高三复习专题组合恒等式(共三课时)

第一课时：简单的组合恒等式的证明
【教学目标】
1.掌握基本的组合数公式，能较为熟练的运用组合数公式.
2.了解组合恒等式的基本的证明方法，会证明较为典型的组合恒等式. 【教学过程】 一、课堂引入
同学们了解以下的组合数公式吗？解决组合恒等式问题需要对组合数公式比较熟悉，所以要掌握一些最基本的公式和常用的组合恒等式. 1.基本组合数公式
（1）k n n k n C C -= （2）11-++=k n k n k n C C C （3）11--=k n k n nC kC 或11--=
k n k
n C k
n C （4）m
m k n m k n m k m n m n m k k n C C C C C C +----==（n k m ≤≤）.
2.常见的组合恒等式
（1）n
n n n n n C C C C 2...210=++++； （2）0)1(...10=-++-n
n n n n C C C ；
（3）1
1121...++-++=+++++m n m n m n m m m m m m C C C C C C .
以上的恒等式可以通过赋值法进行证明. 二、例题精讲
例1.证明：1
1
121...++-++=+++++m n m n m n m m m m m m C C C C C C 证法一组合数公式法: 有组合数性质1
1n -++=k n
k n k C C C 可得： 左边=m n m n m m m m m m C C C C C +++++-++++12111...)（=m
n
m n m m m m m m C C C C C +++++-++++13212...)（ =m n m n m m m m m m C C C C C +++++-++++14313...)（=......=m
n
m n m n C C C ++-+-111 ===++++111m n m n m n C C C 右边
证法二组合数实际意义： 设有n+1个不同元素,,,...,,,1321+n n a a a a a 从这n+1个元素中取出
m+1个不同元素的取法有1
1++m n C 种。

另一方面，我们也可将这些取法分类考虑如下：
若取1a ，则有m
n C 种取法，
若不取1a ，取出2a ，则有m
n C 1-种取法，
若不取21,a a 取出3a 则有m
n C 2-种取法，…， 若不取,,...,,,321m n a a a a -取出1+-m n a 则有m m C 种取法
所以取法种数又等于∑=n
m
k m
k
C
，因此原式成立
证法三母函数法：等式左边m
n m n m m m m m m C C C C C +++++-++121...是
()()()()n n m m x x x x ++++++++-+111111Λ的展开式中含m x 的项的系数，由数列求和公
式可得1,0-≠≠x x 时()()()()n n m m x x x x ++++++++-+111111Λ
()()[]()()()x
x x x x x m
n m n m +-+=
-+-++=+-+111111111 上式右边展开式中含m x 的项就是分子中含1+m x 的项，其系数为11++m n C ，因此有 1
1
121++-++=+++++m n m n m n m m m m m n C C C C C C Λ 证法四数学归纳法：对任意的*N m ∈
①当m n =时
左边=m m C 右边=m
m C 显然成立 ②当)(m k k n ≥=时命题成立，即
11121...++-++=+++++m k m k m k m m m m m m C C C C C C 当1+=k n 时， 1
21111121...++++++-++=+=++++++m k m k m k m k m k m k m m m m m m C C C C C C C C C 即当1+=k n 时也成立，
综上所述由①②可得，原命题成立即1
1121++-++=+++++m n m n m n m m m m m n C C C C C C Λ.
说明：通过此道非常基础的习题，我们可以看出组合恒等式的四种常用解法. 其中母函数法和构造组合模型法，这两种方法都用到了“算两次”的思想，所谓“算两次”原理，又称富比尼原理，就是对同一个量，用两种不同的方法去计算，所得的结果应相等（在常州模拟卷中有类似的算两次描述）.其中利用组合数的实际意义构造模型相对较难操作，并且在阅卷时较为不利，所以仅作教学示范，在平时考试解题时一般不推荐使用.
例2.当1,n n N *
≥∈时，
（1）求证：12322111
23(1)(1)n n n n n n n n n n C C x C x n C x nC x n x ----++++-+=+L ；
（2）求和：212223212123(1)n n
n n n n n C C C n C n C -++++-+L ．
证法一组合数公式法: （1）左边=1
1111
11
11
1
1
(1)n
n
n
k k k k k k n n
n n k k k kC
x
nC
x
n C x n x --------======+∑∑∑=右边． （2）左边=
21
111
1
1
1
11
1
1
1
1
[(1)]n n
n
n
n
k k k k k n
n n n n k k k k k k C knC
n kC
n C
k C --------========+-∑∑∑∑∑． 1
2
1
21
22
22
2
[2
(1)][2
(1)]2
(1)2n n
n k n k n n n n k k n n C
n n C n n n --------===+-=+-=+-∑∑
2(1)2n n n -=+
证法二求导积分赋值法：
（1）由0011(1)n n n
n n n x C x C x C x +=++⋅⋅⋅+两边对x 求导可得 1121
(1)2n n n n n n n x C C x nC x --+=++⋅⋅⋅+显然命题得证.
（2）1
121(1)
2n n n n n n n x C C x nC x --+=++⋅⋅⋅+ 两边同时乘以x
1122(1)2n n n
n n n nx x C x C x nC x -+=++⋅⋅⋅+两边再对x 求导可得
2112221
(1)(1)(1)2n n n n n n n n n x n x C C x n C x ----+++=++⋅⋅⋅+令1x =可得
22212223212()2123(1)n n n
n n n n n
n n C C C n C n C --+=++++-+L
说明：本题通过对原来的函数进行求导变形后，能得到不同的组合恒等式，是非常典型的导函数赋值法的题，与前面的母函数法本质相通却又有所不同，需要用到求导或积分的手段，而且针对组合数上标的不同特征应该采用不同的构造母函数的方法，然后考察特定项或者整体项，个人觉得如果恒等式中组合数上标递增且含有整数的n 次幂应该用整体法，如果组合数上标均为同一个值应该采用考察特定项法. 例3.（16江苏高考题） ⑴ 求34
677C 4C -的值；
⑵ 设*
,m n ∈N ，n m ≥，求证：
()()()()()2
12121C 2C 3C C 1C 1C m m m
m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+L ．
（2）证法一组合数公式法:
因为()()1
11C 1C m
m k k k m +++=+，所以
左边()()()1
1
1
1211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++L ()()
1
1
1
1211C C C m m m m m n m ++++++=++++L
又由1
11C C C k k k n n n ---=+，知
2212112111112111221121
C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++L L L 所以，左边=右边． 证法二母函数法:
等式左边 ()()()()1211C 2C 3C C 1C m
m m m m
m m m n n m m m n n ++-+++++++++L 为
函数()()()1
1()1(1)2(1)
(1)1(1)m
m n n f x m x m x n x n x +-=++++++⋅⋅⋅+++++
（0,1x x ≠≠-）的展开式中含m x 前的系数
记()()()111(1)2(1)(1)1(1)m m n n S m x m x n x n x +-=++++++⋅⋅⋅+++++则
()()()121(1)1(1)2(1)(1)1(1)m m n n x S m x m x n x n x ++++=++++++⋅⋅⋅+++++
用错位相减法易求得
112
(1)(1)(1)(1)(1)m n n m
x x n x m x S x x x +++-++++=+-其中m x 前的系数为 212
112-C (1)C (1)m m m n n n n m C ++++++++=+即命题得证.
证法三求导积分赋值法：
令()()()11()1(1)2(1)(1)1(1)m m n n f x m x m x n x n x +-=++++++⋅⋅⋅+++++ 只要看其中m x 前的系数，令'()()g x f x =则
21
1
1
(1)(1)()(1)(1)n m m n x x g x x x x x
++++++=++⋅⋅⋅++=-
即只要看()g x 中含1m x +的项 显然为21
2m m n C x +++ ，再对x 求导可得()f x 中m x 前的系数为22(1)m n m C +++.
证法四数学归纳法：对任意的*m ∈N ，
① 当n m =时，左边()1C 1m
m m m =+=+，右边()2
21C 1m m m m ++=+=+，等式成立，
② 假设()n k k m =≥时命题成立，
即()()()()()2
12121C 2C 3C C 1C 1C m
m
m
m
m
m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+L ，
当1n k =+时，
左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m
m
m
m
m
m
m m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++L
()()2211C 2C m m
k k m k +++=+++，
右边()2
31C m k m ++=+，
而()()2
2
321C 1C m m k k m m +++++-+，
()()()()()()()()()()()()()
()()()1
3!2!12!1!2!!2!
1312!1!1!
2!1!
2C m k k k m m k m m k m k m k k m m k m k k m k m k +⎡⎤++=+-⎢⎥
+-++-⎣⎦
+=+⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-++=+-+=+ ()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，
因此左边=右边，1n k =+时命题也成立.
综上所述由①②可得命题对任意n m ≥均成立．
说明：本题中具体操作性较强的为组合数公式法和导函数法，其中组合数公式需用阶乘式另行证明.母函数法运算量较大，数学归纳法证明恒等式非常有效，而且高中阶段的递推一般不会太复杂，所以比较容易上手，但是有一定的局限性.
总结：证明组合恒等式的常用方法
（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明； （2）母函数法，也成为生成函数法；
（3）求导数积分赋值法（类似于陈颖老师所说的函数升降格变形）； （4）数学归纳法；
（5）利用组合数的实际意义； 在具体解题中，常常需将这些方法同时结合运用. 其中法5利用组合数的实际意义不常用. 【巩固练习】
1. 已知776
7610(31)x a x a x a x a -=++++L
求：（1）127a a a +++L ；（2）1357a a a a +++；（3）0246a a a a +++.
2. （08江苏）请先阅读：
在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2
(cos 2)(2cos 1) x x ''=-， 由求导法则，得(sin 2)24cos (sin )
x x x -=-g g ，化简得等式：sin 22cos sin x x x =g ． （1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1+x)=C C C C n n n n n n n x x x ++++L
（x ∈R ，正整数2n ≥），证明：1
1
2
[(1)
1]C n
n k k n k n x k x
--=+-=∑． （2）对于正整数3n ≥，求证： （i ）
1
(1)
C 0n
k
k
n
k k =-=∑； （ii ）21
(1)C 0n
k k
n k k =-=∑； 证明：（1）在等式c 两边对x 求导得
112121
(1)2(1)n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x ----+=+++-+L
移项得 1
1
2
[(1)
1]n
n k k n k n x kC x --=+-=∑ （*）
（2）（i ）在（*）式中，令1x =-，整理得 1
1
(1)
0n
k k
n k kC -=-=∑
所以
1
(1)
0n
k
k
n k kC =-=∑
（ii ）由（1）知1
12121
(1)2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥L
两边对x 求导，得2
232
(1)(1)
232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x ---+=+++-g L
在上式中，令1x =-
232
20232(1)(1)(1)n n n n C C n n C -=+-++--g
L 即
22
(1)(1)0n
k
k n
k k k C
-=--=∑，
亦即
22
(1)
()0n
k
k
n k k k C =--=∑ （1）
又由（i ）知
1
(1)
0n
k
k
n k kC =-=∑ （2）
由（1）+（2）得
21
(1)
C 0n k
k n k k =-=∑
第二课时：组合恒等式的应用
【教学目标】
1.掌握高中阶段组合恒等式证明的四种方法，能熟练选择并运用.
2.会用组合恒等式的思想解决一些较为复杂的组合数求值问题，理解组合数求值问题的本质. 【教学过程】 一、课堂引入
前面我们学些了四种基本的证明组合恒等式的方法，但是在具体操作时我们发现，并不是所有的问题都是以恒等式的形式展现的，我们会遇到一些关于组合数的求值问题，如何去求解这些问题，能否用前面我们所学到的方法去解决，哪些方法可以继续使用？这就是我们今天所要研究的问题，从恒等式角度去探索求值问题，看清求值问题的本质. 二、例题精讲
例1. 已知()(1)n
n f x x =+.
（1）678()()2()3()g x f x f x f x =++，求()g x 中含6x 项的系数；
（2）化简121
1
23(,)m m m m m m m m n m m n
C C C nC m n N C *+++-++++++∈L （用,m n 表示），写出推理过程. 证法一组合数公式法①:参考公式
11m m m n n n C C C -+=- 原式分子=12123m m m m
m m m m n C C C nC +++-++++L
=111111
213212()3()()m m m m m m m m m m m m m n m n C C C C C n C C ++++++++++++-+-+-++-L =11111212m m m m m m m m m n m n C C C C nC +++++++-+---⋅⋅⋅-+ =1111
121m m m m m m m n m n C C C nC +++++++-+---⋅⋅⋅-+
=0121
121()n m m m m n m n C C C nC -++++-+-++⋅⋅⋅++ =0121
221()n m m m m n m n C C C nC -++++-+-++⋅⋅⋅++
=121
31()n m m m n m n C C nC -+++-+-+⋅⋅⋅++
=21
n m m n m n C nC -+++-+
原式=211
1122n m m n m n
m m n
C nC n mn n n C m m -+++++-+-++=-=++ 证法一组合数公式法②:参考公式
11k k n n nC kC --= 原式分子=12123m m m m
m m m m n C C C nC +++-++++L
=1111()(1)(2)()m m m m m m
m m m n m m m n m C C C m C m C m n C ++-++--++++++++++L L =111
11121()(1)(1)(1)m m m m m m m m m n m m m n m C C C m C m C m C +++++-+++--++++++++++L L
=1111
121(1)()m m m m m n m m m n mC m C C C ++++++++--+++++L =121
21(1)()m m m m n m m n mC m C C ++++++--++++L
=12
1(1)m m m n m n mC m C ++++--++
原式=12
1
1
(1)12
m m m n m n m m n mC m C mn n C m ++++-++-++++=+ 证法二母函数法（标答）
等式左边 12123m m m m
m m m m n C C C nC +++-++++L 可以视为函数
11()(1)2(1)(1)m m m n f x x x n x ++-=++++⋅⋅⋅++0,1x x ≠≠-的展开式中的含m x 的项前的
系数，令11(1)2(1)(1)m m m n S x x n x ++-=++++⋅⋅⋅++用错位相减法可以得到，
22
(1)(1)(1)m m n m n x x n x S x x x +++++=-+其中含m x 的项前的系数为21m m m n m n C nC ++++-+，所以 原式=211
1122m m m n m n
m m n
C nC n mn n n C m m ++++++-+-++=-=++ 证法三求导积分赋值法：
原式分子=12123m m m m
m m m m n C C C nC +++-++++L
=1111()(1)(2)()m m m m m m
m m m n m m m n m C C C m C m C m n C ++-++--++++++++++L L
=111(1)(2)()m m m m
m n m m m n mC m C m C m n C ++++--+++++++L
下面用导函数法对11(1)(2)()m m m
m m m n m C m C m n C ++-++++++L 求和
令()()11()1(1)2(1)()(1)m m m n f x m x m x m n x ++-=++++++⋅⋅⋅+++ 只要看其中m x 前的系数，令'()()g x f x =则
11
1
(1)(1)()(1)(1)m n m m m n
x x g x x x x x
+++++++=++⋅⋅⋅++=-
即只要看()g x 中含1m x +的项 显然为211m m m n C x ++++ ，再对x 求导可得()f x 中m x 前的系数为2
1(1)m m n m C ++++.
原式分子=12
1(1)m m m n m n mC m C +++++-++得解.
说明：由于本题结论未知所以不能采用数学归纳法求解，这也是比较直白的数学归纳法的一个极大的弊端.个人感觉本题的导函数法需要进行一步系数的配凑才可以得到，如有更优的导函数法请告知.
例题2. （2016连云港某地可能是赣榆模拟题）已知*0
()()n
k k n n
k f x C
x n N ==
∈∑．
（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求)(x g 中含4x 项的系数；
（2）证明：0121
2
1231(2)123[
]3
n m m m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+L ．
（1）00110()(1)n
k k n n
n
n n n n n k f x C
x C x C x C x x ==
=+++=+∑L
456
456()()2()3()(1)2(1)3(1)g x f x f x f x x x x =++=+++++
()g x 中4
x 项的系数为4
444
5
6
2356C C C ++=；
（2）证法一母函数法（标答）
012111111231232323n m m m m m m m m n m m m m n C C C nC C C C nC -++++++++++++++++=++++L L
设1
2()(1)
2(1)(1)m m m n h x x x n x +++=++++++L ①
则函数()h x 中含1m x +项的系数为1
1
1
1
12323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++L 由错位相减法得：
1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+L ②
11(1)1(1)()(1)1(1)
m n
m n x x xh x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦
-=
-+-+
2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x nx x +++++=+-+++，
()h x 中含1
m x +项的系数，即是等式左边含3m x +项的系数，等式右边含3
m x
+项的系数为
3211m m m n m n C nC ++++++-+ 3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-
++-22
1113
m m m n m n n C nC m ++++++-=-++
21(3)(1)3m m n m n n C m ++++--=
+2
1(2)13
m m n m n C m +++++=+
所以0121
21231(2)123[]3
n m m m m m n
m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+L 证法二求导积分赋值法：
012112323n m m m m n C C C nC -++++++++L 111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++=++++L
111111
1212(2)(3)(1)(1)[]m m m m m m m m m n m m m n m C m C m n C m C C C ++++++++++++=+++++++-++++L L
1112
121(2)(3)(1)(1)m m m m m m m n m n m C m C m n C m C +++++++++=+++++++-+L 下面用导函数法对11112(2)(3)(1)m m m m m m n m C m C m n C +++++++++++++L
令()()12()2(1)3(1)(1)(1)m m m n f x m x m x m n x +++=++++++⋅⋅⋅++++ 只要看其中1m x +前的系数，令'()()g x f x =则
22
2
1
(1)(1)()(1)(1)m n m m m n x x g x x x x x
++++++++=++⋅⋅⋅++=-
只要看()g x 中含2m x +的项 显然为322m m m n C x ++++ ，再对x 求导可得()f x 中1m x +前的系数为3
2(2)m m n m C ++++.
原式=23
12(1)(2)m m m n m n m C m C ++++++-+++得解.
证法三组合数公式法： 不再赘述，同例4可以有两种公式法. 证法四数学归纳法： 略
说明：本题出现于2016年江苏高考之前，可以看出本题与例4做法如出一辙，只是递推一下而已，因为结论已知所以难度降低，可以采用数学归纳法直白破解，从例4以及变题的标准答案可以知道母函数法或者求导积分赋值法是编制组合恒等式类题型的一种比较容易操作的技巧，通过对母函数的多种变化，我们可以考察特定项前的系数，亦可以对变量赋不同的值得到新的组合恒等式，让做题者用组合公式法较难把握，尤其是变量赋不同的之后恒等式证明难度陡增，如下题南京市一模卷，命制者应该就是这样操作的. 例3.（2017南京盐城一模）设*n N ∈，3n ≥，*k N ∈.
（1）求值：
①1
1k k n n kC nC ---；
②()2
2
1
211k
k k n n n k C n n C nC -------（2k ≥）；
（2）化简：()()2
2
20212212311k n
n n n n n
C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++. 证法一组合数公式法当2k ≥时()()
2
221212k k k k k n n n n n k C k k C k C kC C +=++=++
()()21121211211213k k k k k k k
n n n n n n n n n C nC nC C n n C nC C ----------⎡⎤=-+++=-++⎣⎦.
故()()22
20212212311k n n n n n n
C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++ ()()()()20210121212221111213n n n n n n n n n n C C n n C C C n C C C --------=++-+++++++L L
()23n n n n C C C ++++L ()()()()21141232121n n n n n n n n --=++-+-+--
()22254n n n -=++.
证法二导函数法当3n ≥时，由二项式定理，有
()
12211n
k k n n
n n n n x C x C x C x C x +=++++++L L ，
两边同乘以x ，得()122311
1n
k k n n n n n n x x x C x C x C x C x +++=++++++L L ，
两边对x 求导，得
()
()()()1
1221112311n n k k n n
n n n n x n x x C x C x k C x n C x -+++=++++++++L L ，
两边再同乘以x ，得
()()
()()1
2122311
112311n
n k k n n n n n n x x n x x x C x C x k C x n C x -+++++=++++++++L L ，
两边再对x 求导，得()()
()()
()
1
2
1
2111121n n n n x n x x n n x x n x x ---++++-+++
()()2
2
2122212311k k n n
n n n n C x C x k C x n C x =++++++++L L
令1x =，得()1
2122
1222n n n n n n n n ---++-+
()()2
2
212212311k n
n n n n
C C k C n C =+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++， 即()()2220212212311k n
n n n n n
C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()2
2
254n n
n -=++.
说明：本题一次求导再变形后进行二次求导再加以赋值充分体现了求导积分赋值法的精髓，
是一道很优秀的模拟题，同上题一样本题同样不能以数学归纳法加以证明.
【巩固练习】
1.（2016南京二模）设(1－x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥
2. (1) 设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；
(2) 设b n ＝k ＋1
n －k a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求⎪⎪⎪⎪S m C m n －1的值．
解：(1) 因为a k ＝(－1)k C k n ，
当n ＝11时，|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 11
11
＝12(C 011
＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1 024.(3分) (2) b k ＝k ＋1n －k a k ＋1＝(－1)k ＋1k ＋1n －k
C k ＋1n ＝(－1)k ＋1C k n ，(5分) 当1≤k ≤n －1时，b k ＝(－1)k ＋
1C k n ＝(－1)k ＋
1(C k n －1＋C k －
1n －1)＝(－1)k ＋
1C k －
1n －1＋(－1)k ＋
1C k n －1
＝(－1)k －1C k －1n －1－(－1)k C k n －1.(7分)
当m ＝0时，|S m C m n －1|＝|b 0
C 0n －1
|＝1.(8分)
当1≤m ≤n －1时，
S m ＝－1＋k ＝1
m [(－1)k －1C k －
1n －1－(－1)k C k n －1]＝－1＋1－(－1)m C m n －1＝－(－1)m C m
n －1，
所以|S m
C m n －1
|＝1.
综上，|S m
C m n －1
|＝1.(10分)
2. 在自然数列1
23n L ，，，，中，任取k 个元素位置保持不动，将其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为()
n
P k ．
（1）求()31P ；（2）求()4
40
k P k =∑；
（3）证明()()110
n n n n k k kP k n P k --===∑∑，并求出()0
n
n k kP k =∑的值．
（理解“新数列”含义，导出()()1
10
n n n n k k kP k n P k --===∑∑很重要，本题改编自第28届IMO 古巴）
（1）因为数列1,2,3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1,3,23,2,12,1,3或或， 所以()313P =； …………………………………………………………………2分 （2）
()()()()()()4
4
4
4
4
4
4
01234k P k P P P P P ==++++∑
011112
433424=C C C +C C +C +0+1=9+8+6+0+1=24； ………………………………4分
（3）把数列1,2,,n ⋅⋅⋅中任取其中k 个元素位置不动， 则有k n C 种；其余n k -个元素重新排
列，并且使其余n k -个元素都要改变位置，则有()()0k
n n
n k P k C P -=，………6分 故()()0
0n n
k
n n n k k k kP k kC P -===∑∑，又因为11k k n n kC nC --=， 所以()()()()1
1
11
10
00.n n n n k
k
n n
n k n n k n k k k k kP k kC P n C P
n P k -------=======∑∑∑∑， …………8分
令()0
,n
n n k a kP k ==∑则1,n n a na -=且1 1.a =
于是23411231234n n n a a a a a a a a na --⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 左右同除以2341n a a a a -⋅⋅⋅，得234!n a n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=
所以()0!n
n k kP k n ==∑ ……………………………………………………………10分
第三课时：较复杂的组合恒等式的证明
【教学目标】
1.掌握复杂的组合恒等式的证明方法，对算两次的思想充分理解.
2.了解其他证明组合恒等式的方法（比如幂分解，赋复数值，递推累加），并会简单的应用. 【教学过程】 一、课堂引入
同学们前面我们学习了怎样证明组合恒等式，会解决了一些组合数求值问题今天来学习更为复杂的组合恒等式的证明问题.
二、例题精讲
例题1. 苏北四市17届调研考试23题 已知等式21(1)n x -+=1(1)(1)n n x x -++
（1）求21
(1)n x -+的展开式中含n x 的项的系数并化简01111111C C C C C C n n n n n n n n n -----+++L
（2）证明：1222221(C )2(C )(C )C n n
n n n n n n -+++=L
解析：（1）21
(1)
n x -+的展开式中含n x 的项的系数为21C n
n -，
由1011101111(1)(1)(C C C )(C C C )n n n n n n
n n n n n n x x x x x x L L ------++=++++++可知， 1(1)(1)n n x x -++的展开式中含n x 的项的系数为01111
111C C C C C C n n n n n n n n n L -----+++．
所以0111111121C C C C C C C n n n n n n n n n n n ------+++=L ． （2）证法一组合数公式法（标答）：
当*k N Î时，!!C !()!(1)!()!k n n n k k k n k k n k =?
---1
1(1)!
C (1)!()!
k n n n n k n k ---=?--．
所以12
2222111
1
1
(C )2(C )(C )[(C )](C C )(C C )n n n
n k k k k k n n n
n
n n
n n k k k n k k n L --===+++=
=
=
邋?
1
1
11
1
(C
C )(C C )n
n
k k n k k n n
n n k k n n
----====邋．
由（1）知0
111111121
C C C C
C C C
n n n n n n n n
n n n ------+++=L ，即1211
(C C )C n
n k k n
n n n k ---==å，
所以1222221(C )2(C )(C )C n n
n n n n n n -+++=L ．
证法二母函数幂分解法：由21
1(1)
(1)(1)n n n n x n x x --+=++可以知道
左边的展开式中含n x 项前的系数为21C n
n n - 右边的展开式中含n x 项前的系数为 01111
111nC C C C C C n n n n n n n n n n n -----+++L ，由（1）可知
0111111121C C C C C C C n n n n n n n n n n n ------+++=L 显然命题得证.
说明：本题第二问方法二中通过原式两边乘以n 后将21n -次幂拆开为,1n n -，分别考察特定项前的系数，比标答更符合原题的本意，这也说明了对母函数的幂还可以拆开，算两次得到.17常州一模卷中将此类思想阐述的更为详尽. 例题2.常州市2017届高三一模23
题文：对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同的构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法。

利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式。

例如，考察恒等式()()()()
•∈++=+N n x x x n n n 1112，左边n
x 的系数为n n C 2，而右边
()()()(),111010n
n n n n n n n n n n n x C x C C x C x C C x x +++++=++ΛΛn x 的系数为
()()(),2212
00110n n
n
n n n n n n n n n n C C C C C C C C C +++=+++-ΛΛ 因此，可得到组合恒等式()()().221202
n n
n
n
n n
C C C C +++=Λ
（1）根据恒等式()
()()()
•+∈++=+N n m x x x n
m
n
m ,111两边k x 其中
（n k m k N k ≤≤∈,,）的系数相同直接写出一个恒等式。

（2）利用算两次的思想方法或其他方法证明：
,2
22220
2n
n
k k
k
n n k k n
C C
C
=⋅⋅-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∑其中⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2n 是指不超过2n
的最大整数. 解：（1）,0
1
10k
n m n k
m k n m k
n m C C C C C C C +-=+++Λ
（2）证法一母函数法（标答）：考察等式(),1122n n
n
x x x x +=⎪⎭⎫ ⎝
⎛++ i i n n i i n n x x C x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=∑12120=,1200⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∑∑=--=i k k k i k i i n n i i n x x C C
当且仅当k
k i x x k i ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-12时，为常数即等式左边的常数项为
,
22220
2k k k n n k k n
C C
⋅⋅-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∑
而等式右边的常数项为n
n C 2，所以n n
k k k n n k k n
C C C
22220
22=⋅⋅-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∑成立.
证法二母函数幂分解法：恒等式(),)21(122n n
x x x ++=+即()
,]2)1[(122n n
x x x ++=+
两边的n x 的系数， 左边n x 的系数为n
n C 2 右边考察n
x 的系数，即
))((2
)1()
2(20
20
k r
k k r n
k r
n r
n r n
r
n
k r
n r
n
x C x
C x x C
∑∑∑==--=-⋅=+⋅
要n x 即k r n x x 2⋅-应等于n x ，即n k r n =+-2，即*
,2N k k r ∈=，所以r 为偶数，并且k r 2=，即右边n x 的系数为
,
22220
2k k k n n k k n
C C
⋅⋅-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∑故原命题得证.
说明：本题题文中说明了算两次的思想，能帮助学生更容易理解，第二问中用母函数法
考察n x 前的系数比考察常数更为契合题意.本题也很好的说明了对母函数的幂拆开后分别考察特定项从而得到组合恒等式的方法.
另外组合恒等式还有一些其他特殊的题型比如南通市学科基地卷三上的一题，附在习题部分.
例题3.其他方法.（1）证明：)3
cos 22(316
3
π
n C C C n n n n +=
++Λ（赋复数值展开累加） （2）
n
C k k n n
k k 1
2111)1(1
1
+⋅⋅⋅++=-∑=+（递推累加法） （1）解由0122(1+)=C C C C ++++L n n n
n n n n x x x x 分别令2
1,,ωω=x 得，
012C C C C 2++++=L n n
n n n n --------------------------------------------------------（1）
0122C C C C (1)cos sin
33ππ
ωωωω++++=+=+L n n n n n n n n n i --------------（2） 0122422C C C C (1)cos sin
33
ππ
ωωω
ω++++=+=-L n n n n n n n n n i ----------（3）
（1）+（2）+（3）易得3
cos
22)(3630π
n C C C n
n n n +=++Λ原式得证。

本题南通市也考过类似的模拟题，可以用赋复数值的方法来做.
（2）由1
1--=k n k n nC kC 得，
k n k n k n k n k n C n
C k C C k C k 11)(111111+=+=---- 若k
n n k k n C k f 1)1(11∑=+-=则n C k f n k n n k k n 1)1(1)1(11
1
1+-=+-+-=∑ ∑∑∑=+-+-=+--=+-+=-+-+-=n k k
n k n n k n n k k k n n k k C n f n C n C k 111111111
11)1(11)1()1(11)1(
n
f n f n n n 1
])11(1[111+=--+=--
即n
f f n n 1
1+=-，累加即可得证.
【巩固练习】
1.证明：21*
211
(C ),(,)n
k n n n k k nC n k N --==?å（幂分解）
2111
11
1
1
1
(C )
(C )C (C
)C C C n
n
n
n
k k k k k k k n
n n
n n
n n k k k k k k n n
----=====
=
=邋邋
再比较()()
,)1(111
1
2n n n x x x ++=+--两边展开式的1
-n x
的系数可以得到11
121
1
C C n
k k n n n n k C ----==å所以原式得证. 2. 2017届扬州一模
已知()010011(1)C ()(1)C ()(1)C (),()n n n n n n n
F x f x f x f x n *
=-+-++-∈N L (0)x >， 其中i ()f x {}(i 0,1,2,,)n ∈L 是关于x 的函数. （1）若i
i ()=f x x (i )∈N ，求21F ()，20172F ()的值；
（2）若i ()=
(i )i
x f x x+∈N ，求证：()!
=(1)(2)()n n F x x x x n +++L ()n *∈N .
解：⑴因为i
i ()=f x x (i )∈N ，所以000111(1)C (1)C (1)C (1)n n n n
n n n n F x x x x x =-+-++-=-L ()，
所以21F ()=0， ---------------------1分 所以201720172(12)1F =-=-(). ---------------------3分 ⑵因为i ()=
(0,i )i
x
f x x x+>∈N ， 所以010
01
1i i i 0=(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()i n n
n
n n n
n
n
n
x F x f x f x f x n x+*=⎡
⎤-+-++-=-∈⎢⎥⎣⎦∑N L (). ①当1n =时，1
i i
1i 01=(1)C 1i 11n x x F x x+x+x+=⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦∑()，所以1n =时结论成立. ----4分 ②假设n k =()k *
∈N 时结论成立，即i i i 0!=(1)C i (1)(2)()k
k k
x k F x x+x x x k =⎡
⎤-=⎢⎥+++⎣
⎦∑L ()， 则1n k =+时，1
i i i i 11
1111i 0i 1=(1)C =1+(1)C (1)C i i 1k k
k k k k k k x x x F x x+x+x+k +++++++==⎡⎤⎡⎤--+-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣
⎦∑∑()
i i i 1111i 11(1)(C +C )(1)C i 1k
k k k k k x x x+x+k -+++=⎡⎤=+-+-⎢⎥+⎣
⎦∑1i i i i-1
i 0i 1(1)C (1)C i i k k k k x x x+x++==⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ =1
i-1i-1i i
i 1i 0(1)C (1)C i i 1k k
k k k k x x F x F x x+x++==⎡⎤⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣
⎦∑∑()-()- i i i 01(1)C 11+i 11k
k k k k x+x x F x F x F x+x+x+x+=⎡
⎤=-=-⎢⎥⎣⎦∑()-()() !!(1)(2)()(2)(3)(1+)1
k k x
x x x k x x x k x+=-++++++g L L
(1+)!!=
(1)(2)()(1+)x k k x k x x x k x k +-++++g g L (+1)!
=(1)(2)(3)(1+)
k x x x x k ++++L ，
所以1n k =+时，结论也成立. 综合①②可知，!
=
(1)(2)()
n n F x x x x n +++L ()()n *∈N . ---------------------10分
3.（递推累乘）南通市学科基地密卷三第23题
设0
()(1)n
k k n k m P n m C m k ==-+∑，，()n
n m Q n m C +=，，其中*m
n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，，的值； （2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．
（1）当1m =时，1
100
111(1)(1)(1)111n
n k
k k k n
n k k P n C C k n n ++===-=-=
+++∑∑，，
又1
1(1)1n Q n C n +==+，，显然(1)(1)1P n Q n ⋅=，
，. （2）0
()(1)n
k k
n
k m P n m C m k ==-+∑，
1
1
1111(1)()
(1)n k k k n n n k m m
C C m k m n
----==+-++-++∑
1
1
1
1
1
11(1)(1)n n
k
k k k n n k k m m C
C m k m k
----===+-+-++∑∑
1
1
1
(1,)(1)n
k k n k m
P n m C m k
--==-+-+∑
1(1,)(1)n k k
n k m k P n m C n m k ==-+-+∑
1(1,)(1)(1)n k k
n k m m P n m C n m k
==-+--+∑
11(1,)[(1)(1)]n n k k k k
n n k k m m P n m C C n m k ===-+---+∑∑
01
(1,)[(1)]n k k
n n k m m P n m C C n m k ==-+---+∑
0(1,)(1)n k k
n
k m m P n m C n m k
==---+∑
(1,)(,)m
P n m P n m n
=--
.
即()(1)n
P n m P n m m n
=
-+，，， 由累乘，易求得!!1()(0)()!n n m
n m P n m P m n m C +==+，
，，
又()n
n m Q n m C +=，，所以()()1P n
m Q n m ⋅=，，． 4.（赋复数值累加）证明：]3
)2cos(22[318
5
2
π
++=
++n C C C n n n n Λ 解由0122(1+)=C C C C ++++L n n n
n n n n x x x x 分别令21,,ωω=x 得，
012C C C C 2++++=L n n
n n n n --------------------------------------------------------（1）
0122C C C C (1)cos
sin
33ππ
ωωωω++++=+=+L n n n n n n n n n i --------------（2） 0122422C C C C (1)cos sin
33
ππ
ωωω
ω++++=+=-L n n n n n n n n n i ----------（3） （1）+ω⨯（2）+2ω⨯（3）易证.。