第五届精英赛笔试二试题解答初二

第五届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛
笔试二试题及解答 (初二组)
一、填空题 (每题20分, 共60分)
1. 已知m 和n 是有理数, 且 ()
361232
+=+n m , 则 =+22n m . 答案：10
解答.
因为(
2
2232m m n +=++, 所以,
22312 26m n ,mn +==, 22340m n mn +-=,
分解22340m n mn +-=, 得到：()()30m n m n --=.
当m n =时, 代入3mn =, 得到：3±==n m , 与m 和n 是有理数不符； 当3m n =时, 代入3mn =, 得到：13n ,m ==或13n ,m =-=-. 所以, 22m n +=10.
2. 若实数 x , y , z 和m 满足 5||242||2222222--+++≤+++m z y y m xy m z y x ,
则
()
=+2
1||m xyz
. 答案：2
解答. 由题目条件得
222222224250x y z m xy m y y z m +++----++≤,
配方,
()()()()2222222222
2
2
2222425
2212144120
x y z m xy m y y z m x xy y y m y m m z z x y y m z +++----++=-++-+++++-+=-+--+-≤, 所以,
12x y m ,z ==+=,
得到
()
2
1xyz
m =+ 2.
3. 正方形ABCD 的边长为2, O 是其对角线的交点. 以
其四个顶点为圆心和对角线长的一半为半径画4个四分之一圆, 和正方形4条边的交点分别是E , F , G , H , M , N , P , Q, 如右图所示. 那么阴影部分的总面积等于 .（圆周率记作π） 答案
：42π-
解答. 易知题图中阴影部分由四个相同的“曲线三边形”组成, 只需计算其中一个的面积即可, 现在计算“曲线三边形”OFG 的面积.
可设右图中4个阴影部分的面积均为x , 4个白色部分面积都是y . 易知：ABCD 对角线长的一半是, 则有下列
两个等式：
2244241242
x y ,
x y ,
ππ+==+==
解上面方程组, 可得：22
x .π=-
易知：题图中
, 2FC GC ==等腰直角三角形CFG 的面积是：
(2
1
22
(
)
1
4232
=
-=- 所以, 题图中“曲线三边形”OFG 的面积是：
(
23122ππ⎛⎫---=-- ⎪
⎝⎭
, 最后
阴影部分的总面积41422.ππ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭
二、 解答题 (每题20分, 共60分)
4. 若52-n 和18+n 都是完全平方数, 则整数n 的最大值是多少? 答案：15
解答. 设2225 81n x ,n y -=+=, 无妨设x 和y 是正整数, 则有
228204 81n x ,n y -=+=,
可得：
22421137x y -=-=-⨯⨯,
分解上等式左端, 可得：
()()22137x y x y -+=-⨯⨯,
其中2x y +是正整数, 2x y -是负整数, 故可得4组方程：
22x y m,
x y n,
-=⎧⎨
+=⎩ 整数组 {}{}{}{}{}1213773211m,n ,,,,,,,=----, 考虑到x 和y 是正整数, 上述方程组有解：{}{}{}51115x,y ,,,=, 代入
2225 81n x ,n y -=+=,
得到n =3和15, 故整数n 的最大值是15.
5. 右图是一个轴对称图形, 其中圆O 的半径为1, 正方
形ABCD 和等边三角形AEF 的顶点都在圆上. 问：正方形ABCD 和等边三角形AEF 重合部分的面积是多少？
答案：9
4
-
解答. 连接AC , 交EF 于K 点, 由题设, 可知AC 是对称轴, AC 垂直于EF , 且AC 是正方形ABCD 对角线.
记三角形与四边形重合的面积为V , CD 和EF , AF 分别交于L 和H , 由图形的对称, 可知：
()2ACD
CLk
AHD
V S
S
S
=⨯--.
（1） 易得：1ACD
S
=；
（2） AC 是正方形ABCD 对角线, 因此, 45ACD ∠=︒, AC 垂直于EF , 可知三角
形CLK 是等腰直角三角形.
AC 也是圆O 和等边三角形AEF 的对称轴, 可知AC 过圆心, 且 30FAC ∠=︒. 连接OF , 根据OA=OF=1, 则30OFA FAC ∠=∠=︒, 所以30KFO ∠=︒.在直角三
角形KFO 中, 30度角所对直角边长是斜边长二分之一, 11
22
OK OF ==, 故
12CK OK ==.得到：三角形CLK 的面积为：1111
2228
CLK S ∆=⨯⨯=.
（3） 直角三角形AHD 的直角边AD
=,
一个锐角是15︒ .
如右图, 在AD 上取一点M , 使得︒=∠15AHM .记x MH AM ==, 则x HD 2
1=, 可得：x x x MD 2322
2
=
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
, 22
3==+AD x x , 所以,
6224-=x ,
62221-==
x HD , 3262222
1
Δ-=-⨯⨯=)(ADH S . 所以, 三角形与四边形重合部分的面积是：4
9
32328112-=+--
⨯)( . 6. 在正方体的8个顶点处分别放置1个实数, 与每个顶点相邻的3
个顶点处的
3个数的乘积分别是40, 18, 56, 24, 48, 70, 144和140. 问：这8个实数中最大和最小者各是多少? 答案：最大是8, 最小是1
解答. 设正方体上底面四个点放置的实数记为a , b , c , d , 下底面的对应的四个点放置的实数记为1111a ,b ,c ,d , 如右图所示. 在每个顶点处, 与其相邻的3个顶点的3个实数
的积分别记为1111a,b,c,d,a ,b ,c ,d , 依题意, 则有：
1a a bd, =⑴ 1b b a c =, ⑵ 1c c b d , =⑶ 1 d d a c ,=⑷ 111a ab d , =⑸ 111b b a c ,= ⑹ 111 c c b d ,= ⑺ 11
1 d d a c .= ⑻ 由（5）和（7）, 可得：
1111a c acb d ac , == ⑼
由（5）和（2）, 可得：
1111a c acb d bd == ⑽
由（10）和（4）, 可得：
211a c a acbd bd ==, ⑾
由（11）和（9）, 可得：
2211a c a ca c bd ==, ⑿
由（11）和（12）, 可得：
()
()
2
3
11ca a c bd =, ⒀
由（13）和（9）, 可得：
()
()()()
()()()
3
2
2
4
22
3
6
1
1
1
1
1
ca a c a bd ,a c a bd ,==
因此,
()
312
1
a bd
a c =
.（*）
注意到（*）式的规律, 类似可得：
()
312
1
a bd
a c =
, ()
312
1
b ac
b d =
, ()
312
1
c bd
c a =
, ()
312
1
d ac
d b =
,
()
311
12
ab d a c =
, ()
311
12
ba c b d =
, ()
311
12
cb d c a =
, ()
311
12
d a c d b =
,
将1111a,b,c,d,a ,b ,c ,d 数值40, 18, 56, 24, 48, 70, 144和140代入, 可得这8个实数是1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 故最大是8, 最小是1.
另一解法：
设正方体上底面四个点放置的实数记为a , b , c , d , 下底面的对应的四个点放置的实数记为1111a ,b ,c ,d , 如右图所示. 在每个顶点处, 与其相邻的3个顶点的3个实数的积分别记为1111a,b,c,d,a ,b ,c ,d , 依题意, 则有：
1a a bd, =⑴ 1b b a c =, ⑵ 1c c b d , =⑶ 1 d d a c ,=⑷ 111a ab d , =⑸ 111b b a c ,= ⑹ 111 c c b d ,= ⑺ 11
1 d d a c .= ⑻ (2),(4),（5）左端乘左端, 右端乘右端, 可得：
()2
3222311111a b d a c b d a c b d ⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯, ⑼
将（7）代入（9）, 可得：
()
312
1
a bd
a c =
.（*）
注意到（*）式的规律, 类似可得：
()
312
1
a bd
a c =
, ()
312
1
b ac
b d =
, ()
312
1
c bd
c a =
, ()
312
1
d ac
d b =
,
()
311
12
ab d a c =
, ()
311
12
ba c b d =
, ()
311
12
cb d c a =
, ()
311
12
d a c d b =
,
将1111a,b,c,d,a ,b ,c ,d 数值40, 18, 56, 24, 48, 70, 144和140代入, 可得这8个实数是1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 故最大是8, 最小是1.。