10.§1.3.3算法案例—进位制

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课题§1.3.3算法案例—进位制
课标要求了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。

教学目标
知识目标了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。

技能目标学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。

情感态度价值观领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系。

重点各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换
难点除k取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计
教学过程及方法
问题与情境及教师活动学生活动
一．复习引入
在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与
古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、
十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个
月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制
二．研探新知
探究一: 进位制的概念
思考1:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如逢十
进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二
个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十
分钟为一个小时，就是六十进制；等等.一般地，“满k进
一”就是k进制，其中k称为k进制的基数.那么k是一个
什么范围内的数？
思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制
分别使用哪些数字？
思考3:在十进制中10表示十，在二进制中10表示2.一般地，若
k是一个大于1的整数，则以k为基数的k进制数可以表
示为一串数字连写在一起的形式：
)
(0
1
1k
n
n
a
a
a
a
-
其中
各个数位上的数字
n
a ,
1-
n
a ,…，
1
a，
a的取值范围如
何？
教学过程及方法
问题与情境及教师活动学生活动
思考4:十进制数4528表示的数可以写成
1
2
310
8
10
2
10
5
10
4⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯，依此类比，二进制数
)2(
110011,八进制数
)8(
7342分别可以写成什么式子？
思考5:一般地，如何将k进制数)(0
1
1k
n
n
a
a
a
a
-
写成各数位上
的数字与基数k的幂的乘积之和的形式？
思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？
探究二: k进制化十进制的算法
思考1:【例3】二进制数110011（2）化为十进制数是什么数？
思考2:二进制数右数第i位数字
i
a化为十进制数是什么数？
思考3:【例4】运用循环结构，把二进制数
)2(0
1
1
a
a
a
a
a
n
n
-
=化为
十进制数b的算法步骤如何设计？
算法分析：从例3的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位
数字a i与k i-1的乘积a i·k i-1，再将其累加，这是一个重复操
作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.
算法步骤如下：
第一步，输入a，k和n的值.
第二步，将b的值初始化为0，
i的值初始化为1.
第三步，b=b+a i·k i-1，i=i+1.
第四步，判断i＞n是否成立.
若是，则执行第五步；
否则，返回第三步.
第五步，输出b的值.
程序框图如右图：
思考6:该程序框图对应的程序如何表述？
教学过程及方法
问题与情境及教师活动学生活动探究三：除k取余法
思考1:二进制数101101（2）化为十进制数是什么数？【例5】十进制数
89化为二进制数是什么数？
解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：
因为89=2×44+1，44=2×22+0，
22=2×11+0，
11=2×5+1，
5=2×2+1，
2=2×1+0，
1=2×0+1，
所以89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1
=2×（2×（2×（2×（22+1）+1）+0）+0）+1
=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20
=1 011 001(2).
思考2:上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过程有
些复杂，观察下面的算式你有什么发现
吗？
把上式中各步所得的余数从下到上排列，
得到89=1 011 001(2).
思考3:上述方法也可以推广为把十进制数化为k
进制数的算法，称为除k取余法。

十进制数191化为五进制数是什么数？
INPUT“a,k，n=”；a，k，n
b=0
i=1
t=a MOD 10
DO
b=b+t*k^（i-1）
a=a\10
t=a MOD 10
i=i+1
LOOP UNTIL i＞n
PRINT b
END
INPUT “a ，k=”；a ，k b=0 i=0
DO
q=a\k r=a MOD k b=b+r*10^i
i=i+1
a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b
END 教 学 过 程 及 方 法
问题与情境及教师活动
学生活动
思考4:根据上面分析，【例6】利用除k 取余法，将十进制数a 化为k 进
制数的算法步骤如何设计？
算法分析：从例5的计算过程可以看出如下的规律： 若十制数a 除以k 所得商是q 0，余数是r 0，即a=k·q 0+r 0，则r 0是a 的k 进制数的右数第1位数.
若q 0除以k 所得的商是q 1，余数是r 1，即q 0=k·q 1+r 1，则r 1是a 的k 进制数的左数第2位数. ……
若q n-1除以k 所得的商是0，余数是r n ，即q n-1=r n ，则r n 是a 的k 进制数的左数第1位数.
这样，我们可以得到算法步骤如下：
第一步，给定十进制正整数a 和转化后的数的基数k. 第二步，求出a 除以k 所得的商q ，余数r. 第三步，把得到的余数依次从右到左排列.
第四步，若q≠0，则a=q ，返回第二步；否则，输出全部余数r 排列
得到的k 进制数.
思考5:将除k 取余法的算法步骤用程序框图如何表示？
程序框图如右图：
思考6:框图对应的程序如何表述？
三．随堂练习
P 45 练习 3.
教 学 小 结
（1）理解算法与进位制的关系. （2）熟练掌握各种进位制之间转化
课后 反思。