全国名校高考数学模拟试题分类解析 解析几何

2007年全国名校高考模拟试题分类解析-解析几何
一，考纲要求与分析
理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.、掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.了解二元一次不等式表示平面区域.了解线性规划的意义，并会简单的应用.了解解析几何的基本思想，了解坐标法.掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.了解圆锥曲线的初步应用.
这里的变化是，将直线倾斜角的概念又再度由不要求恢复到理解层次；多年高考中求直线方程是个冷热交替的过程，一般要化为一般式的标准型：方程右边为0，左边按x 、y 、常数项顺序排列；x 前系数非负（为0时，y 前系数为正）；所有系数不含分母及除±1以外的公约数，这样可以使结果“化一”；两直线的位置关系涉及内容更加注重内涵的过程是创新的走向；简单线形规划这一内容易与面积、长度等度量关系结合在一起出现创新题；作为求轨迹或轨迹方程的原传统题，一段时间内由于以求范围为核心而受到冷落，再度恢复并将范围结合一起是创新的立意点。

二，例题简析
例1，已知抛物线y 2=4x 上两个动点B 、C 和点A(1,2),且∠BAC=900，则动直线BC 必过定点（ ）A,(2,5) B,(-2,5) C,(5,-2) D,(5,2)
解：[方法一]设B(y 12/4,y 1),C(y 22
/4,y 2),BC 的中点为D(x 0,y 0),则y 1+y 2=2y 0，直线BC:
4
442
2
212
1
y y y x --=121y y y y --,即：4x-2y 0y+y 1y 2=0① 又∙=0，y 1y 2=-4y 0-20代入①有2(x-5)-y 0(y+2)=0恒过x-5=0与y+2=0的交点，选C
[方法二]BC 过的定点可以通过两个特殊情况求得：AB 斜率为1时，求得一个BC 的方程；AB 斜率为2时，再求得一个直线BC 的方程。

解两直线的交点，选C
[方法三]B 、C 、A 三点的横坐标均为正，BC 过的定点的横坐标也为正，作出一个草图知，BC 过定点的纵坐标为负，选C
说明：该题通过以上不同解法，体现不同的思维品质差异，方法三还用到了数形结合的技巧，这是高考命题刻意追求的创新立意点。

例2，已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆122
22=+b
y a x (a>b>0)上一点，若21PF PF ∙=0，
tan ∠PF 1F 2=1/2，则此椭圆的离心率为（ ）A,1/2 B,2/3 C,1/3 D,
3
5
(吉林质检) 解：如图，
△F 1PF 2是直角三角形，|F 1F 2|=2c,|PF 1|=2c.cos ∠PF 1F 2=
5
4c ,|PF 2|=
5
2c ,e=
|
|||221PF PF c
+,选D
说明：借助三角函数去求值比硬性代入椭圆方程中解方程组要简捷得多，该题的创新启示为：三角函数的定义不仅仅是高中阶段的坐标定义法与单位圆定义法，初中阶段的直角三角形定义法更应熟练掌握，谨防“前学后忘，割断联系”的学习陋习。

例3，方程m(x 2+y 2+2y+1)=(x-2y+3)2表示椭圆，求实数m 的范围
解：原不等式可化为m
y x y x 5
5
|32|)1(22=
+-++表示到点（0，-1）与到直线x-2y+3=0的距离为m 5的轨迹，要表示椭圆，有0<
m
5
<1,m>5 说明：这种题容易用思维定势：将方程转化为标准方程！这可谓想得简单，操作不易，而椭圆除了第一定义外，还有第二定义，用第二定义避开了思维定势，与《考纲》中的考查思维能力相对应。

[试题汇编] 一，单项选择题
1，目标函数u=ax-y 的可行域为四边形OACB
（含边界），如图 若点C(2/3,4/5)是该目标函数的最优解，则a 的取值范围是（ ）
A,(-10/3,-5/12) B,(-12/5,-3/10) C,(3/10,12/5) D,(-12/5,3/10)
2，设P(x,y)是曲线C:252
x +
9
2
y =1上的点，F 1(-4,0),F 2(4,0),则|PF 1|+|PF 2|( ) A,小于10 B ，大于10 C ，不大于10 D ，不小于10 （黄冈模拟）
3（文）已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤242y y x x y ，则S=x 2＋y 2
＋2x －2y ＋2，最小值是( )
A 、
5
9
B 、2
C 、3
D 、2 （理）直线y=kx+1与圆x 2
+y 2
+kx+my-4=0交于M 、N 两点，M 、N 关于直线x+y=0对称，则不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-≥+-0001y m y kx y kx 表示的平面区域的面积为（ ）A,2 B,1 C,1/2 D,1/4 4,直线x-y-1=0与双曲线x 2
-y 2
=m(m<0)的交点在以原点为中心，边长为2且边分别平行两坐标轴的正方形内部，则（ ）
A,0<m<1 B,m>-1 C,m<0 D,-1<m<0
5（文）如图在△ABC 中，∠CAB=∠CBA=300
，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆和双曲线的离心率的倒数和为（ ） A,3 B,1 C,23 D,2
B
C
D
E
第5题文图
F1
F2
M
N
第5题理图一
F1
F2
M N
第5题理图二
F1
F2
A
第5题理图三
（理）如图三个图中的多边形都是正多边形，M 、N 是所在边的中点，双曲线以图中的F 1，F 2为焦点，且离心率为e 1,e 2,e 3,它们的大小为（ ）
A,e 1>e 2>e 3 B,e 1<e 2<e 3 C,e 1=e 3<e 2 D,e 1=e 2>e 3
6,如果圆x 2+y 2=k 2至少覆盖函数f(x)=3sin k
x
的图象的一个最大值与一个最小值，则k 的取值范围是（ ）
A,|k|≥3 B,|k|≥2 C,|k|≥1 D,1≤|k|≤2
7(文)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x=-1,AM ⊥l 于M ，|AM|=λ，|AO|=
2
1
+λ（λ≥0），则A 的轨迹是（ ）
A,椭圆 B ，双曲线 C ，抛物线 D ，圆 （唐山二模）
（理）一个圆形纸片，圆心为O ，F 为圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于P ，则P 的轨迹是（ ） A,椭圆 B ，双曲线 C ，抛物线 D ，圆
8(文)已知F 为双曲线22a x -22
b
y =1（a,b>0）的右焦点，点P 为双曲线右支上一点，以线段PF 为直径的
圆与圆x 2+y 2=a 2的位置关系是（ ）
A ，相交
B ，相切
C ，相离
D ，不确定 （石家庄一模）
（理）P 为双曲线22a x -22
b
y =1（a,b>0）右支上一点，F 1，F 2分别是左右焦点，且焦距为2c ，则△F 1PF 2
的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A,a B,b C,c D,a+b-c (湖北八校)
9，某城市各项土地单位面积租金为y （万元）与该段地区离开市中心的距离x(km)的关系如图所示，其中l 1、l 2、l 3分别代表商业用地、工业用地、住宅用地，该市规划局按单位面积租金最高标准规划用地，应将工业用地划在与市区（ ）范围内
A,3km 和5km 的圆环形区域内 B ，1km 和4km 的原环形区域内
C ，5km 区域外
D ，5km 区域外 （常州模拟）
10，如图，南北方向的公路l ,A 地在公路正东2km 处，B 地在A 东偏北300方向23km 处，河流沿
岸曲线PQ 上任意一点到公路l 和到A 地距离相等。

现要在曲线PQ 上一处建一座码头，向A 、B 两地运货物，经测算，从M 到A 、到B 修建费用都为a 万元/km,那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元
A,(2+3)a B,2(3+1)a C,5a D,6a
11(文)已知点P 是椭圆C ：1482
2=+y x 上的动点，F 1、F 2分别是左右焦点，O 为坐标原点，则|
|||
||||21OP PF PF -的取值范围是（ ） A,[0,
22] B,[)2,0 C,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛22,21 D,[0,2] (武汉4月调研) （理）已知直线ax+by-1=0(a,b 不全为0)与圆x 2+y 2=50有公共点，且公共点横、纵坐标均为整数，那么
这样的直线有（ ）条
A,66 B,72 C,74 D,78 (海淀理)
12，已知θ为三角形的一个内角，且sin θ+cos θ=1/4,则x 2sin θ-y 2cos θ=1表示（ ）A ，焦点在x 轴上的椭圆 B ，焦点在y 轴上的椭圆 C ，焦点在x 轴上的双曲线 D ，焦点在y 轴上的双曲线 二，填空题
13，若5-x ≠kx+2对一切x ≥5都成立，则k 的取值范围是________
14(文)⊙M:x 2+y 2=4,点P(x 0,y 0)在圆外，则直线x 0x+y 0y=4与⊙M 的位置关系是_____
（理）抛物线x 2=4y 的准线l 与y 轴交于P 点，若l 绕点P 以每秒12
π
弧度的角速度按逆时针方向旋转，则经过_______秒，l 恰好与抛物线第一次相切 （邯郸二模）
15，椭圆19
8log 2
2=+y x a 的离心率为21，则a ＝________ （北京四中模拟二）
16，⊙O ：x 2+y 2=r 2内一点C(c,0),A 、B 在⊙O 上，且∠ACB=900，AB 的中点P 的轨迹方程为_______________
三，解答题
17.设)0(1),(),,(22
222211>>=+b a b
x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，
满足0),(),(
2211=⋅a y b x a y b x ，椭圆的离心率,2
3
=e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k
的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
18. 在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同时满足①
0GA GB GC ++= , ②||MA = ||MB = ||MC ③GM ∥AB （1）求顶点C 的轨迹E 的方程（2）设
P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F
0） ，已知PF ∥FQ , RF ∥FN 且PF ·RF = 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.
19.如图，已知直线l 与抛物线y x 42=相切于点P (2，1)，且与x 轴交于点A ，O 为坐标原点，定点B 的
坐标为（2，0）.
（I ）若动点M 满足0||2=+⋅，求点M 的轨迹C ；
（II ）若过点B 的直线l ′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.
20.如图，以A 1，A 2为焦点的双曲线E 与半径为c 的圆O 相交于C ，D ，C 1，D 1，连接CC 1与OB 交于点H ，且有：)323(+=。

其中A 1，A 2，B 是圆O 与坐标轴的交点，c 为双曲线的半焦距。

（1）
当c=1时，求双曲线E 的方程；
（2）试证：对任意正实数c ，双曲线E 的离心率为常数。

（3）连接A 1C 与双曲线E 交于F ，是否存在实数A λλ=1,使 恒成立，若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由.
21.点P 在以21,F F 为焦点的双曲线1:
22
22
=-b
y a x E )0,0(>>b a 上，已知21PF PF ⊥，||2||21PF PF =，O 为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率e ；（Ⅱ）过点P 作直线分别与双曲线渐近线相交于21,P P 两点，且4
27
21-
=⋅OP OP ，221=+PP ，求双曲线E 的方程； （Ⅲ）若过点)0,(m Q （m 为非零常数）的直线l 与（2）中双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且QN MQ λ=（λ为非零常数），问在x 轴上是否存在定点G ，使)(21GN GM F F λ-⊥？若存在，求出所有这种定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22
22
162x y m m
+=(0)m >的左，右焦点． （1）当P C ∈，且210PF PF =，12||||8PF PF ⋅=时，求椭圆C 的左，右焦点1F 、2F ． （2）1F 、2F 是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知
2F 的半径是1，过动点Q 的作2F 切线QM ，
使得1QF =（M 是切点），如下图．求动点Q 的轨迹方程．
23．已知抛物线C ：22(0)y px p =>上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1。

（1）求抛物线C 的方程；
（2）若过焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，M 在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN 的方程； （3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把
它称为原来问题的一个“逆向”问题． 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积163
后，
它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为163
，求侧棱长”；也可以是“若正
四棱锥的体积为163
，求所有侧面面积之和的最小值”．
现有正确命题：过点(,0)2
p
A -
的直线交抛物线C ：22(0)y px p =>于P 、Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过焦点F 。

试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

24．已知2||||),0,2(),0,2(2121=--PF PF P F F 满足点，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程； （2）若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点. （i ）无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MQ MP ⊥恒成立，求实数m 的值. （ii ）过P 、Q 作直线2
1
=
x 的垂线PA 、OB ，垂足分别为A 、B ，记|
|||||AB QB PA +=
λ，求λ的取值范围. 25．如图，已知直线l 与抛物线y x 42=相切于点P(2, 1)，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为(2, 0) . （I ）若动点M
满足0=+⋅BM AB ，求点M 的轨迹C ；
（II ）若过点B 的直线l '（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求∆OBE 与∆OBF 面积之比的取值范围.
26．已知AB 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一条弦,M(2,1)是AB
的中点,N (4,1)-.
以M 为焦点,以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB 交于
(1)设双曲线离心率为e ,试将e 表示为椭圆的半长轴长的函数; (2)当椭圆的率心率是双曲线离心率的
倒数时,求椭圆的方程;
(3)求出椭圆长轴长的取值范围.
27如图，
()A m
和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且
12
OA OB ⋅=-，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+.
（Ⅰ）求m n ⋅的值；
（Ⅱ）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样
的曲线？
（Ⅲ）若直线l 过点E （2，0）交（Ⅱ）中曲线C 于M 、N 两
点，且3ME EN =，求l 的方程.
28 已知椭圆C 的中心为原点，点F )0,1(是它的一个焦点，直线l 过点F 与椭圆C 交于B A ,两点，且当直线l 垂直于x 轴时，6
5=
⋅． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l ，使得在椭圆C 的右准线上可以找到一点P ，满足ABP ∆为正三角形．如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
29已知F 1、F 2分别是椭圆)0,0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点，其左准线与x 轴相交于点N ，并且满
足，.2||,221121==F F NF F F 设A 、B 是上半椭圆上满足NB NA λ=的两点，其中].3
1,51[∈λ （1）求此椭圆的方程及直线AB 的斜率的取值范围； （2）设A 、B 两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一
点P ，求证：点P 在一条定直线上，并求点P 的纵坐标的取值范围.
30在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足
2
2|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7， （1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。

[答案]解析几何
1， k AC ≤a ≤k CB ,选B ；
2，|x|/5+|y|/9=1在椭圆x 2/25+y 2/9=1内部或边界，选C ；
3，（文）S 为点（-1，1）到可行域内点距离平方的最小值，即到直线x-y=0的距离平方，选B （理）MN ⊥直线x+y=0,圆心在直线x+y=0上，k=1,m=-1,选D 4，交点⎪⎭⎫
⎝⎛-+21,2
1m m 在正方形|x|<1,|y|<1内部，选D
5（文）e 1=1/(cos300+sin300),e 2=1/(cos300-sin300)，选A （理）e 1=3+1=e 3,e 2=
2
2
10+,选C 6，圆至少覆盖f(x)的半个周期，|k|≥4
32
k +，选B
7（文）将l 向右平移1/2个单位得l /,有|AO|=A 到l /的距离，选C （理）|OP|+|PF|=|PO|+|PM|=r 选A
8，（文）设左焦点为F 1，PF 的中点为C ，则圆心距|OC|=|PF 1|/2=(|PF|+2a)/2=|PF|/2+a 选B
（理）|PF 1|-|PF 2|=2a=|PE|+|EF 1|-(|PF|+|FF 2|)=|F 1D|-|PF 2|=x+c-(c-x)
选A
P
F1
F2D E
F
第8题理科图
9，各段最高作为其图象，选B
10，l 是抛物线PQ 的准线，A 为焦点，过B 向l 作垂线，垂线段最短，选C 11，（文）设P(x,y),原式=
2
2
||2y
x x e +选D
（理）12×11/2+6选B 12，900<θ<1350，选B
13，曲线y 2=x-5(y ≥0)与y=kx+2无公共点，作图k>1/10或k<2/5 14(文)d=
20
2
04y
x +<2，相交
（理）x 2-4xtan
12
t
π+4=0,△=0，3秒 15，log a 8>9时，9/log a 8=3/4,a=42; o<log a 8<9时， log a 8/9=3/4，a=916
16，|CP|=|PB|=2
2||OP r -,方程为2x 2+2y 2-2cx+c 2-r 2=0
17.解: （1）3.22
3
,1.2222==⇒=-====e a a b a a c e b b
椭圆的方程为14
22
=+x y （2）设AB 的方程为3+=kx y
由41,4320132)4(1
4
3
2212212222+-=+-=+=-++⇒⎪⎩⎪
⎨⎧=++=k x x k k x x kx x k x y kx y （4分）
由已知
43)(43)41()3)(3(410212122121221221+
+++=+++=+=x x k x x k kx kx x x a y y b x x
±=++-⋅++-+=k k k k k k 解得,4
3
43243)41(442222）
（3）当A 为顶点时，B 必为顶点.S △AOB =1 当A ，B 不为顶点时，设AB 的方程为y=kx+b
42042)4(1
4
2212
222
2+-=+=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k kb x x b kbx x k x y b
kx y 得到 44
2
221+-=k b x x :04))((0421212121代入整理得=+++⇔==b kx b kx x x y y x x 4222=+k b （11分）
4
1644|||4)(||21||||212
22212
2121++-=-+=--=k b k b x x x x b x x b S 1|
|242
==b k 所以三角形的面积为定值.（12分） 18. 解：（1）设C ( x , y )，
2GA GB GO +=,由①知2GC GO =-,
∴G 为△ABC 的重心 ， ∴ G(3x ,3
y ) （2分）
由②知M 是△ABC 的外心，∴M 在x 轴上 由③知M （
3
x
，0）， 由|| ||MC MA =
=
化简整理得：2
213x y +=（x ≠0 ）…… (6分) （2）F
0 ）恰为2
213
x y +=的右焦点 设PQ 的斜率为k ≠0且k
≠±
2
，则直线PQ 的方程为y = k ( x
由22222
2
((31)630330
y k x k x x k x y ⎧=⎪⇒+-+-=⎨+-=⎪⎩ 设P(x 1 , y 1) ，Q (x 2 ,y 2 ) 则x 1 + x 2
= 2231
k + , x 1·x 2 =226331k k -+ …… （8分）
则
·
=
=
RN ⊥PQ,把k 换成1k -得
| RN | = ……（ 10分)
∴S =12| PQ | · | RN |=22
22
6(1)(31)(3)
k k k +++ =228
21
3()10
k k
-++)
2218
3()102k k S
∴++=- 221k k +
≥2 ， 8
2S
∴-≥16
3
2
∴≤ S < 2 ， (当 k = ±1时取等号) ……（12分） 又当k 不存在或k = 0时S = 2综上可得 32 ≤ S ≤ 2 ∴S max = 2 ， S min = 3
2
（14分）
19解：（I ）由22
414x y y x ==得， .2
1x y ='∴
∴直线l 的斜率为1|2='=x y ， …………………………………………………………1分 故l 的方程为1-=x y ，
∴点A 坐标为（1，0） ……………………………………………………………… 2分 设),(y x M 则),1(),,2(),0,1(y x AM y x BM AB -=-==， 由0||2=+⋅AM BM AB 得
.0)1(20)2(2
2
=+-⋅+⋅+-y x y x 整理，得
.12
22
=+y x ……4分∴动点M 的轨迹C 为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆… 5分
（II ）如图，由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设l 方程为y=k (x －2)(k ≠0)①
将①代入12
22
=+y x ，整理，得 0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x
k x k ，
由△>0得0<k 2<
2
1
. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2) 则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=+.1228,12822
212221k k x x k k x x ②………7分 令|||
|,BF BE S S OBF OBE ==
∆∆λλ则，由此可得.10,2
2,21<<--=⋅=λλλ且x x BF BE
由②知,1
24
)2()2(2
21+-=
-+-k x x
121212222
22
2222)(2)2()4.
21
2141,.10(1)8(1)21411
0,0,332(1)22
01,31
x x x x x x k k k k λλλλλλλλλ-⋅-=-++=
++∴==-++<<∴<-<-<++<<∴-<（即分解得又
.∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是（3－22，1）.……12分 20解:（1）由c=1知B （0，1），∵)323(+=， ∴2
3
3
24323,0=
++=
=H H y x 即 ),23,
0(H 点C 在单位圆上，∴)2
3,21(=C 设双曲线E 的方程为 ).0,0(122
22>>=-b a b
y a x
由点C 的双曲线E 上，半焦距c=1有：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+23
23
1,143
41,1222222b a b a b a 解得
所以双曲线E 的方程为：
.12
32
3
122=-
-
y x
（2）证明：∵A 1（－c ，0），B （0，c ），由 ),2
3,21(),23,
0(:)323(c c C c H HB OH 得+= 设双曲线E 的方程为 ),0,0(122
22
>>=-b a b y a x ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+②
①
14342222222b c a
c c b a
①代入②，化简整理得 03)(6)(,0632
4
4
224=--∴=-+a
b a
b b b a a 解得 .323)(2
+=a
b
又 .324)(12
222
+=+==a b a
c e
∴13324+=+=e ，即双曲线E 的离心离是与c 无关的常数。

（3）假设存在实数)2
3,
2(),0,(,11c c
C c A A -=恒成立，使λλ 有λ
λλλ+⋅=+⋅+
-=
123,12F F y c c x 点F ,)
1(23,)1(2)2((
λλλλ++-c c 点C ，F 都在双曲线E 上，故有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=-④b c a c ③b c a
c 222
2222222
22)1(43)
1(4)2(1434λλλλ 由③得3443222222
-=⇒=-e b
c b c e ⑤
⑤代入④得12,1)1(4)4()1(4)2(222
22
222+=+-=+⋅--+-λλλλλλe e e e 化简整理得 即,43
13
263232,2122+=++=+-=λλ）小题的结论得：利用（e e
故存在实数FC F A λλ=+=
1,4
3
1使恒成立. 21解：（I ）a PF a PF a PF PF PF PF 2||,4||2|||||,|2||212121==∴
=-= 5)2()2()4(22221=∴=+∴⊥e c a a PF PF
（II ）14:2
2
22=-a y a x E 渐近线为x y 2±=设),(),2,(),2,(222111y x P x x P x x P - 4
9
4273212121=∴-
=-=⋅x x x x OP OP ，221=+PP
3)2(2,322121x x y x x x -=+=∴代入E 化简2892
221=∴=a a x x 18
222=-∴y x
（III ）假设在x 轴上存在定点)0,(t G 使)(21F F λ-⊥， 设),(),,(,:4433y x N y x M m ky x l +=联立l 与E 的方程得
0848)14(222=-++-m kmy y k 故⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
--=--=+)2(1484)1(1
4822
43243k m y y k km y y )0,102(),,(214343=-+--=-F F y y t x t x λλλλ
)(21F F λ-⊥)3(0)1()1()(04343=-+-+-⇔=+--⇔t m y y k t x t x λλλλλ
由QN MQ λ=043=+∴y y λ)4(43y y λ-=∴
∴（3）即为)5(0)1()1(23=-+-+t m ky λλ，将（4）代入（1）（2）
有km
m y 22
)1(23--=λ代入（5）得m t 2=
故在x 轴上存在定点)0,2
(
m
G 使)(21F F λ-⊥。

22．解：（1）∵222c a b =-，∴224c m =．……2分 又∵021=⋅PF PF
∴12PF PF ⊥， 3分 ∴
()222
2
12216PF PF c m +==．……5分
由椭圆定义可知122PF PF a +==，()
2
2212
16824PF PF m m +=+=，…6分
从而得21m =，2244c m ==，2c =． ∴()120F -，
、()220F ，． …………7分 （2）∵F 1（-2，0），F 2（2，0），
由已知：1QF =，即2
2
12QF QM =，所以有：(
)
2
2
1221QF QF =-，设P （x ，y ）， …9分 则()()2
2
2
2
2221x y x y ⎡⎤++=-+-⎣⎦
，…12分
即()2
2
632x y -+=（或2212
x y x +-+综上所述，所求轨迹方程为：()2
2
6x y -+=
23. 解：（1）2
4y x = …………4分
（2）设2
(,)4
t N t -（t>0），则2(,2)M t t ，F(1,0)。

因为M 、F 、N 共线，则有FM NF k k =，…………6分 所以
2
2
211
14
t t
t t -=
--
，解得t =8分
所以21
k =
=-10分 因而，直线MN
的方程是1)y x =-。

…………11分 （3）“逆向问题”一：
①已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过定点(,0)2
p
A -。

…………13分 证明：设过F 的直线为y=k(x 2
p
-
)，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则11(,)R x y - 由24()
2y x
p y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得222
221(4)04k x pk x p k -++=，所以2124p x x =
，…………14分 1111()
222RA p
k x y k p p x x --==-++
，…………15分 2121121211()()()
222222
QA p p p k x k x x x k x k p p p x x x x x ---===-+++
=RA k ，…………16分 所以直线RQ 必过焦点A 。

…………17分
[注：完成此解答最高得6分。

]
②过点(,0)2
p A -的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，FP 与抛物线交于另一点R ，则RQ 垂直于x 轴。

[注：完成此解答最高得6分。

]
③已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>，过点B(m,0 )（m>0）的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过定点A(-m,0)。

[注：完成此解答最高得7分，其中问题3分。

]
“逆向问题”二：已知椭圆C ：22
221x y a b
+=的焦点为F 1(-c,0)，F 2(c,0)，过F 2的直线交椭圆C 于P 、Q 两
点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过定点2
(,0)a A c。

[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。

]
“逆向问题”三：已知双曲线C ：22
22
1x y a b
-=的焦点为F 1(-c,0)，F 2(c,0)，过F 2的直线交双曲线C 于P 、Q
两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过定点2
(,0)a A c。

[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。

] 其它解答参照给分。

24．（本题满分14分） 解：（1）由||2||||2121F F PF PF <=-知，点P 的轨迹E 是以F 1、F 2为焦点的
双曲线右支，由3,22,22
=∴==b a c ，故轨迹E 的方程为).1(13
2
2
≥=-x y x …4分 （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为),(),,(),2(2211y x Q y x P x k y -=，与双曲线方程联立消
y 得0344)3(2222=++--k x k x k ，
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎨⎧>-+=⋅>-=+>∆≠-∴0
3340340
032221222
12k k x x k k x x k 解得k 2 >3 ………………5分 （i ）2121))((y y m x m x +--=⋅
分7.3
)54(343)2(43)34)(1(4))(2()1()2)(2())((22
2222
2
2
22
2
2
221221221221 m k k m k m k m k k k k k k m x x m k x x k x x k m x m x +-+-=++-+--++=++++-+=--+--= 0,=⋅∴⊥MQ MP ，
故得0)54()1(3222=--+-m m k m 对任意的 32
>k 恒成立，
.1,0
540
12
2
-=⎪⎩⎪⎨⎧=--=-∴m m m m 解得 ∴当m =－1时，MP ⊥MQ .
当直线l 的斜率不存在时，由)0,1()3,2(),3,2(--M Q P 及知结论也成立， 综上，当m =－1时，MP ⊥MQ . ……………………………………………………8分 （ii ）2
1
,2,1=
∴==x c a 直线 是双曲线的右准线，……………………………9分
由双曲线定义得：||2
1
|||,|21||1||222QF QB PF PF e PA ===
， 方法一：||2||1||2||12122y y x x k AB PQ --+==∴λ
.1
121||21|)(|2||12212122k
k k x x k x x k +=+=--+= ………10分
33
21,3110,32
2
<<<<
∴>λ故k
k ，………12分 注意到直线的斜率不存在时，21
|,|||=
=λ此时AB PQ ，综上，.33,21⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈λ………14分 方法二：设直线PQ 的倾斜角为θ，由于直线PQ 与双曲线右支有二个交点，
3
23π
θπ
<
<∴
，过Q 作QC ⊥PA ，垂足为C ，则
.s i n 21
)2
c o s (21||2||||2|||,2|θθπλθπ=-===∴-=∠CQ PQ AB PQ PQC …………12分
由
,1sin 2
3,323
≤<<<θπθπ
得 故：.33,
21
⎪
⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈λ ………………14分
25（本小题满分12分）
解：（I ）由y x 42
=得241x y =
， ∴x y 2
1
='.∴ 直线l 的斜率为12='=x y ， 故l 的方程为1-=x y ， ∴点A 的坐标为（1，0）.设),(y x M ，则=（1，0），),2(y x -=，
),1(y x -=，
由0=+⋅BM AB 得0)1(20)2(22=+-⋅+⋅+-y x y x ，整理，得
12
22
=+y x . ∴动点M 的轨迹C 为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆. (II)如图，由题意知l '的斜率存在且不为零，
设l '方程为)0)(2(≠-=k x k y ①，
将①代入12
22
=+y x ，整理，得 0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k ，由0>∆得.2
1
02<<k
设),(11y x E 、),(22y x F ，则,122812822
212221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+k k x x k k x x ② 令OBF
OBE
S S ∆∆=λ， 则BF BE =λ，
由此可得 ⋅=λ，2
2
21--=
x x λ，且10<<λ.
由②知 2
21214
)2()2(k
x x +-=
-+-， 2
212121212
4)(2)2()2(k x x x x x x +=
++-=-⋅-.
∴ 812)
1(22
+=+k λλ, 即.21)1(422
-+=λλk ∵ 2102
<
<k ，∴ 2
1
21)1(402<-+<λλ， 解得 .223223+<<-λ又∵10<<λ， ∴1223<<-λ， ∴∆OBE 与∆OBF 面积之比的取值范围是（223-， 1）.
26(1)设1122(,),(,)A x y B x y 则22
112222
222
211
x y a b
x y a b
⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减得 2
121221212y y y y b x x x x a
-+⋅=--+ 则222142AB b k a ⋅=-=- 即222a b =故22b c =
由双曲线定义知离心率|4|e c
==
- (2)
由上知椭圆离心率为
2.
故e =
=
则a =
当a =,椭圆方程为22
1189
x y +=.
当a =,椭圆方程为2
212
x y +=.而此时(2,1)M 在椭圆外. 故舍去. 则所求椭圆方程为22
1189
x y +=.
(3)由题设知:3AB y x =-+.椭圆22220x y a +-=
222
320
y x x y a =-+⎧⎨+-=⎩得22312180x x a -+-=有22
1212(18)0a ∆=-->
故a >(2)
知1e =>
即|2
a a ⎧-<⎪⎨
-≠⎪⎩ 故a
的范围是(22,2+.
则长轴2
a
的范围是(42,4+.
14分
27
解：（Ⅰ）由已知得
()(,) 11 22
OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-分
14
m n ∴⋅= …………4分
（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP OA OB =+得
(,)()(,)x y m n =+
())m n m n =+- …………5分
∴ )
x m n
y m n =+⎧⎪⎨
=-⎪⎩ 消去m ，n 可得
22
43y x mn -=，又因14
mn = 8分 ∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=> 它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线
2
2
13
y x -=的右支 …………9分
（Ⅲ）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 2
2
3(2)3ty y +-=
即 22(31)1290t y ty -++=
易知2(31)0t -≠（否则，直线l
的斜率为 又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>
设1122(,),(,)M x y N x y ，则1212
22
129,31
31
t y y y y t t -+==--
∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧
12122121222
222(2)(2)2()4
91224313134031
x x ty ty t y y t y y t t t t t t t =++=+++-=⋅
+⋅+--+=->- ∴ 2
310t -<，即2
103
t <<
又由 120x x +>同理可得 2
103
t << …………11分
由3ME EN =得
1122(2,)3(2,)x y x y --=-
∴1212
23(2)
3x x y y -=-⎧⎨-=⎩
由122222
123231
t y y y y y t +=-+=-=--得22631
t y t =-
由2
122222
9(3)331y y y y y t =-=-=
-得22
2331
y t =--
消去2y 得
2222363(31)31
t t t =---
解之得：2115t = ，满足2
103
t << …………13分
故所求直线l
0y --=
0y +-= …………14分
28解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为：)0(12222>>=+b a b
y a x ，则12
2=-b a ．……①……1分
当l 垂直于x 轴时，B A ,两点坐标分别是),1(2a
b 和),1(2
a b -，
24221),1(),1(a b a b a b OB OA -=-⋅=⋅∴，则65
124=-a
b ，即426b a =．………② …3分
由①，②消去a ，得0162
4=--b b ．212
=
∴b 或312-=b （舍去）．当212=b 时，2
32
=a ． 因此，椭圆C 的方程为123
222
=+y x ．……5分
（Ⅱ）设存在满足条件的直线l ．
(1)当直线l 垂直于x 轴时，由（Ⅰ）的解答可知36
22=
=a b AB ，焦点F 到右准线的距离为212=-=c c a d ，此时不满足AB d 2
3
=．因此，当直线l 垂直于x 轴时不满足条件． 7分
（2）当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为)1(-=x k y ．
由⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=1232),1(2
2y x x k y ⇒03612)26(2222=-+-+k x k x k ， 设B A ,两点的坐标分别为),(11y x 和),(22y x ，则
1362221+=+k k x x ，2
6362221+-=k k x x ．
]
4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=
)]2
63
6(4)136)[(1(222222
+--++=k k k k k 13)1(62
2++=k k ． ……………………9分 又设AB 的中点为M ，则=+=221x x x M
1
3322
+k k ．
当ABP ∆为正三角形时，直线MP 的斜率为k k MP 1-
=．2
3
=P x ， )
13(2)
1(31)13323(111122222222++⋅
+=+-⋅+=-+=∴k k k k k k k x x k MP M P ． …………………………11分
当ABP ∆为正三角形时，AB MP 23
=，即)13(2)1(312222++⋅+k k k k ＝1
3)1(6232
2++⋅k k ， 解得12
=k ，1±=k ．…13分
因此，满足条件的直线l 存在，且直线l 的方程为01=--y x 或01=-+y x ．……14分
29．本小题考查椭圆简单几何性质、直线与椭圆的位置关系及向量知识的应用，
解：（1）由于2||,221121==F F NF F F ， ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+===-==∴.,1||1,2||22221221c b a NF c
a
F F c
解得⎪⎩⎪⎨⎧==1
2
22b a ，从而所求椭圆的方程为.1222=+y x ………………（3分） N B A ,,,∴=λ 三点共线，而点N 的坐标为（－2，0）.
设直线AB 的方程为)2(+=x k y ，其中k 为直线AB 的斜率，依条件知k ≠0.
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1
2
),
2(2
2y x x k y 消去x 得22)21(2
2=+-y y k ， 即.02412222=+-+y k y k k 根据条件可知⎪⎩⎪⎨⎧≠<+⋅-=∆.
0,01
28)4(222k k
k k 解得.22||0<<k ……（5分） 设),(),,(2211y x B y x A ，则根据韦达定理，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=+.122,1
2422
21221k k y y k k y y 又由),2(),2(,2211y x y x NB NA +=+=λλ得
⎩⎨⎧=+=+∴.),2(22121y y x x λλ 从而⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=+.
122,1
24)1(22
2222k k y k k y λλ 消去.1
28)1(22
2+=
+k y λ
λ得
令],3
1
,51[,)1()(2
∈+=
λλ
λλφ，则
.1
1
1)21
()(222λ
λλλλλφ-=-='++='由于 .0)(3151<'≤≤λφλ，所以
]31,51[)(是区间λφ∴上的减函数，从而)51()()31(φλφφ≤≤， 即536
)(316≤≤λφ，
5361283162≤+≤∴
k ，2
1
||625361283162≤≤≤+≤∴k k ，解得
而.2162220≤≤∴<
<k k ，因此直线AB 的斜率的取值范围是].2
1,62[7分） （2）上半椭圆的方程为2
2
221122
11,211211x y x y x y -=-=-
=，且 求导可得 2
2
112x x y -
-=
'所以两条切线的斜率分别为
2
2
2221
1
211
22
112,22
112y x x x k y x x x k PB PA -
=-
-=-
=-
-
= ………………（8分） [解法一]：切线PA 的方程是1
2
121111111222)(2y y x y x x y x x y x y y ++
-=--=-，即 又22212
1=+y x ，从而切线PA 的方程为 1
111
2y y x x y +
-
=同理可得切线PB 的方程为 .1
22
221y y x x y +-
= 由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=2221
111212y y x x y y y x x y 可解得点P 的坐标 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=---=21121
20
2112120
00)(2),(y x y x x x y y x y x y y x y x 满足
再由 ，得⎩⎨
⎧=++=+2
121)2(2y y x x λλ).(22
21221122211y y y x y x y x y x -=-⇔+=+
∴⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=--=-=---=AB k y y x x y y y y y x 21)(21)(2)(212120
12120
……………………（11分）
又由（1）知
231
22162≤≤⇔≤≤AB
AB k k ，∴.22310≤≤y 因此点P 在定直线1-=x 上，并且点P 的纵坐标的取值范围是[1，2
2
3] ……（12分） [解法二]：设点P 的从标为),(00y x ，则可得切线PA 的方程是
),(20110x x y x y y --
=-而点),(11y x A 在此切线上，所以有)(2011
101x x y x
y y --=-
即 212
1101022y x y y x x +=+ ………………（9分）
所以有 221010=+y y x x ， ①同理可得 .222020=+y y x x ②
根据①和②可知直线AB 的方程为，2200=+y y x x 而直线AB 过定点N （－2，0） ∴12200-=⇒=-x x 直线AB 的方程为 ,220=+-y y x ∴0
21
y k AB =
…（11分 又由（1）知
2162≤≤AB k ，所以有2
2
3121216200≤
≤⇔≤≤y y 因此点P 在定直线1-=x 上，并且点P 的纵坐标的取值范围是 ]2
2
3,
1[ ……（12分） 30、解：（1）设P 点坐标为)y ,x (，则 2
2
y )1x (y )1x (2
222=
+-++，化简得8y )3x (22=++， 所以曲线C 的方程为8y )3x (22=++；
（2）曲线C 是以)0,3(-为圆心，22为半径的圆 ，曲线'C 也应该是一个半径为22的圆，点)0,3(-关于直线x y =的对称点的坐标为)3,0(-，所以曲线'C 的方程为8)3y (x 22=++， 该圆的圆心)3,0(-到直线3m x y -+=的距离d 为 2
|m |)
1(1|
3m )3(0|d 2
2
=
-+-+--=
，
72
)28(8221|AB |d 21S 222
ABO
=⨯-=-⨯⨯=⨯⨯=m m d d △ 122=∴m ，或72
2
=m ，所以，2±=m ，或14±=m 。