四川省攀枝花市第十二中学高二数学《3.3.2简单的线性规划问题4》学案

§3.3.2 简单的线性规划问题4
一、学习目标
1.体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；
2.掌握寻找整点最优解的方法；
3.求解非线性目标函数的最值（结合目标函数的几何意义）
二、学习重点
掌握寻找整点最优解的方法。

三、学习难点
求解非线性目标函数的最值（结合目标函数的几何意义）。

四、学习过程
（一）复习：
已知变量 x , y 满足约束条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
求2x+y 的最值
目标函数：
约束条件：
可行解：
可行域：
最优解：
（二）学习新知
实例感知
题型一：寻找整数点最优解的方法
例 1 要将两种大小不同的钢板截成 A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的
小钢板的块数如表所示：
今需要三种规格的成品分别为12 块、1 5 块、2 7 块，各截这两种钢板多少张可得所需 A 、
B 、
C 、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
知识小结：寻找整点最优解的方法
1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整
点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有
限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.
2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.
3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验。

注意点：网格法要求做图精确，当不容易判别哪个解更接近最优解时可将各个可能逐一检查即可见分晓。

（三）实战演练
北京某商厦计划同时出售新款空调和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量大，供不应求，因此该商厦要根据实际情况（如成本、工资）确定产品的月供应量，以使得总利润最大，通过调查，得到这两种产品有关数据如下表
资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百
元）
洗衣机空调
成本20 30 300
工资10 5 110
单位利润8 6
试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？
题型二：求解非线性目标函数的最值
例2：已知：
20
40
250
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪--≤
⎩
，求（1）
y
z
x
=的最大值和最小值（2）22
z x y
=+的最大值
（1）画出可行域
（2）思考
y
z
x
=，22
z x y
=+的几何意义
变式训练：已知
20
40
250
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪--≤
⎩
，求：（1）221025
z x y y
=+-+的最小值
（2）
21
1
y
z
x
+
=
+
的范围
巩固练习：已知x、y满足约束条件
2510
236
210
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≤-
⎨
⎪+≤
⎩
，求
1
1
y
x
+
+
的取值范围
（四）自我回顾
课堂小结：1.掌握寻找整点最优解的方法；（平移求解法、调整最优值、逐一检验法）
2. 求解非线性目标函数的最值（结合目标函数的几何意义）
（五）课后实践
1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人 50 元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是（）.
A．50x + 40y = 2000 B．50x + 40y ≤ 2000
C．50x + 40y ≥ 2000 D．40x + 50y ≤2000
2. 变量x, y 满足约束条件
2324
212
2936
0,0
x y
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪+≥
⎪
⎨
+≥
⎪
⎪≥≥
⎩
则使得z = 3x + 2 y 的值的最小的(x, y ) 是
（）.
A．（4，5）B．（3，6） C．（9，2）D．（6，4）
3.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件。

已知设备甲每天的租赁费用为200元，设备乙每天的租赁费为300元。

现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元
3.电视台应某企业之约播放两套连续剧.其中，连续剧甲每次播放时间为80min，其中广告时间为1min，收视观众为 60 万；连续剧乙每次播放时间为40min，其中广告时间为 1min，收视观众为 20 万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放 6min 广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于 320min 的节目时间.如果你是电视台的制片人，电视台每周播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率?
4：已知：
20
40
250
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪--≤
⎩
，求（1）
y
z
x
=的最大值和最小值。