋y 2
16
＝1.
2．已知椭圆C ：x 29＋y 2
4＝1，点M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的焦点的对称
点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝________.
答案 12
解析 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于椭圆C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于椭圆C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝1
2|BN |，所以|AN |＋|BN |
＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.
考向二 椭圆的标准方程
例2 (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )
A ．x 2
2＋y 2
＝1
B ．x 23＋y 22＝1
C ．x 24＋y 2
3＝1
D ．x 25＋y 2
4
＝1
答案 B
解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，由椭圆定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .
∵|AB |＝|BF 1|，∴|AF 1|＋2|AB |＝4a . 又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝3
2|AF 2|，
∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .
又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，
∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，－b 2.
将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 2
4b
2＝1，
∴a 2
＝3，b 2
＝a 2
－c 2
＝2.
∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2
2
＝1.故选B ． (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________.
答案
x 29
＋y 2
3
＝1 解析
设椭圆的方程为mx 2
＋ny 2
＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．因为椭圆经过P 1，P 2两点，所以点P 1，P 2的坐标满足椭圆方程，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1
9，n ＝1
3.
所以所求椭圆的方程为x 29＋y 2
3
＝1.
求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法：根据椭圆的定义确定2a,2c ，然后确定a 2
，b 2
的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程．
(2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx 2
＋ny 2
＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．解题步骤如下：
定位置—根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上
设方程—根据焦点位置，设方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1a >b >0
或y 2a 2＋x 2
b
2＝1a >b >0；也可设整式形式的方程：mx 2＋ny 2＝1m >0，n >0，m ≠n
寻关系—根据条件列出关于a ，b 或m ，n 的方程组 得方程—解方程组，将相应值代入所设方程，写出标准方程
[即时训练] 3.(2019·青岛模拟)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2
且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )
A ．x 2
2＋y 2
＝1
B ．x 23＋y 22＝1
C ．x 24＋y 2
3＝1
D ．x 25＋y 2
4
＝1
答案 C
解析 如图，|AF 2|＝12|AB |＝3
2
，|F 1F 2|＝2，
由椭圆定义，得|AF 1|＝2a －3
2. ①
在Rt △AF 1F 2中，
|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＋22. ②
由①②得a ＝2，∴b 2
＝a 2
－c 2
＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1，应选C ．
4．已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆：⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y 2
＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线
交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．
答案 x 2
＋43
y 2＝1
解析 如图，由题意知|PA |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|PA |＋|PF |＝2且|PA |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝3
4.所以动点P 的轨迹
方程为x 2
＋43
y 2＝1.
考向三 椭圆的几何性质
例3 (1)(2019·云南保山期末)椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在
一点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )
A ．
2
2
B ．23
C ．59
D ．
53
答案 D
解析 设线段PF 1的中点为M ，另一个焦点为F 2，由题意知，|OM |＝b ，又OM 是△F 2PF 1
的中位线，∴|OM |＝1
2
|PF 2|＝b ，|PF 2|＝2b ，由椭圆的定义知|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2b .
又|MF 1|＝12|PF 1|＝1
2(2a －2b )＝a －b ，又|OF 1|＝c ，在直角三角形OMF 1中，由勾股定理得
(a －b )2
＋b 2
＝c 2
，又a 2
－b 2
＝c 2
，可得2a ＝3b ，故有4a 2
＝9b 2
＝9(a 2
－c 2
)，由此可求得离心率
e ＝c a ＝5
3
，故选D ． (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2
＋ac <0，则该椭圆的离心率e
的取值范围是________.
答案 ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，12
解析 ∵c 2
－b 2
＋ac <0，∴c 2
－(a 2
－c 2
)＋ac <0，即2c 2
－a 2
＋ac <0，∴2c 2
a 2－1＋c a
<0，即2e
2
＋e －1<0，解得－1<e <12.又0<e <1，∴0<e <12.∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.
1．求椭圆的离心率的方法
(1)直接求出a ，c 来求解，通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；
(2)构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式，例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等式关系．
[即时训练] 5.(2019·辽宁大连二模)焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，短
轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b
3，则椭圆的离心率
为( )
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23
答案 C
解析 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得1
2
×2c ·b ＝12(2a ＋2c )·b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝1
2
，故选C ．
6．(2019·郑州市高三预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过
F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离
心率为( )
A ．
22
B ．2－ 3
C ．5－2
D ．6－ 3
答案 D
解析 设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a ＝2m ＋2m ，即m ＝(4－22)a ，则|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a ，在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2
＝|AF 1|2
＋|AF 2|2
，即4c
2
＝4×(2－2)2a 2
＋4×(2－1)2a 2
，即有c 2
＝(9－62)a 2
，即c ＝(6－3)a ，即e ＝c a
＝6－3，故选D ．
角度1 例4 (2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1交于A ，B 两点．线
段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．
(1)证明：k <－1
2
；
(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →
|成等
差数列，并求该数列的公差．
解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 22
3
＝1.
两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 2
3
·k ＝0. 由题设知
x 1＋x 2
2
＝1，
y 1＋y 2
2
＝m ，于是k ＝－3
4m
.①
由题设得m <
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－14×3＝32，且m >0， 即0<m <32，故k <－1
2
.
(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则由(1)及题设得(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，
y 2)＝(0,0)，
x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.
又点P 在C 上，所以m ＝3
4，
从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →
|＝
x 1－1
2
＋y 21＝ x 1－1
2
＋3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
14＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22. 所以|FA →|＋|FB →
|＝4－12
(x 1＋x 2)＝3.
故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →
|成等差数列．
设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|FA →
||＝12|x 1－x 2|
＝12
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2.②
将m ＝3
4
代入①得k ＝－1.
所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2
－14x ＋14＝0.
故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝321
28.
所以该数列的公差为32128或－321
28.
角度2 切线问题
例5 (2019·湖北优质高中联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，
上顶点为B ．已知|AB |＝3|OF |，且△AOB 的面积为 2.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线y ＝2上是否存在点M ，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)由|AB |＝3|OF |，△AOB 的面积为2， 得 a 2＋b 2
＝3c ，12
ab ＝2，
∴a ＝2，b ＝2，即椭圆方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)假设直线y ＝2上存在点M 满足题意，设M (m,2)，当m ＝±2时，从M 点所引的两切线不垂直．当m ≠±2时，设过点M 向椭圆所引的切线的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －m )＋2，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －m ＋2，x 24＋y
22
＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (mk －2)x ＋2(mk －2)2
－4＝0，∵Δ＝0，∴
(m 2
－4)k 2
－4mk ＋2＝0，设两切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝2
m 2－4
＝－1，∴m ＝±2，即点M 坐标为(2，2)或(－2，2)．
角度3 弦长问题
例6 (2019·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)
过点P (2,1)，且离心率e ＝
32
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l 的斜率为1
2
，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△PAB 面积的最大值．
解 (1)∵e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34
，∴a 2＝4b 2
.
又椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，
∴4a 2＋1b
2＝1，∴a 2＝8，b 2
＝2.
故所求椭圆方程为x 28＋y 2
2
＝1.
(2)设l 的方程为y ＝1
2x ＋m ，点A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1
2x ＋m ，x 2
8＋y
2
2＝1，
整理，
得x 2＋2mx ＋2m 2
－4＝0.
∵Δ＝4m 2
－8m 2
＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2
－4. 则|AB |
＝
1＋14
× x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝54
－m
2
.
点P 到直线l 的距离d ＝
|m |
1＋14
＝2|m |5. ∴S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |
5×5
4－m
2
＝m
2
4－m
2
≤
m 2＋4－m 2
2
＝2.
当且仅当m 2
＝2，即m ＝±2时，△PAB 的面积取得最大值2.
(1)解决有关弦及弦中点问题常用方法是利用根与系数的关系和“点差法”．这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．
(2)直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点，过椭圆外一点可以作两条切线，过椭圆上一点只能作一条切线．
(3)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则有|AB |＝1＋k
2
[x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y
22
－4y 1y 2](k 为直线
斜率，k ≠0)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
[即时训练] 7.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，则椭圆上一
点A (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝
1(a >b >0)，其焦距为2，且过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，
22，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为( )
A ．
22
B ． 2
C ． 3
D ．2
答案 B
解析 由题意，得2c ＝2，即c ＝1，a 2－b 2
＝1，将点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，
22代入椭圆方程，可得1a 2＋12b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1，即椭圆的方程为x 2
2
＋y 2
＝1，设B (x 2，y 2)，则椭圆C 1在点B 处的切线
方程为x 22x ＋y 2y ＝1，令x ＝0，得y D ＝1y 2，令y ＝0，可得x C ＝2
x 2
，又点B 为椭圆在第一象限上
的点，所以x 2>0，y 2>0，x 2
2
2＋y 2
2＝1，所以S △OCD ＝12·1y 2·2x 2＝1x 2y 2＝x 22
2＋y 2
2
x 2y 2＝x 22y 2＋y 2x 2
≥2
x 22y 2·y 2
x 2
＝2，即S △OCD ≥2，当且仅当x 22
2＝y 2
2＝12，即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22时，△OCD 面积取得最小
值2，故选B ．
8．(2019·广西联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >1)的焦距为2，过短轴的一个端点与两
个焦点的圆的面积为4π
3，过椭圆C 的右焦点作斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B
两点，线段AB 的中点为P .
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点P 且垂直于AB 的直线与x 轴交于点D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫17，0，求k 的值． 解 (1)由题中条件，可得过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 43
. 设椭圆的右焦点的坐标为(c,0)，
依题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
2c ＝2，
a 2
＝b 2
＋c 2，
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫b －432
＋c 2
＝43.
又因为b >1，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由题意，过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为
y ＝k (x －1)，将其代入x 24
＋y 2
3
＝1，
得(3＋4k 2)x 2－8k 2
x ＋4k 2
－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝8k 2
3＋4k 2，x 1x 2＝4k 2
－12
3＋4k
2，
所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k
3＋4k 2.
因为P 为线段AB 的中点，
所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫4k 2
3＋4k 2，－3k 3＋4k 2.
又因为直线PD 的斜率为－1
k
，
所以直线PD 的方程为 y －－3k 3＋4k 2
＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 2
3＋4k 2. 令y ＝0，得x ＝
k 2
3＋4k
2
，
所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫k 2
3＋4k 2，0， 则
k 2
3＋4k 2
＝1
7
，解得k ＝±1. 9．(2019·云南昆明模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为
22
. (1)求椭圆E 的方程；
(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为2
3，求直
线l 的方程．
解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝1，
c a ＝2
2，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得a 2＝2，b 2
＝1，
所以椭圆E 的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)． 当直线l 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－
22，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，22， 此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝2
2，不满足条件．
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为
y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋1，x 22
＋y 2
＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2
－2＝0，
所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2
－21＋2k 2.
因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝1
2|y 1－y 2|，
由已知S △OAB ＝23，得|y 1－y 2|＝4
3
.
因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k · －4k 2
1＋2k 2＋2k ＝2k
1＋2k
2，
y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)
＝－k
2
1＋2k 2， 所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 2
2
－4y 1y 2
＝
4k
2
1＋2k
2
2＋4k 2
1＋2k 2＝43
， 所以k 4＋k 2
－2＝0，解得k ＝±1，
所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.
1．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2
＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1
→＋PF 2→
|的最小值是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．2 2
答案 C
解析 解法一：设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，所以PF 1→＋PF 2
→
＝(－2x 0，－2y 0)，所以|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 2
0＋2.因为点P 在椭圆上，所以0≤y 20≤1，所以当y 2
0＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C ．
解法二：由PF 1→＋PF 2→＝PO →＋OF 1→＋PO →＋OF 2→＝2PO →，所以|PF 1→＋PF 2→|＝2|P O →|＝2x 20＋y 2
0，因为点P 在椭圆上，所以x 2
0＋2y 2
0＝2，且0≤y 2
0≤1，则2x 2
0＋y 2
0＝22－2y 2
0＋y 2
0＝2－y 2
0＋2，当y 2
0＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C ．
2．已知F 是椭圆x 29＋y 2
5＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，求|PA |
＋|PF |的最大值和最小值．
解 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2,0)．
设椭圆右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，
F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2，或者最小值－|AF ′|＝－ 2.
所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.
3．在椭圆x 218＋y 2
8＝1上求一点，使它到直线2x －3y ＋15＝0的距离最短．
解 设所求点坐标为A (32cos θ，22sin θ)，θ∈R ， 由点到直线的距离公式得
d ＝
|62cos θ－62sin θ＋15|
22＋－3
2
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1513
，
当θ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d 取到最小值31313，
此时A 点坐标为(－3,2)． 答题启示
椭圆中距离的最值问题一般有三种解法：
(1)利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )；
(2)根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；
(3)用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解． 对点训练
1．(2020·青海西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 2
3＝1上的一个动
点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
答案 A
解析 ∵椭圆的方程为y 24＋x 2
3＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，c 2
＝1，∴B (0，－1)是椭圆的一个焦
点，设另一个焦点为C (0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB |＋|PC |＝4，
∴|PB |＝4－|PC |，∴|PA |＋|PB |＝4＋|PA |－|PC |≤4＋|AC |＝5，即|PA |＋|PB |的最大值为5.
2．设P ，Q 分别为圆x 2
＋(y －6)2
＝2和椭圆x 2
10＋y 2
＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距
离是( )
A ．5 2
B ．46＋ 2
C ．7＋ 2
D ．6 2
答案 D
解析 解法一：设椭圆上任意一点为Q (x ，y )，且－10≤x ≤10，－1≤y ≤1，则圆心(0，6)到点Q 的距离
d ＝x 2＋y －6
2
＝－9y 2
－12y ＋46
＝
－9⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋232
＋50， 当y ＝－2
3
时，d max ＝52，
P ，Q 两点间的最大距离d ′＝d max ＋2＝6 2.
解法二：易知圆心坐标为M (0,6)，|PQ |的最大值为|MQ |max ＋2，设Q (10cos θ，sin θ)， 则|MQ |＝10cos 2
θ＋sin θ－62
＝－9sin 2
θ－12sin θ＋46 ＝
－9⎝
⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50，
当sin θ＝－2
3时，|MQ |max ＝52，
所以|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选D ．
3．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝1
2
，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和
顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →
的最大值为________．
答案 4
解析 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，
因为e ＝c a ＝12
，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2
＝3.
所以椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1.
所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， PF →
＝(－1－x 0，－y 0)，PA →
＝(2－x 0，－y 0)，
所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 2
0＝14x 20－x 0＋1
＝14
(x 0－2)2. 即当x 0＝－2时，PF →·PA →
取得最大值4.。