各向异性弹性力学PPT课件

L1121 11
L2221
22
L3321 L2321
33 23
L3221
32
L3121 31
L1321
13
L1221 12
L2121
21
记作
L
（2－2）
可以理解为张量等式， ， 理解为应力张量和应变张
量，L理解为弹性刚度张量；也可以理解为矩阵等式， ，
通过对体微元的研究，可以得到弹性应变能密度：
U0
1 2
ij
ij
U0
ij
Lijkl kl
ij
其中
Lijkl Lklij Mijkl Mklij
(Voigt对称性) (Voigt对称性)
第20页/共60页
dW i di
Cij
i j
W
i
j
2W
i j
W
j
i
j i
i Cij j
或
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
2
C21
C22
C23
C24
C25
C26
2
3 4
CC3411
C32 C42
C33 C43
C34 C44
C35 C45
C36 C46
3 4
5 6
C51 C61
C52 C62
C53 C63
S 2MM32331111
2M
3111
2M 1211
M1122 M 2222 M 3322 2M 2322 2M 3122 2M1222
M1133 M 2233 M 3333 2M 2333 2M 3133 2M1233
2M1123 2M 2223 2M 3323 4M 2323 4M 3123 4M1223
z2 y2 zy
( xz xy yz ) 2 2 x
x y z x zy
( xy zy xz ) 2 2 y
y z x y zx
2 z 2 x 2 zx
x2 z2 zx
( zy zx xy ) 2 2 z
z x y z yx
只有三个是独立的，为什么？
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各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别 • 差别在于:本构方程 • 其它平衡方程,几何方程,协调方程,和边界条件等则完全相同. • 即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律,这一代换将使力
学计算及反映的现象十分复杂.
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单元体应力及正负号规定
z
y
yx
yz
作用在y面上的正
应力 y
C14 x
yz
C15 x
zx
C16 x
xy
1 2
C22
2 y
C23 y z
C24 y
yz
C25 y
zx
C26 y
xy
1 2
C33
2 z
C34 z
yz
C35 z
zx
C36 z
xy
1 2
C44
2 yz
C45
yz
zx
C46
yz
xy
1 2
C55
2 zx
C56
zx
xy
1 2
C66
2 zy
（2－6）
dU0
U0
x
dx
U0
y
d y
U0
z
dz
U0
yz
d
yz
U0
zx
d
zx
U0
xy
d xy
可得
U0
x
x
U0
yz
yz
U0
y
y
U0
z
z
U0
zx
zx
U0
xy
xy
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（2－5）
为了便于以后的讨论，给出 U0 的展开式
U0
1 2
C11
2 x
C12 x y
C13 x z
2M1131 2M 2231 2M 3331 4M 2331 4M 3131 4M1231
2M1112
2M
2212
2M 4M
3312 2312
4M
3112
4M1212
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2.1.2 弹性应变能密度
固体变形时，加在它上面的外力要做功。完全弹性体 在等温条件下，当缓慢卸载后可以完全恢复其初始状态。 因此，可以认为，外力功全部以能量的形式储存在弹性体 内。这种能量称为应变能。
图23图24第31页共60页mnmnmnmnmnmn212213214第32页共60页233弹性系数的转轴公式各向异性体的弹性特性随斱向丌同而异即各向异性体的弹性系数是斱向的函数它们不坐标的叏向有关只有在各向同性情况下弹性系数在任意正交坐标系是丌变第33页共60页通过单位体积应变能函数u为新坐标系中的柔度矩阵为新坐标系中的刚度矩阵以上即为弹性系数转轴公式的矩阵形式
L1131 L2231 L3331 L2331 L3231 L3131 L1331 L1231 L2131
L1113 L2213 L3313 L2313 L3213 L3113 L1313 L1213 L2113
L1112 L2212 L3312 L2312 L3212 L3112 L1312 L1212 L2112
13 7 12 8 21 9
则（2－1） 的两式可以写成矩阵乘法的形式，第一式
可以写作
第13页/共60页
11
22
L1111
L2211
33
23
L3311 L2311
32
L3211
31 L3111
13
L1311
12
21
L1211
L2111
L1122 L2222 L3322 L2322 L3222 L3122 L1322 L1222 L2122
2L1131 2L2231 2L3331 2L2331 2L3131 2L1231
2L1112
2L2212
2L3312 2L2312
2
L3112
2L1212
也就是说，各列除去重复的元素，但第1、2、 3列的元素的数值不变，而第4、5、6列的元素 则乘以2。此时，张量运算与矩阵运算仍然一 样，但失去了矩阵地对称性。
3个位移分量,u,v,w
6个应变分量,x,y,z,yz, xz,yx 6个应力分量, x , y ,z , yz , xz , yx
12个场方程 静力平衡方程（3）＋几何关系（6）＋本构方程（6） ＋变形协调方程（3）
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变形协调方程(3/6)
2 x
y2
2 y
x2
2 xy
xy
2 y 2 z 2 zy
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有的文献中定义应力“列矢量”为
1 11
2 22
3 33
4 23
5 31
6 12
应变“列矢量”为
1 11
4 223
2 22
5 231
3 33
6 212
注意：4 ，5 ，6 就是剪切角 23 ， 31 ，12 。
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于是可以把弹性本构关系写成：
则有
(dF)x ldF (dF)y mdF (dF)z ndF
式中，(dF) 、(dF)x、(dF)y、(dF)z 依次为三角形BCD、ACD、 ABD、ABC的面积。令四面体微元的体积为dV，斜面 BCD上应力向量在坐标方向上的分量为PNx 、PNy 、PNz ，则由
四面体微元的 Fx 0 的条件得到 ：
C ji
由线弹性可以得
W
1 2
i
i
1 2
Cij
ji
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2.2 均质弹性体的弹性性质
对于均质弹性体，材料的性质与位置坐标无关。其应变 位能是应变分量 x ，y ，…， xy 的函数，而且只取决于应
变的最终值。从数学上说，U0 是应变状态的单值函数，而 且与积分路径无关，dU0 必是对 U0 应变分量的全微分，即：
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2.3 坐标转换(应力应变及弹性系数转轴公式)
2.3.1 斜面应力
为了讨论过点A任意斜面 的应力，在点A附近取一 个四面体微元ABCD(图 2 －1 )。
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图2－1
斜面BCD的外法线为N，令N的方向余弦为：
cos(N , x) 1 cos(N , y) m cos(N , z) n
xzn yzn
X Y
,已知 ,已知
zxl zym zn Z ,已知
第7页/共60页
给定位移的边界条件(3)
u u ,已知
v
v
,已知
w w,已知
第8页/共60页
各向异性弹性力学问题需满足的 基本方程（另一组定解方程）
• 与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性
力学有12个未知量
L1133 L2233 L3333 L2333 L3233 L3133 L1333 L1233 L2133
L1123 L2223 L3323 L2323 L3223 L3123 L1323 L1223 L2123
L1132 L2232 L3332 L2332 L3232 L3132 L1332 L1232 L2132
L1111
L2211
L
L3311 L2311
L3111
L1211
L1122 L2222 L3322 L2322 L3122 L1222
L1133 L2233 L3333 L2333 L3133 L1233
2L1123 2L2223 2L3323 2L2323 2L3123 2L1223
v z
zx
w x
u z
yx
u y
v x
第4页/共60页
本构方程（6）
反映出材料 的性质！
6个应变分量,x,y,z,yz, xz,yx
与
6个应力分量, x , y ,z , yz , xz , yx
之间的关系
第5页/共60页
各向异性弹性力学问题需满足的 基本方程
• 与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性 力学有15个未知量
第4行、列与第5行、列相同，第6行、列与第7行、列相 同，第8行、列与第9行、列相同。利用这种对称性，可以 把应力张量 与应变张量 写成6个元素的“列矢量”
11
22
33 23
31 12
11
22
33 23
31 12
相应的，L与M可写成6行6列的对称矩阵
第15页/共60页
yz
作用在y面内x方向的剪 yx 应力
y
x
如果作用面的外法线指向坐标系中相应坐标轴的 正向,而应力分量也指向对应坐标轴的正向,则应 力分量为正。当两个下标中,只有一个指向坐标轴 的正向时,该应力分量就为负.
第2页/共60页
X，Y，Z 作用于微元体的体积力
力要平衡！
静
x
xy
xz
X
0(
2u )
• 以上的力学,几何,物理,以及边界条件诸方面构成各向异性弹性力学的基本方程,与各向同性弹性力学的区别 在于物理方程.其它均相同
第11页/共60页
➢ 弹性介质的本构关系 ➢ 均质弹性体的弹性性质 ➢ 坐标转换(应力应变及弹性系数转轴公式) ➢ 弹性对称性——本构关系的简化 ➢ 正交异性材料弹性常数的物理意义
3 4
5 6
S51
S61
S52 S62
S53 S63
S54 S64
S55 S65
S56 S66
5 6
第18页/共60页
（2－3） （2－4）
容易导出矩阵C，s与L，M之间的关系为
L1111
L2211
C
L3311 L2311
L3111
L1211
L1122 L2222 L3322 L2322 L3122 L1222
C54 C64
C55 C65
C56 C66
5 6
i sij j
1 S11 S12 S13 S14 S15 S16 1
2
S21
S22
S23
S24
S25
S26
2
3 4
S31 S41
S32 S42
S33 S43
S34 S44
S35 S45
S36 S46
3个位移分量,u,v,w
6个应变分量,x,y,z,yz, xz,yx 6个应力分量, x , y ,z , yz , xz , yx
15个场方程 静力平衡方程（3）＋几何关系（6）＋本构方程（6）
可以求解了吗？ 第6页/共60页
定解还需边界条件！
给定力的边界条件(3)
yxxll
xym ym
力 x y z
t 2
平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
衡 方 程 （
xy
x
y
y
yz
z
Y
0(
2v t2 )
3
）
xz
zy
x
Z
0(
2w )
x y z
t 2
第3页/共60页
几何关系(小变形)(6)
变形要协调！
三个独立的位移场即可以完全确定变形，而应变 亦可以描述变形，它们之间满足以下关系！
x
u x
y
v y
z
w z
zy
w y
L1133 L2233 L3333 L2333 L3133 L1233
L1123 L2223 L3323 L2323 L3123 L1223
L1131 L2231 L3331 L2331 L3131 L1231
L1112
L2212
L3312 L2312
L3112
L1212
M1111
M 2211
理解为应力列矢量和应变列矢量，[L]理解为弹性刚度矩
阵。L与M具有Voigt对称性，因此矩阵L与M为9列9行的
对称矩阵。
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由于应力张量与应变张量都是对称张量。（2－2）式 中的列矢量 与 的第4行与第5行相同，第6行与第7
行相同，第8行与第9行相同。弹性刚度矩阵L 与柔度矩阵M
PNx(dF) x(dF)x yyxz (dF)y zx(dF)x XdV 0 （2－7）
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得到方程如下：
PNx PNy
第12页/共60页
2.1 弹性介质的本构关系
2.1.1 弹性介质的本构关系
L: M : ij Lijkl kl ij Mijkl kl i, j, k, l 1, 2, 3
规定下标i，j与一维指标对应如下次序：
11 1 22 2 33 3
(2－1)
23 4 32 5 31 6