第二章 基本初等函数 章末总结

段,以“数”为目的,如应用函数的图象来直观
地说明函数的性质,应用数轴直观表达不等式
组的解集.
②“以数助形”:借助于“数”的精确性和规范 严密性来阐明“形”的某些属性.它是以“数” 为手段,以“形”为目的.
(2)下列问题,通常使用数形结合的思想解题 ①求函数的定义域; ②求函数的值域; ③求函数的单调区间; ④解方程、不等式等有关问题,确定参数范围.
数形结合思想
【例 5】方程 2x+x2=2 的解的个数是
.
解析: ∵2x+x2=2,
∴2x=2-x2,
令 y1=2x, y2=2-x2, 并画出图象如图,
由图知,两函数图象必有两个交点,∴方程 有两解. 答案:2
方面
(1)数形结合思想包括以下两个
①“以形助数”:借助于“形”的生动性和直观
性来阐明“数”之间的联系.它是以“形”为手
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(1)指数、对数的运算应遵循的 原则 指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数 先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算;其 次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以 达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用 过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对 数的运算性质并结合对数恒等式,换底公式是 对数计算、化简、证明常用的技巧.
b=log29-log2 3 =log23 3 ,
∴a=b.
又∵函数 y=logax(a>1)为增函数,
∴a=log23 3 >log22=1,c=log32<log33=1,
∴a=b>c.故选 B.
3.(2012 年高考四川卷)函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象可能是( C )
解析:利用指数函数图象及平移变换求解. 令 y=ax-a=0,得 x=1,即函数图象必过定点 (1,0),符合条件的只有选项 C. 点评:本题主要考查指数函数的图象性质及 平移变换规律,考查数形结合、分类讨论等 数学思想方法,难度不大.
2.(2012 年高考重庆卷)已知 a=log23+
log2 3 ,b=log29-log2 3 ,c=log32,则
a,b,c 的大小关系是( B ) (A)a=b<c (B)a=b>c (C)a<b<c (D)a>b>c
解析:利用对数运算化简所给式子,再利用对数 函数的性质比较大小.
∵a=log23+log2 3 =log23 3 ,
4
1
解:(1)原式=
5
2
2
3
+
3
8 27
-3÷
24
3
4+
1
25
×
2
(2 5
)2
-1=
5
-
2
-24+2-1=-22.
33
(2)原式=
33
1
3+
lg 4 2 2 lg 4 1 -
lg 4-1+log5 35 7
=3+ lg 4 1 2 +lg 4+log55
=3+1-lg 4+lg 4+1 =5.
(2)只需把 f(x)=2x 的图象向下平移 2 个单 位,即得(图(2)).图象过定点(0,-1),形状 与 f(x)相同.
(3)只需把 f(x)=2x 的图象沿 y 轴翻转,即得
(图(3)),f(-x)图象即为
y=
1 2
x
的图象.
(4)只需把 f(x)=2x 的图象沿 x 轴翻转,即得 (图(4)).图象关于 x 轴与 f(x)图象对称.
名师导引:这是一道与指数函数有关的复合函数 的单调性问题,将指数设为关于 x 的函数,即设 u=x2+6x+17,而 f(x)的单调性又与 0<a<1 和 a>1 两种范围有关,故应分类讨论.
解:设 u=x2+6x+17=(x+3)2+8,则当 x≤-3 时,其 为减函数,当 x≥-3 时,其为增函数, 又当 a>1 时,y=au 是增函数, 当 0<a<1 时,y=au 是减函数,
函数图象的平移变换与
对称变换
【例 3】 利用函数 f(x)=2x 的图象,作出下列
函数图象: (1)f(x+2);(2)f(x)-2;(3)f(-x);(4)-f(x).
名师导引:(1)f(x+2)=2x+2,其图象可由 f(x)=2x 的图象向左平移 2 个单位得到.其 余类似分析. 解:(1)只需把 f(x)=2x的图象向左平移 2 个 单位,即得(图(1)).图象过定点(-2,1),形 状与 f(x)相同.
名师导引:(1)先与 0 作比较,再与 1 作比较. (2)分 1<m<10,m=10 和 m>10 三种情况讨论. 解:(1)因为函数 y=log2.1x 在(0,+∞)上是增 函数且 0.9<1,所以 log2.10.9<log2.11=0. 因为函数 y=1.7x 在 R 上是增函数且 0.2>0, 所以 1.70.2>1.70=1. 因为函数 y=0.8x 在 R 上是减函数且 2.1>0, 所以 0<0.82.1<0.80=1. 综上,log2.10.9<0.82.1<1.70.2.
所以当 a>1 时,原函数 f(x)= a x2 6x17 在
(-∞,-3]上是减函数,在[-3,+∞)上是增函数.
当 0<a<1 时,原函数 f(x)= a x2 6x17 在(-∞,-3]
上是增函数,在[-3,+∞)上是减函数.
复合函数单调性的判断方法 函数 y=f(g(x))可看成由函数 y=f(u)与 u=g(x)复合而成的函数.关于函数 y=f(g(x)) 的单调性有如下结论: (1)“同增”:若两个函数都是增函数或都是 减函数,则复合函数是增函数. (2)“异减”:如果两个函数中一增一减,则复 合函数是减函数.因此判断复合函数的单调 性可总结为“同增异减”.
足
loga
1
1
> 42
,
2
2
2
∴ <a.∴a 的取值范围是( ,1).
2
2
答案:B.
点评:此题是对分类讨论,数形结合两种思 想的综合考查,对数函数图象的变化对 a 的 影响需注意.
5.(2012 年高考陕西卷)设函数
x, x≥0,
f(x)=
1 2
x
,
x＜0,
则
f(f(-4))=
.
解析:“分段”求值.
栏
网络建构
目
导
航
专题归纳
高考体验
指数、对数的运算
【例 1】 (2013 潍坊高一期中)计算:
1
(1)
2
7 9
2
+
3
2
62 27
-3÷16-0.75+
5
2
1
×( 4 5
)-2-
( 2 -1)0;
(2)
1 27
1 3
+
lg 42 lg16 1 -
1
lg +log535-log57.
(2)①当 1<m<10 时,0<lg m<1, 由 1.9<2.1 得,(lg m)1.9>(lg m)2.1; ②当 m=10 时,lg m=1,故(lg m)1.9=(lg m)2.1; ③当 m>10 时,lg m>1, 由 1.9<2.1 得,(lg m)1.9<(lg m)2.1.
的方法
(2)对称规律:函数 y=ax 的图象与 y=a-x 的图 象关于 y 轴对称;y=ax 的图象与 y=-ax 的图象 关于 x 轴对称;函数 y=ax 的图象与 y=-a-x 的 图象关于坐标原点对称.
复合函数的单调性
【例 4】 已知 a>0,且 a≠1,试讨论函数
f(x)= a x2 6x17 的单调性.f(f(-4))=f1 Nhomakorabea24
=f(16)
=4. 答案:4
6.(2012 年高考江苏卷)函数
f(x)= 1 2log6 x 的定义域为
.
解析:利用对数的真数是正数,偶次方根非负 解题.
要使函数 f(x)= 1 2log6 x 有意义,
x＞0, 则 1 2 log6 x≥0, 解得 0<x≤ 6 . 答案:(0, 6 ]
(1)数(式)的大小比较及常用
比较两数(式)或几个数(式)大小的问题是本章
的一个重要题型,主要考查指数函数、对数函
数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与
商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图
象法、中间量法、作差法和作商法.
(2)数的大小比较及常用的技巧 ①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或 对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函 数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调 性比较. ②比较多个数的大小时,先利用“0”和“1” 作为分界点,即把它们分为“小于 0”、“大 于等于 0 小于等于 1”、“大于 1”三部分, 然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.
(1)平移规律;若已知 y=ax 的 图象,则把 y=ax的图象向左平移 b(b>0)个单位, 便得到 y=ax+b 的图象;把 y=ax 的图象向右平移 b(b>0)个单位,便得到 y=ax-b 的图象;把 y=ax 的 图象向上平移 b(b>0)个单位,便得到 y=ax+b 的图象;把 y=ax的图象向下平移 b(b>0)个单位, 便得到 y=ax-b 的图象.
4.(2012 年高考新课标全国卷)当 0<x≤ 1 2
时,4x<logax,则 a 的取值范围是( B )
2
2
(A)(0, ) (B)( ,1)
2
2
(C)(1, 2 ) (D)( 2 ,2)
解析:如图 y1=4x,y2=logax. ①a>1 时,易知 x<1 时,logax<0,不成立.
②0<a<1 时,由图可知 0<x≤ 1 时,4x<logax 成立需满 2
(2)对于底数相同的对数式的化简,常用的方 法是: ①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商) 的对数. ②“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
数(式)的大小比较
【例 2】 比较下列各组数的大小:
(1)1.70.2、log2.10.9 与 0.82.1; (2)(lg m)1.9 与(lg m)2.1(m>1).
1.(2012 年高考安徽卷)(log29)·(log34)
等于( D )
1
(A)
4
1
(B)
2
(C)2 (D)4
解析:利用对数运算法则求解.
法一 原式= lg 9 lg 4 = 2 lg 3 2 lg 2 =4. lg 2 lg 3 lg 2 lg 3
法二 原式=2log23· log2 4 =2×2=4.故选 D. log2 3