刚体动力学基本原理部分3

3)一般平面运动的刚体的动能
xy平面内一般平面运动的刚体,角速度为 ω，质心为C
可应用柯尼希定理计算其动能：
建立定系 Ox；y 动系：质心平移坐标系Cx′y′；
刚体上的微元 Di (质量mi）到 Cz′ 轴的距离为ρi′，
则微元的相对速度 vri = ωρi′ ，
y
∑ 由柯尼希定理
T
=
1 2
mvC2
2
(D-17)
JCω
2=
1 2
JC + m⋅ PC2 ω
= JP
转动惯量的
平行轴定理
2
式中 JP 为一般平面运动
刚体对瞬时转轴(即过速 度瞬心P并垂直于其运动 平面的轴)的转动惯量。
一般平面运动刚体可按绕
y y′
ω
vC
ρi′
C
Dmi i x′
速度瞬心的瞬时定轴转动 计算该时刻动能
O
P x 10
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mv2
(D-14)
y
n
式中m = ∑ mi 为平移刚体的总质量。 i=1
C
平移刚体可视为一个质点计算其动能
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v
x
6
2）定轴转动刚体的动能
以角速度ω 绕z轴作定轴转动的刚体，设
其上质点 Di至z轴的距离为 ρi，则 vi = ρiω 根据质点系动能的定义得：
4
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∑ T
=
n i=1
1 2
mi
vi2
设质点系的质 心位于点C， z
建立定系:直角坐标系 Oxy；z
建立动系：质心平移坐标系 Cx′y′z′；
由各质vi点=的vei速+度vri合=成vC关+系vr，i 有：
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y
2
7.惯量主轴，主转动惯量
如果直角坐标系Oxyz中与z轴有关的两个惯性积 J yz，Jxz 均等于零，则称z轴为刚体对点O的惯量主轴或惯性 主轴。 主转动惯量——刚体对惯量主轴的转动惯量。 中心惯量主轴——过质心的惯量主轴。 中心主转动惯量——刚体对中心惯量主轴的转动惯量。 刚体上(或刚体的延拓部分)的任一点A，都存在3根 惯量主轴，对应的有3个主转动惯量。
O
x
z’
D1
rxi ’Dmi iC(DxC2,
yC
,
y’
zC )
rC
y
计算质点系动能的柯尼希定理：
∑ (证明见书p181)
T
=
1 2
m vC2
+
n i =1
1 2
mi vr2i
(D-13)
质点系的动能等于将质点系的质量全部都集中于质心 时质心的动能，再加上质点系相对于质心平移坐标系 的动能，称为柯尼希定理。
1.计算质点系动能的柯尼希 (Konig) 定理
n个质点 mi , vi
(i = 1,2,n)
z
O
D1
ri
Di mi
D2
y
x
各质点的动能之和定义为质点系的动能：
∑ ∑ n
T=
i=1
1 2
mi
vi2
或
n
T=
i =1
1 2
mi
vi
⋅
vi
(D-11)
对n个质点组成的质点系，计算动能常利用 点的速度的复合运动分析方法计算：
故一般平面运动刚体的动能计算公式1为：
T
=
1 2
mvC2
+
1 2
J Cω 2
(D-16)
一般平面运动 的刚体的动能
=
质心平动 动能
+
绕质心定轴 转动的动能
注意：vC和 ω分别为刚体质 y
心的绝对速度和刚体的绝对
y′
ω
角速度。 可见一般平面运动时的动能
vC
ρi′
C
Dmi i x′
不可按质点动能公式计算！
m
J xz =
xzdm
m
(D-9)
称它们为对相应两直角坐标轴的惯性积，也是表
征刚体在直角坐标系Oxyz中质量分布状况的一种
物理量。显然它们的值可正可负可为零。 z
令
[J] = −JJxxy
− J xy Jy
− −
J J
xz yz
(D-10)
− J xz − J yz J z
O
称为刚体对点O的惯量矩阵，为实对称矩阵x。
3个主转动惯量即惯量矩阵的3个特征值,3根惯量 主轴的方向即惯量矩阵的3个特征向量的方向。
一般,物体的质量对称轴就是一根惯量主轴 3
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二、质点系整体运动学特征量：
动能,动量,动量矩的计算
(一) 动能的计算
工程力学A(下)
(11-1)
北京理工大学理学院力学系 韩斌
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23/II
一、质点系质量分布的特征量(续)
7.刚体对某点的转动惯量矩阵
引入惯性积
∫ ∫ ∫ Jxy
=
xydm
m
J yz =
yz dm
+
n i =1
1 2
Байду номын сангаас
mi
vr2i
刚体的相对运动为绕质心的定轴转动
y′
ω
ρi′ Dmi i
C
x′
∑ ∑ ( ) ∴ 1 n 2 i=1
mi vr2i
=
1 2
n i =1
mi
ωρi′
2
=
1 2
JCω 2
n
O
x
式中JC = ∑ mi (ρi′)2为该刚体对过其质心的C轴的转动
惯量。 i=1
8
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∑ ∫ ( ) T
=
n i =1
1 2
mi
ρiω
2
= 1( 2
ρ 2dm)ω 2
v
=
1 2
J zω 2
(D-15)
式中
∫ J z
=
ρ 2dm
v
为刚体对定轴转动转轴的转动惯量。
zω
ρi
Di
vi = ρiω
7
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O
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x
9
一般平面运动刚体的动能的计算公式2：
若能找出一般平面运动刚体的速度瞬心P，则：vC = PC ⋅ω
( ) T
=
1 2
mvC2
∴T =
+
1 2
1 2
J Cω 2
=
JP ω2
1 2
m(PC ⋅ω )2 + 1
5
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2. 刚体的动能的计算
重点掌握特殊的质点系—刚体的动能的计算
1）平移刚体的动能
以速度
v
作平移的刚体，由于其上各点的速度都相同，
因而根据定义其动能为
∑ T
=
n i =1
12mivi2
=
1 2