1.3极坐标系课件(上课)
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[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有,(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+π+2kπ) k Z
作业
报纸1
为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
设M是平面内任意一点，它的直角坐标（x，y），
y
极坐标是（，）。从图1 — 14可以得出他们之
间的关系： y
0
x
M y
Nx
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos，y sin ①
2 x2 y2，tan y (x 0)
G(2, )
4
M
M 2，
4
O
X
G 2，
G
4
极径是负的时候M点为：
M 2，5
4
负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要 情况下，极径也可以取负值。
对于点M（，）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使XOP=
P
两名新兵眼睁睁地看着飞机逐渐临近：7点30分，47英里；7点
39分，22英里。突然疾驶而来的机群一分为二，从雷达屏上消失 了。
几分钟以后，爆发历史上著名“珍珠港事件”……
•这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想.
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
x
当点不在第一象限内 时，是否还成立？ 原理是什么？
三 知识应用
例1：将点M的极坐标（5，2 ）化成直角坐标。
3
解：x 5cos 2 ，y 5sin 2 5 3
3
32
所以，点M的直角坐标（ 5，5 3 ）。 22
互化练习
1(1)将 点M的 极 坐 标5, 2 化为直角坐标 ；
也可以用极坐标表示，那么，他们
之间能不能找到一种关系让他们之 间怎么互相转化呢？
y
0
x
M y0
Nx
M
N
y
M
M
y
0
x
N 0x
N
y
M
M
y
0
x0
Nx
N
y
0 0x
MM y
N Nx
y
00 x
MM y
NN x
y
00 x
MM y
NNx
y
0
x
M y
Nx
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
负极径的实质
从比较来看，负极径比
M
正极径多了一个操作，将射
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋 O 转 ，因此，所谓“负极径”
实质是针对方向的。这与数
学中通常的习惯一致，用
“负”表示“反向 ”。
O
P
X P
X
M
3
G 5
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、探究点的极坐标的多种表达式
如图：OM的长度为2， 请说出点M的极坐标的其 4
他表达式。
O
思：这些极坐标之间有何异同？
M X
本题点极M径的相极同坐，标不统同一的表是达极式角：(2,2k ),(k Z) 思 这 就考些是：极说这角它些的们极始是角边终有相边何同相(关，同2,2系终的k？边角也。 相 4同),4。(k也 Z)
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正
方向（通常取逆时针
方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，
用 表示线段OM的长度，
用 表示从OX到OM 的
角度， 叫做点M的极径，
M
叫做点M的极角，有序
数对（，）就叫做M的
极坐标。
O X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX转到OM的角度， 即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M，但 却有无数个极坐标与之对 应。
原因在于：极角有无数个。
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+π+2kπ)都可以作 为它的极坐标.
练答习：：（写－出6，点 （+π6），6
）的负极径的极坐标
或（－6，－ 11 +π）
6
6
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况使用。
题组二：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
F
A O
B X
4
D
五、极坐标与直角坐标的区别:
直角坐标
极坐标
(x, y) 表示形式 x, y R
(, ) , R
与平面内点 x、y R 0, [0,2 )或( , ]
的对应关系 一一对应
一一对应
•思考：我们已经学了直角坐标系和
极坐标系两种刻画点的方式，平面
内的一个点既可以用直角坐标表示，
3
(2)将点M的直角坐标 3,1 化成极坐标.
2.已知两点的极 坐标 2, ，3, ，求两点间的距 离.
3 2
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数种。是因为极角引起的。
导弹在哪？
在以…为X轴 以…为Y轴，
坐标是...
算的太慢了！
那天早上的7点02分，两位雷达兵发现雷达屏上出现了一堆堆闪 闪发光的斑点。几经校核，他俩确认是一支庞大的机群正朝瓦胡 岛的方向飞来。他们将这一发现报告了泰勒中尉：“有一大批飞
机正从北面3度角方向飞来。”泰勒中尉只说了句：“别紧张，
是本土来的B-17轰炸机。”
题组一：在极坐标系中描出下列各点
A（3，0）
B（2， ） 5
2
4
4
6
C
C（3， ）
2
B
E
D（1，5）
D A
6
F
EF特 此 即（（别 点 （21规 就 0，，，9定在44）：极））点当表位一示置个极，点点此G的坐(时极标2坐,可。4标以) ?中取的任极意径值4 。=0，
x
②
y
0
x
M y
Nx
互化前提
• 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
• 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
• 3. 两种坐标系的单位长度相同.
互化关系式 y
极坐标化直角坐标：
x cos , y sin
O
Mxx
直角坐标化极坐标：
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或
－π＜θ≤ π,
那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
题组三 1. 在极坐标系中，与点
(3,
)关于
6
极点对称的点的一种表示是 (3, )
6
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称 的点的一种表示是 (ρ, － θ)
交流平台：
你能从中体会: 极坐标与直角 坐标在刻画点的位置时的区别 吗？
有,(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+π+2kπ) k Z
作业
报纸1
为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
设M是平面内任意一点，它的直角坐标（x，y），
y
极坐标是（，）。从图1 — 14可以得出他们之
间的关系： y
0
x
M y
Nx
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos，y sin ①
2 x2 y2，tan y (x 0)
G(2, )
4
M
M 2，
4
O
X
G 2，
G
4
极径是负的时候M点为：
M 2，5
4
负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要 情况下，极径也可以取负值。
对于点M（，）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使XOP=
P
两名新兵眼睁睁地看着飞机逐渐临近：7点30分，47英里；7点
39分，22英里。突然疾驶而来的机群一分为二，从雷达屏上消失 了。
几分钟以后，爆发历史上著名“珍珠港事件”……
•这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想.
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
x
当点不在第一象限内 时，是否还成立？ 原理是什么？
三 知识应用
例1：将点M的极坐标（5，2 ）化成直角坐标。
3
解：x 5cos 2 ，y 5sin 2 5 3
3
32
所以，点M的直角坐标（ 5，5 3 ）。 22
互化练习
1(1)将 点M的 极 坐 标5, 2 化为直角坐标 ；
也可以用极坐标表示，那么，他们
之间能不能找到一种关系让他们之 间怎么互相转化呢？
y
0
x
M y0
Nx
M
N
y
M
M
y
0
x
N 0x
N
y
M
M
y
0
x0
Nx
N
y
0 0x
MM y
N Nx
y
00 x
MM y
NN x
y
00 x
MM y
NNx
y
0
x
M y
Nx
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
负极径的实质
从比较来看，负极径比
M
正极径多了一个操作，将射
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋 O 转 ，因此，所谓“负极径”
实质是针对方向的。这与数
学中通常的习惯一致，用
“负”表示“反向 ”。
O
P
X P
X
M
3
G 5
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、探究点的极坐标的多种表达式
如图：OM的长度为2， 请说出点M的极坐标的其 4
他表达式。
O
思：这些极坐标之间有何异同？
M X
本题点极M径的相极同坐，标不统同一的表是达极式角：(2,2k ),(k Z) 思 这 就考些是：极说这角它些的们极始是角边终有相边何同相(关，同2,2系终的k？边角也。 相 4同),4。(k也 Z)
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正
方向（通常取逆时针
方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，
用 表示线段OM的长度，
用 表示从OX到OM 的
角度， 叫做点M的极径，
M
叫做点M的极角，有序
数对（，）就叫做M的
极坐标。
O X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX转到OM的角度， 即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M，但 却有无数个极坐标与之对 应。
原因在于：极角有无数个。
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+π+2kπ)都可以作 为它的极坐标.
练答习：：（写－出6，点 （+π6），6
）的负极径的极坐标
或（－6，－ 11 +π）
6
6
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况使用。
题组二：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
F
A O
B X
4
D
五、极坐标与直角坐标的区别:
直角坐标
极坐标
(x, y) 表示形式 x, y R
(, ) , R
与平面内点 x、y R 0, [0,2 )或( , ]
的对应关系 一一对应
一一对应
•思考：我们已经学了直角坐标系和
极坐标系两种刻画点的方式，平面
内的一个点既可以用直角坐标表示，
3
(2)将点M的直角坐标 3,1 化成极坐标.
2.已知两点的极 坐标 2, ，3, ，求两点间的距 离.
3 2
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数种。是因为极角引起的。
导弹在哪？
在以…为X轴 以…为Y轴，
坐标是...
算的太慢了！
那天早上的7点02分，两位雷达兵发现雷达屏上出现了一堆堆闪 闪发光的斑点。几经校核，他俩确认是一支庞大的机群正朝瓦胡 岛的方向飞来。他们将这一发现报告了泰勒中尉：“有一大批飞
机正从北面3度角方向飞来。”泰勒中尉只说了句：“别紧张，
是本土来的B-17轰炸机。”
题组一：在极坐标系中描出下列各点
A（3，0）
B（2， ） 5
2
4
4
6
C
C（3， ）
2
B
E
D（1，5）
D A
6
F
EF特 此 即（（别 点 （21规 就 0，，，9定在44）：极））点当表位一示置个极，点点此G的坐(时极标2坐,可。4标以) ?中取的任极意径值4 。=0，
x
②
y
0
x
M y
Nx
互化前提
• 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
• 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
• 3. 两种坐标系的单位长度相同.
互化关系式 y
极坐标化直角坐标：
x cos , y sin
O
Mxx
直角坐标化极坐标：
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或
－π＜θ≤ π,
那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
题组三 1. 在极坐标系中，与点
(3,
)关于
6
极点对称的点的一种表示是 (3, )
6
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称 的点的一种表示是 (ρ, － θ)
交流平台：
你能从中体会: 极坐标与直角 坐标在刻画点的位置时的区别 吗？