切割线定理习题

切割线定理一、回顾旧知：
请结合以上的两图写出相交弦定理及推论的内容：
相交弦定理：。

二、探索发现：
A
P点从圆内向圆外移动时结论：PA ·PB=PC·PD是否成立？你能给出合理的证明吗？
三、练习：
（1）已知PAB 、PCD 是圆O 的割线，PA=5 ， AB=3 ，CD=3，则PC ＝ （2）已知PT 是圆O 的切线，PA=4， PT=6 ， 则圆O 的面积＝
（3）已知 ：圆1O 、2O 圆相交于A 、B ， P 是BA 延长线上的一点，PCD 是圆1O 的割线，
PEF 是圆2O 的割线， 求证：PC •PD=PE• PF
巩固加深
一、选择题（共15小题）
1．如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（）
A. B. C. D.
第1题第2题第3题
2．如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A，B，PA=14cm，AB=10cm，PO=20cm，则⊙O
的半径是（）
A. 8cm
B. 10cm
C. 12cm
D. 14cm
3．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4cm，PB=3cm，PC=6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE=cm，则PE的长为（）
A. 4cm
B. 3cm
C. 5cm
D.cm
4．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB 的延长线于点N．若MN=1，MQ=3，则NP等于（）
A. 1
B.
C. 2
D.3
第4题第5题第7题
5．如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，PA=3，AB=5，PC=4，则CD等于（）
A.6
B. 3
C.
D.
6．已知PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10cm，PB=5cm，则⊙O 的半径长为（）
A. 15cm
B. 10cm
C. 7.5cm
D. 5cm 7．（2004•锦州）如图，⊙O和⊙O′都经过点A和点B，点P在BA的延长线上，过P作⊙O 的割线PCD交⊙O于C、D，作⊙O′的切线PE切⊙O′于E，若PC=4，CD=5，则PE等于（）
A. 6
B. 2
C. 20
D.36
8．如图⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）
A. CE•CD=BE•BA
B. CE•AE=BE•DE
C. PC•CA=PB•BD
D. PC•PA=PB•PD
第8题第10题第11题
9．已知AB为⊙O的直径，C为AB的延长线上一点，过C的直线与相切于点D，若BC=2，CD=4，则⊙O的半径长是（）
A.3
B.6
C.8
D. 无法计算
10．如图，已知⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，且点O1在⊙O2上，过A作⊙O1的切线AC交BO1的延长线于点P，交⊙O2于点C，BP交⊙O1于点D，若PD=1，PA=，则AC 的长为（）
A. B. C. D.
11．如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB，PCD分别为这两圆的割线．若PA=3，PB=6，PC=2，则PD等于（）
A.12
B.9
C. 8
D.4
12．如图，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（）
A. B. C. D.
第12题第13题第14题
13．如图，已知PAC为⊙O的割线，连接PO交⊙O于B，PB=2，OP=7，PA=AC，则PA 的长为（）
A. B. 2 C. D. 3
14．如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB=60°，点P到圆心O的距离OP=2，则⊙O的半径为（）
A. B.1 C. D.2
15．（2007•双柏县）如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与
⊙O相交于B、C两点，PB=2cm，BC=8cm，则PA的长等于（）
A. 4cm
B. 16cm
C. 20cm
D. 2cm
二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）
16．（2003•泸州）如图，⊙O1与⊙O2相交于C、D两点，⊙O1的割线PAB与DC的延长线交于点P，PN与⊙O2相切于点N，若PB=10，AB=6，则PN=_________．
第16题第17题第18题
17．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA=6，PB=4，弧AB的度数为60°，则BC=_________，∠PCA=_________度，∠PAB=_________度．18．如图，ABCD是边长为2 a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切⊙O于E，与BA的延长线交于F，EF的长_________．
19．如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=8cm，PO交⊙O于点C，且PO=10cm，则⊙O的半径为_________cm．
第19题第20题第21题
20．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB=60°，AC=2，那么CD的长为_________．
21．如图，在△ABC中，∠C=90度．以BC为直径作⊙O与斜边AB交于点D，且AD=3.2cm，BD=1.8cm，则AC=_________cm．
22．如图，PT是半径为4的⊙O的一条切线，切点为T，PBA是经过圆心的一条割线，若B是OP的中点，则PT的长是_________．
第22题第23题第24题
23．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=2，那么PE的长_________．
24．如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A、B，PA=7cm，AB=5cm，PO=10cm，则⊙O的半径为_________．
25．如图，已知两圆相交于CD两点，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，CD的延长线交AB于M，若MD=3，CD=9，则AB的长等于_________．
第25题第26题第27题
26．如图，PT是⊙O的切线，切点是T，M是⊙O内一点，PM及PM的延长线交⊙O于B，C，BM=BP=2，PT=，OM=3，那么⊙O的半径为_________．
27．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC，若OA=2，且AD+OC=6，则CD=_________．
28．如图，已知PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，PA=，PB=BC，⊙O的半径OC=5，那么弦BC的弦心距OM=_________．
第28题第29题第30题
29．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则AD=_________．
30．如图，PT切⊙O于点T，直径BA的延长线交PT于点P，若PT=4，PA=2，则⊙O的半径长是_________．
31．如图，AB是⊙O的直径，CB、CE分别切⊙O于点B、D，CE与BA的延长线交于点E，连接OC、OD．
（1）△OBC与△ODC是否全等？_________（填“是”或“否”）；
（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算⊙O半径r 的一种方案：
①你选用的已知数是_________；
②写出求解过程．（结果用字母表示）
【单点训练】切割线定理
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题）
1．（2004•呼和浩特）如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（）
A．B．C．D．
考点：切割线定理．
专题：计算题．
分析：延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC，由半径OC的长，得到半径OE的长，再由OE+OP得出EP的长，OP﹣OC得出CP的长，由PA=AB，设出PA=AB=x，则BP=2x，根据四边形ACEB为圆O的内接四边形，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形ACP与三角形EBP相似，由相似得比例，将各自的长代入列出关于x 的方程，求出方程的解得到x的值，即为AB的长．
解答：解：延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC，
∵OC=3，OP=5，
∴OE=OC=3，
∴EP=OE+OP=3+5=8，CP=OP﹣OC=5﹣3=2，
设PA=AB=x，则BP=2x，
∵四边形ACEB为圆O的内接四边形，
∴∠ACP=∠E，又∠P=∠P，
∴△ACP∽△EBP，
∴=，即=，
解得：x=2或x=﹣2（舍去），
则AB=2．
故选B
点评：此题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了转化及方程的思想，其中作出如图所示的辅助线是解本题的关键．
2．（2006•泰安）如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A，B，PA=14cm，AB=10cm，PO=20cm，则⊙O的半径是（）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
考点：切割线定理．
分析：根据切割线定理代入公式即可求解．
解答：解：设圆O的半径是x，
则PA•PB=（PO﹣r）（PO+r），
∴14×（14+10）=（20﹣x）（20+x），
解得x=8．
故选A．
点评：本题的关键是利用割线定理求线段的长．
3．（2004•镇江）如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4cm，PB=3cm，PC=6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE=cm，则PE的长为（）
A．4cm B．3cm C．5cm D．cm
考点：切割线定理；相交弦定理．
分析：首先根据相交弦定理得PA•PB=PC•PD，得PD=2．设DE=x，再根据切割线定理得AE2=ED•EC，即
x（x+8）=20，x=2或x=﹣10（负值舍去），则PE=2+2=4．
解答：解：∵PA•PB=PC•PD，PA=4cm，PB=3cm，PC=6cm，
∴PD=2；
设DE=x，
∵AE2=ED•EC，
∴x（x+8）=20，
∴x=2或x=﹣10（负值舍去），
∴PE=2+2=4．
故选A．
点评：此题综合运用了相交弦定理和切割线定理．
4．（2004•淮安）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN=1，MQ=3，则NP等于（）
A．1B．C．2D．3
考点：切割线定理；切线长定理．
分析：根据切线长定理得PN2=NB•NA，根据割线定理得NB•NA=NM•NQ，所以PN2=NM•NQ即可求得PN的长．
解答：解：∵PN2=NB•NA，NB•NA=NM•NQ，
∴PN2=NM•NQ=4，
∴PN=2．
故选C．
点评：此题能够有机地把切割线定理和割线定理相结合，把要求的线段和已知的线段联系到一起．
5．（2004•三明）如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，PA=3，AB=5，PC=4，则CD等于（）
A．6B．2C．D．
考点：切割线定理．
分析：首先求得PB的长，再根据割线定理得PC•PD=PA•PB即可求得PD及CD的长．
解答：解：∵PA=3，AB=5，PC=4，
∴PB=8，
∵PC•PD=PA•PB，
∴PD=6，
∴CD=6﹣4=2．
故选B．
点评：此题主要是运用了割线定理．
6．（2005•荆门）已知PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10cm，PB=5cm，则⊙O的半径长为（）
A．15cm B．10cm C．7.5cm D．5cm
考点：切割线定理．
分析：根据切割线定理分析解答．
解答：解：根据切割线定理的PA2=PO•PC，
所以100=5×PC，PC=20cm，BC=20﹣5=15cm．
因为PBC是过点O的割线，
所以⊙O的半径长为15×=7.5cm．
故选C．
点评：利用切割线解题时要注意BC是直径，而求得是半径，不要误选A．
7．（2004•锦州）如图，⊙O和⊙O′都经过点A和点B，点P在BA的延长线上，过P作⊙O 的割线PCD交⊙O于C、D，作⊙O′的切线PE切⊙O′于E，若PC=4，CD=5，则PE等于（）
A．6B．2C．20 D．36
考点：切割线定理．
分析：根据割线定理得PA•PB=PC•PD，根据切割线定理得PE2=PA•PB，所以PE2=PC•PD，从而可求得PE的长．
解答：解：∵PA•PB=PC•PD，PE2=PA•PB，PC=4，CD=5，
∴PE2=PC•PD=36，
∴PE=6．
故选A．
点评：注意：割线定理和切割线定理的运用必须在同一个圆中．这里借助割线PAB，把要求的线段和已知线段建立了关系．
8．（2004•天津）如图⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）
A．C E•CD=BE•BA B．C E•AE=BE•DE C．P C•CA=PB•BD D．P C•PA=PB•PD
考点：切割线定理；相交弦定理．
分析：根据相交弦定理的割线定理即可求解．
解答：解：由相交弦定理知，CE•ED=BE•AE，由割线定理知，PC•PA=PB•PD，只有D正确．
故选D．
点评：本题利用了相交弦定理和割线定理．
9．（2003•资阳）已知AB为⊙O的直径，C为AB的延长线上一点，过C的直线与相切于点D，若BC=2，CD=4，则⊙O的半径长是（）
A．3B．6C．8D．无法计算
考点：切割线定理．
分析：设圆的半径是x，根据切割线定理得CD2=CB•AC，可求得CA与AB的长，从而可得到圆的半径．
解答：解：设圆的半径是x；
∵CD2=CB•AC，BC=2，CD=4，
∴CA=8，
∴AB=6，
∴圆的半径是3．
故选A．
点评：此题主要是运用了切割线定理．
10．（2003•武汉）如图，已知⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，且点O1在⊙O2上，过A作⊙O1的切线AC交BO1的延长线于点P，交⊙O2于点C，BP交⊙O1于点D，若PD=1，PA=，则AC的长为（）
A．B．C．D．
考点：切线的性质；勾股定理；切割线定理．
专题：综合题．
分析：根据PA2=PD•PB，作为相等关系可求得PB=5，BD=4，O1D=O1B=2，再根据割线定理PA•PC=PO1•PB，可求得PC=3，
从而求得AC=2．
解答：解：∵PA2=PD•PB，即（）2=1×PB，
解得PB=5，
∴BD=BP﹣PD=5﹣1=4，O1D=O1B=4÷2=2，
∵PA•PC=PO1•PB，
∴×PC=3×5，
即PC=3，
∴AC=PC﹣AP=3﹣=2．
故选B．
点评：根据切割线定理和割线定理解答．此题要关注两个关键点：A为两圆交点，PB过点O1．
11．（2004•温州）如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB，PCD分别为这两圆的割线．若PA=3，PB=6，PC=2，则PD等于（）
A．12 B．9C．8D．4
考点：切割线定理．
分析：根据切割线定理得PT2=PA•PB，PT2=PC•PD，所以PA•PB=PC•PD，从而可求得PD 的长．
解答：解：∵PT2=PA•PB，PT2=PC•PD，
∴PA•PB=PC•PD，
∵PA=3，PB=6，PC=2，
∴PD=9．
故选B．
点评：注意：切割线定理和割线定理都是在同一个圆中运用的．此题借助切线把要求的线段和已知线段联系到了一起．
12．（2006•临沂）如图，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（）
A．B．C．D．
考点：切割线定理；切线长定理．
分析：根据切线长定理得AE=AC，根据勾股定理得AB的长，从而得到BE的长，再利用切割线定理得BE2=BD•BC，从而可求得BD的长，也就得到了半径的长．
解答：解：∵AE=AC=5，AC=5，BC=12，
∴AB=13，
∴BE=8；
∵BE2=BD•BC，
∴BD=，
∴CD=，
∴圆的半径是，
故选A．
点评：此题综合运用了切线长定理、勾股定理和切割线定理．
13．（2004•沈阳）如图，已知PAC为⊙O的割线，连接PO交⊙O于B，PB=2，OP=7，PA=AC，则PA的长为（）
A．B．2C．D．3
考点：切割线定理．
分析：设PA=x，延长PO交圆于D，根据割线定理得PA•PC=PB•PD即可求得PA的长，也就求得了AC的长．
解答：解：设PA=x，延长PO交圆于D，
∵PA•PC=PB•PD，PB=2，OP=7，PA=AC，
∴x•2x=24，
∴x=2．
故选B．
点评：此题通过作辅助线构造割线定理列方程求解．
14．（2006•永州）如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB=60°，点P到圆心O的距离OP=2，则⊙O的半径为（）
A．B．1C．D．2
考点：切割线定理；等边三角形的性质；勾股定理．
分析：根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知∠APO的度数，连接OA，可知OA⊥AP，故在
Rt△AOP中，根据三角函数公式，可将半径求出．
解答：解：连接OA
∵PA为⊙O的切线
∴PA⊥OA
∵∠APO=∠APB=30°
∴OA=OP×sin∠APO=2×=1
∴⊙O的半径为1
故选B．
点评：本题主要考查圆的切线长定理．
15．（2007•双柏县）如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB=2cm，BC=8cm，则PA的长等于（）
A．4cm B．16cm C．20cm D．2cm
考点：切割线定理．
分析：根据已知得到PC的长，再根据切割线定理即可求得PA的长．
解答：解：∵PB=2cm，BC=8cm，
∴PC=10cm，
∵PA2=PB•PC=20，
∴PA=2，
故选D．
点评：此题主要是运用了切割线定理．注意：切线长的平方应是PB和PC的乘积．
二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）
16．（2003•泸州）如图，⊙O1与⊙O2相交于C、D两点，⊙O1的割线PAB与DC的延长线交于点P，PN与⊙O2相切于点N，若PB=10，AB=6，则PN=2．
考点：切割线定理．
分析：根据割线定理和切割线定理，可以证明PA•PB=PC•PD=PN2，从而求得PN的值．
解答：解：根据割线定理，得PA•PB=PC•PD=（10﹣6）×10=40，
根据切割线定理，得PN2=PC•PD=40，
则PN=2．
故答案为：2．
点评：此题综合运用了割线定理和切割线定理进行计算．
17．（2003•常州）如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA=6，PB=4，弧AB的度数为60°，则BC=5，∠PCA=30度，∠PAB=30度．
考点：切割线定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
分析：根据切割线定理得PA2=PB•PC可求得PC与BC的长，根据圆周角定理知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，即∠PCA=30°，最后根据弦切角定理得
∠PAB=30°．
解答：解：∵PA2=PB•PC，PA=6，PB=4；
∴PC=9，
∴BC=5；
∵弧AB的度数为60°，
∴∠PCA=30°，
∴∠PAB=30°．
点评：此题综合运用了切割线定理和圆周角、弦切角与弧的度数的关系．
18．（2001•内江）如图，ABCD是边长为2 a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切⊙O 于E，与BA的延长线交于F，求EF的长．
答：EF=a．
考点：切割线定理；圆周角定理．
分析：本题利用切线的性质，割线定理，及圆周角定理，结合相似三角形的性质解答．
解答：解：连接OE；
∵CE切⊙O于E，
∴OE⊥CF，
∴△EFO∽△BFC，
∴=；
又∵OE=AB=BC，
∴EF=FB；
设EF=x，则FB=2x，FA=2x﹣2a；
∵FE切⊙O于E，
∴FE2=FA•FB，
∴x2=（2x﹣2a）•2x，
解得x=a，
∴EF=a．
点评：本题考查切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质．解答此题的关键是连接OE，构造出相似三角形，再解答．
19．（1999•贵阳）如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=8cm，PO 交⊙O于点C，且PO=10cm，则⊙O的半径为4cm．
考点：切割线定理．
分析：延长PO交⊙O于D，设⊙O的半径是xcm．根据割线定理列方程求解．
解答：解：延长PO交⊙O于D，设⊙O的半径是xcm．
根据割线定理，得
PA•PB=PC•PD．
即（10﹣x）（10+x）=6×（6+8），
100﹣x2=84，
x2=16，
x=±4（负值舍去）．
即圆的半径是4cm．
点评：此题主要是通过作辅助线，构造割线，熟练运用割线定理列方程求解．
20．（2002•四川）如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB=60°，AC=2，那么CD的长为．
考点：切割线定理；切线的性质．
分析：连接AD，OB，OP，根据已知可求得AP，PC的长，再根据切割线定理得，PA2=PD•PC，从而可求得PD与CD的长．
解答：解：连接AD，OB，OP；
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠AOB=180°﹣∠P=120°，
∴∠AOP=60°，AP=AOtan60°=，
∴PC=；
∵PA2=PD•PC，
∴PD=，
∴CD=．
点评：本题考查切线的性质，勾股定理，四边形的内角和为360°，切割线定理等的综合运用．
21．（2004•泸州）如图，在△ABC中，∠C=90度．以BC为直径作⊙O与斜边AB交于点D，且AD=3.2cm，BD=1.8cm，则AC=4cm．
考点：切割线定理；切线的判定．
分析：先根据已知条件，证得AC是⊙O的切线；然后运用切割线定理求出AC的长．
解答：解：∵BC是⊙O的直径，AC⊥BC，
∴AC是⊙O的切线，且切点为C；
由切割线定理，得：AC2=AD•AB，
∵AD=3.2cm，BD=1.8cm，AB=5cm，
∴AC2=3.2×5=16，即AC=4cm．
故答案为：4．
点评：解决此题的关键是能够发现AC是圆的切线，再熟练运用切割线定理求解．
22．（2002•丽水）如图，PT是半径为4的⊙O的一条切线，切点为T，PBA是经过圆心的一条割线，若B是OP的中点，则PT的长是4．
考点：切割线定理．
分析：根据题意，得PB=4，PA=12；再根据切割线定理得PT2=PB•PA，即可求得PT的值．解答：解：∵半径为4，B是OP的中点，
∴PB=4，PA=12，
∵PT2=PB•PA，
∴PT=4．
点评：此题主要是考查了切割线定理的运用．
23．（1999•成都）如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=2，那么PE的长4．
考点：切割线定理；相交弦定理．
分析：首先根据相交弦定理求得PD的长，再根据切割线定理求得DE的长，进而可求出PE 的长．
解答：解：∵PA=4，PB=3，PC=6，
∴PD==2．
设DE=x．
∵EA切⊙O于点A，
∴EA2=ED•EC，
即x（x+8）=20，
x2+8x﹣20=0，
x=2，x=﹣10（负值舍去）．
则PE=DE+PD=4．
点评：此题综合运用了相交弦定理和切割线定理．
24．（2006•余姚市）如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A、B，PA=7cm，AB=5cm，PO=10cm，则⊙O的半径为4．
考点：切割线定理．
分析：根据割线定理求解．
解答：解：延长PO交圆于点D，
由割线定理知，PA•PB=PC•PD=（PO﹣CO）（PO+CD），
代入数据解得，CO=4．
点评：本题利用了割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA•PB=PC•PD．
25．（2001•湖州）如图，已知两圆相交于CD两点，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，CD的延长线交AB于M，若MD=3，CD=9，则AB的长等于12．
考点：切割线定理．
分析：根据切割线定理得AM2=MD•MC=36，BM2=MD•MC，从而可求得AM=BM=6，即得到了AB的长．
解答：解：∵AM2=MD•MC=36，BM2=MD•MC，MD=3，CD=9；
∴AM=BM=6，
∴AB=12．
点评：此题主要是运用切割线定理进行计算．
26．（2000•金华）如图，PT是⊙O的切线，切点是T，M是⊙O内一点，PM及PM的延长线交⊙O于B，C，BM=BP=2，PT=，OM=3，那么⊙O的半径为．
考点：切割线定理；勾股定理；垂径定理．
分析：已知了PT、BP的长，根据切割线定理易求得BC的长；在线段OM的基础上作⊙O 的直径，根据相交弦定理即可求出⊙O的半径．
解答：解：∵PT是⊙O的切线，
由切割线定理，得：PT2=PB•PC；
∵PT=2，BP=2；
∴PC=PT2÷PC=10；
∴BC=8，CM=6；
过O、M作⊙O的直径，交⊙O于E、F；
设⊙O的半径为R，则EM=R+3，MF=R﹣3；
由相交弦定理，得：（R+3）（R﹣3）=BM•MC；
R2﹣9=2×6，即R=．
故⊙O的半径为．
点评：此题综合考查了切割线定理和相交弦定理．
27．（2000•台州）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC，若OA=2，且AD+OC=6，则CD=．
考点：切割线定理；平行线的性质；圆周角定理．
专题：计算题．
分析：连接BD，根据AD∥OC，易证得OC⊥BD，根据垂径定理知：OC垂直平分BD，可得CD=CB，因此只需求出CB的长即可；
延长AD，交BC的延长线于E，则OC是△ABC的中位线；设未知数，表示出OC、AD、AE的长，然后在Rt△ABE中，表示出BE的长；最后根据切割线定理即可求出未知数的值，进而可在Rt△CBO中求出CB的长，即CD的长．
解答：解：连接BD，则∠ADB=90°；
∵AD∥OC，
∴OC⊥BD；
根据垂径定理，得OC是BD的垂直平分线，即CD=BC；
延长AD交BC的延长线于E；
∵O是AB的中点，且AD∥OC；
∴OC是△ABE的中位线；
设OC=x，则AD=6﹣x，AE=2x，DE=3x﹣6；
Rt△ABE中，根据勾股定理，得：BE2=4x2﹣16；
由切割线定理，得BE2=ED•AE=2x（3x﹣6）；
∴4x2﹣16=2x（3x﹣6），解得x=2，x=4；
当x=2时，OC=OB=2，由于OC是Rt△OBC的斜边，显然x=2不合题意，舍去；
当x=4时，OC=4，OB=2；
在Rt△OBC中，CB==2．
∴CD=CB=2．
点评：本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质、切割线定理、中位线定理等知识，综合性强，难度较大．
28．（2005•河南）如图，已知PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，PA=，PB=BC，⊙O的半径OC=5，那么弦BC的弦心距OM=4．
考点：切割线定理．
分析：根据切割线定理得到PA2=PB•PC，设BC=x，则PB=x，PC=2x，因而得到2x2=72，解得x=6；OM⊥BC，则满足垂径定理，在直角△OMC中，根据勾股定理可得到OM=4．解答：解：∵PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，
∴PA2=PB•PC；
设BC=x，则PB=x，PC=2x，
∴2x2=72，
解得x=6；
∵OM⊥BC，
在直角△OMC中，
∵OC=5，CM=3，
∴OM=4．
点评：本题解决的关键是正确理解记忆切割线定理，以及垂径定理．
29．（2007•包头）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则AD=．
考点：切割线定理；勾股定理．
分析：根据勾股定理求得AB的长，再根据切割线定理解答．
解答：解：∵AC=3，BC=4，
∴AB===5；
∵BC2=BD•BA，
∴42=BD•5，
∴BD=，
∴AD=AB﹣BD=5﹣=．
点评：此题主要考查切割线定理的运用．
30．（2003•江西）如图，PT切⊙O于点T，直径BA的延长线交PT于点P，若PT=4，PA=2，则⊙O的半径长是3．
考点：切割线定理．
专题：计算题．
分析：根据切割线定理得PT2=PA•PB从而可求得PB的长，也可得到AB的长，即不难求得圆的半径．
解答：解：∵PT2=PA•PB，PT=4，PA=2，
∴PB=8，
∴AB=6，
∴圆的半径是3．
点评：考查了圆的性质，切线的性质及切割线定理及其的运用．
三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）
31．（2006•双柏县）如图，AB是⊙O的直径，CB、CE分别切⊙O于点B、D，CE与BA 的延长线交于点E，连接OC、OD．
（1）△OBC与△ODC是否全等？是（填“是”或“否”）；
（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算⊙O半径r 的一种方案：
①你选用的已知数是a、b、c，或其中2个；
②写出求解过程．（结果用字母表示）
考点：切割线定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质．
专题：方案型．
分析：（1）由切线和切线长定理可知，∠ODC=∠OBC=90°，OD=OB，OC=OC从而得到△OBC≌△ODC（HL）；
（2）可选择a，b，c或其中的两个．求由勾股定理求解或切割线定理求解．
解答：解：（1）△OBC与△ODC全等．
证明：∵CD、CB是⊙O的切线
∴∠ODC=∠OBC=90°
∵OD=OB，OC=OC
∴△OBC≌△ODC（HL）；
（2）①选择a、b、c，或其中2个；
②若选择a、b：由切割线定理：a2=b（b+2r），得r=
若选择a、b、c：
方法一：在Rt△EBC中，由勾股定理：（b+2r）2+c2=（a+c）2，得r=
方法二：Rt△ODE∽Rt△CBE，，得r=
方法三：连接AD，可证：AD∥OC，，得r=
若选择a、c：需综合运用以上的多种方法，得r=
若选择b、c，则有关系式2r3+br2﹣bc2=0．
点评：本题考查了切线的概念，切线长定理，勾股定理及全等三角形的判定等知识点的综合运用．。