小学数学巧用计数器和以形明算理

『教学有方』巧用计数器，以形明算理
计算是一种有目的、有步骤的思维活动，计算教学应建立在对运算意义理解的基础之上。

为此，教师要善于利用直观教具或图形，鼓励学生从直观的实物或图形中发现规律，从而正确地理解和掌握知识。

如图1，北师大版三上第四单元《小树有多少棵》这一课，其知识内容为“整十、整百数乘一位数”的口算。

在此之前，学生已经熟练掌握了表内乘法，对于“整十、整百数乘一位数”的口算已经有一定的基础。

课前，在与学生交流中得知，大多数学生都有“先乘后添0”的计算直觉，只是缺乏理性认识。

怎样才能帮助学生更好地理解算理？在教学了20x3（整十数乘一位数）、400x2（整百数乘一位数）后，我设计如下的教学活动。

【教学片断】
师（出示计数器）：看来大家都会计算400x2了。

如果在这个计数器上拨一拨，表示你理解的“400x2”，你会怎么拨？每次拨几个珠子？生1：我会先在百位上拨-4个珠子，再在百位上又拨4个珠子。

请学生拨一拨。

（如图2）
师：为什么在百位上拨2次，每次拨4个珠子就可以了？
生1：因为百位上每一个珠子都表示1个百。

师：那你能否结合计数器拨珠子的活动，来解释一下你是怎样计算“400x2”？
生1：就是直接用“4x2”，再在后面添上2个“0”。

因为这里的“4”表示的是4个百，所以结果就是8个百。

师：你分析得很有道理。

（课件出示图3）那下面这三幅图分别可以用什么乘法算式来表示？
根据学生的回答，教师板书三个乘法算式：40x2、4x2、4000x2。

师（课件呈现图4）：观察这4幅图和算式，它们都有什么相同之处？
生2：都是表示乘法算式。

生3：都有8个珠子，分2次拨。

师：有什么不同之处？
生4：算式不同。

生5：算珠所在的位置不同。

生6：每幅图中的4表示的意义不同，表示4个百的珠子就在百位上，表示价十的珠子在十位上……
师：小朋友们真能干，一下看出了问题的本质。

图上的4个算式虽然不同，但是在计算时都用到了4x2=8。

至于是8个十还是8个百，就要看这个4表示的意义了。

【教学思考】
本节课，虽然经过前面的学习，学生已经掌握了“整十、整百数乘
一位数”的口算方法，但对算理的理解可能并不透彻。

因此，笔者补充了上面的活动。

通过问题引发学生思考，并在操作与解释中，明确了数字的位值：而之后的看计数器写算式，在相似的图形信息呈现中观察比较，进一步明确了每一幅图表示算式的实际意义，理解“整十、整百数乘一位数”的基本思路是一致的。

整个过程，学生实现了“实物操作”向思维中的“算理理解”顺利过渡，不仅理解了算理，抽象思维也碍到了发展。

为什么要规定“先乘除后加减”？
对于这个问题，我们分两层来谈。

第一层先谈谈规定运算顺序的必要性，第二层再谈谈为什么要规定“先乘除后加减”。

（1）规定运算顺序的必要性。

先举两个例子予以说明。

例1 小勇买了一块橡皮，价18分，又买了3支铅笔，每支12分，一共多少钱？
综合算式18＋12×3
=18＋36
=54（分）=5角4分
根据题意，这道题先算乘法后算加法是合情合理的。

例2 小春有18分钱，小敏有12分钱，小冬的钱数是他们俩人钱数之和的3倍，问小冬有多少钱？
解答这道题的时候应该先求出小春与小敏两人钱数之和，即求出（18＋12=）30分，然后再求出30分的3倍，即（30×3=）90分。

得出小冬有钱90分。

这样的解答层次，也就是说先算加法，后算乘法是符合题意的，是合情合理的。

使我们看出，在日常生活中需要先算乘法的与需要先算加法的事例都不少。

如果永远用分步式计算的话就不必规定运算顺序了。

只因为列出综合式，就得规定出前后的顺序。

（2）为什么要规定先乘除而后加减呢？应该从法则的定义说起，乘法是相同数连加的简便算法，除法是乘法的逆运算，除法也可以看作是相同数的连减。

就以加法和乘法来说吧：每盒乒乓球6个，王小通买了1盒，张大力买了4盒，他们俩人共买乒乓球多少个？我们可以列出如下的算式：
6＋6×4.
由于乘法的定义是相同数的连加，如果我们把乘法再返回加法的话，那么上面的式子应改写为：
6＋6＋6＋6＋6
假如不怕麻烦的话，可以按照6＋6＋6＋6＋6来计算，一个一个地加，得出30个乒乓球。

再引申一步说明，乘方是相同数的连乘，它的定义是：n个a相乘的积，叫做a的n次乘方。

我们也规定了在一个算式里，有第二级运算也有第三级运算的时候，应该先算第三级运算，后算第二级运算。

总之，运算顺序是由于法则本身的形成及法则之间的关系而规定的，正因为由第一级运算发展到第二级运算，由第二级运算发展到第三级运算，所以运算顺序规定为：先三级，再二级，后一级。