2018-2019学年高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 高度、角度问题练习 新人教A版必修5

第一章 1.2 第2课时 高度、角度问题
A 级 基础巩固
一、选择题
1．某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( A
)
A ．100 2 m
B ．100 3 m
C ．50(2＋6) m
D ．200 m
[解析] 如图，由条件知，
AD ＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)
＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25(6＋2)，
CD ＝100cos75°＝25(6－2)， BD ＝
AD tan30°
＝
256＋233
＝25(32＋6)．
∴BC ＝BD －CD ＝25(32＋6)－25(6－2)＝1002(m)．
2．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A
的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( D )
A ．10 2 m
B ．20 m
C ．20 3 m
D ．40 m
[解析] 设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得
BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°，
∴x 2
－20x －800＝0，∴x ＝40(m)．
3．若甲船在B 岛的正南方A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( A )
A ．150
7 min
B ．157 h
C ．21.5 min
D ．2.15 h
[解析] 当时间t <2.5 h 时，如图．
∠CBD ＝120°，BD ＝10－4t ，BC ＝6t ． 在△BCD 中，利用余弦定理，得
CD 2＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100．
当t ＝
202×28＝514(h)，即1507
min 时，CD 2
最小，即CD 最小为675
7
． 当t ≥2.5 h 时，CF ＝15×
32，CF 2
＝6754
>CD 2， 故距离最近时，t <2.5 h ，即t ＝150
7
min ．
4．(2018－2019学年度湖南武冈二中高二月考)在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( A )
A ．4003 m
B ．40033 m
C ．200 3 m
D ．200 m
[解析] 如图，
由题意可知，∠ABC ＝30°，AB ＝200，
∴AC ＝200tan30°＝2003
3
．
过点D 作DE ⊥AB ，E 为垂足，在△DEB 中，
DE ＝
2003
3，∠DBE ＝60°， ∴BE ＝
DE
tan60°＝2003
，
∴塔高CD ＝AB －BE ＝400
3
m ．
5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( D )
A ．10 3 m
B ．100 3 m
C ．2030 m
D ．30 m
[解析] 设炮塔顶A 、底D ，两船B 、C ，则∠ABD ＝45°，∠ACD ＝30°，∠BDC ＝30°，
AD ＝30，∴DB ＝30，DC ＝303，BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC ·cos30°＝900，
∴BC ＝30．
6．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为( D )
A ．500 2 m
B ．200 m
C ．1 000 2 m
D ．1 000 m
[解析] ∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，
∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°，
在△ABS 中，AB ＝AS ·sin135°
sin30°＝1 000×
2
21
2
＝1 0002，
∴BC ＝AB ·sin45°＝1 0002×2
2
＝1 000(m)． 二、填空题
7．一树干高15 m ，被台风吹断并歪倒，折断部分(长5 m)与残存树干成120°角，树干折断处距离地面的高度是
7
不求近似值)
[解析] 如图，大树折断部分BC
＝5 m ，殊存树干为AB ，折断部分与残存树干所成的角为∠ABC ＝120°．
作AD ⊥CB 交CB 延长线于点D ，
作BE ⊥AC 于点E ，BE 的长为树干折断处距离地面的高度． ∵树干高15 m ，∴AB ＋BC ＝15(m)， ∴AB ＝15－BC ＝10(m)．
∵∠ABC ＝120°，∴∠ABD ＝60°． ∴∠BAD ＝90°－∠ABD ＝30°． ∴BD ＝1
2
AB ＝5(m)．
∴AD ＝AB 2
－BD 2
＝102
－52
＝53(m)． ∴CD ＝CB ＋BD ＝10(m)． ∴AC ＝CD 2
＋AD 2
＝102
＋3
2
＝57(m)，
∵S △ABC ＝12AC ·BE ＝1
2BC ·AD ，
∴BE ＝
BC ·AD AC ＝5×5357
＝521
7(m)． 8．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是3a n mile/h ，问甲船应沿着__北偏东30°__方向前进，才能最快与乙船相遇？
[解析] 如图，设经过t h 两船在C 点相遇，
则在△ABC 中，
BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°，
由
BC sin ∠CAB ＝AC
sin B
，
得sin ∠CAB ＝
BC sin B AC ＝at ·sin120°3at
＝1
2． ∵0°<∠CAB <90°，
∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°．
即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 三、解答题
9．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
[解析] 设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得
BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，
∴BC ＝6．
在△BCD 中，由正弦定理，得 sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝
22
， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直． ∴∠CBD ＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得
CD
sin ∠CBD
＝
BD
sin ∠BCD
，
∴103t sin120°＝10t sin ∠BCD ，∴sin ∠BCD ＝12， ∴∠BCD ＝30°．
故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．
B级素养提升
一、选择题
1．渡轮以15 km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( C )
A．14.5 km/h B．15.6 km/h
C．13.5 km/h D．11.3 km/h
[解析] 由物理学知识，
画出示意图，如图．AB＝15，AD＝4，
∠BAD＝120°.在▱ABCD中，D＝60°，
在△ADC中，由余弦定理，得
AC＝AD2＋CD2－2AD×CD×cos D
＝16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)．
故选C．
2．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( C )
A．15 m B．5 m
C．10 m D．12 m
[解析] 如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h．
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h．
在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，
由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，
即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．
3．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为( D )
A ．15 6 m
B ．20 6 m
C ．25 6 m
D ．30 6 m
[解析] 设建筑物的高度为h ，由题图知，PA ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝23
3h ，
∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得 cos ∠PBA ＝602
＋2h 2
－4h
2
2×60×2h ，
①
cos ∠PBC ＝602＋2h 2
－43
h
22×60×2h .
②
∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.
③
由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)， 即建筑物的高度为30 6 m ． 二、填空题
4．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10 m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝__30°__．
[解析] 如图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10，
∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102
＋32
－102
2×10×103＝3
2，
∴∠ACB ＝30°．
5．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.
已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝__150__ m ．
[解析] 如图，
在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，∴AC ＝1002． 在△AMC 中，∠CAM ＝75°，∠ACM ＝60°， ∴∠AMC ＝45°．
由正弦定理知AM sin60°＝1002
sin45°
，∴AM ＝1003．
在Rt △AMN 中，∠NAM ＝60°， ∴MN ＝AM ·sin60°＝1003×3
2
＝150(m)． 三、解答题
6．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12 n mile ，渔船乙以10 n mile/h 的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h 追上．
(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．
[解析] (1)依题意可得，在△ABC 中，∠BAC ＝180°－60°＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α．
由余弦定理，得BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－2AB ×AC ×cos∠BAC
＝122＋202
－2×12×20×cos120°＝784． 解得BC ＝28．
所以渔船甲的速度为BC
2
＝14 n mile/h ．
(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BC
sin120°．
即sin α＝AB sin120°
BC ＝12×
3228＝3314
．
C 级 能力拔高
1．据气象台预报，在S 岛正东距S 岛300 km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时30 km 的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km 以内的地区将受到台风的影响．
问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．
[解析] 如图，设台风中心经过t h 到达B 点，由题意：
∠SAB ＝90°－30°＝60°，
在△SAB 中，SA ＝300，AB ＝30t ，∠SAB ＝60°， 由余弦定理，得
SB 2＝SA 2＋AB 2－2SA ·AB ·cos∠SAB
＝3002
＋(30t )2
－2·300·30t cos60°． 若S 岛受到台风影响，则应满足条件 |SB |≤270即SB 2
≤2702
，
化简整理得t 2
－10t ＋19≤0，解之得5－6≤t ≤5＋6，
所以从现在起，经过(5－6)h S 岛开始受到影响，(5＋6)h 后影响结束，持续时间： (5＋6)－(5－6)＝26(h)．
答：S 岛从现在起经过(5－6)h 受到台风影响，且持续时间为2 6 h ．
2．如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6 km 的速度步行了1 min 以后，在点D 处望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB ＝α，α的最大值为60°．
(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟； (2)求塔的高AB .(结果保留根号，不求近似值)
[解析] (1)依据题意知，在△DBC 中，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝180°－45°＝135°，
CD ＝6 000×160
＝100(m)，
∠BDC ＝45°－30°＝15°，由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BC
sin ∠BDC
，
∴BC ＝
CD ·sin∠BDC sin ∠DBC ＝100×sin15°
sin135°
＝
100×
6－2
422
＝
6－22
＝50(3－1)(m)，
在Rt △ABE 中，tan α＝AB BE
，
∵AB 为定长，当BE 的长最小时，α取最大值60°，
这时BE ⊥CD ，当BE ⊥CD 时，在Rt △BEC 中，EC ＝BC ·cos∠BCE ＝50(3－1)·3
2
＝25(3－3)(m)，
设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t min ，则t ＝EC
6 000
×60＝
－36 000
×60＝3－34
(min)．
(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE ⊥CD ，在Rt △BEC 中，BE ＝BC ·sin∠BCD ， 所以AB ＝BE ·tan60°＝BC ·sin ∠BCD ·tan60°＝50(3－1)×1
2×3＝25(3－
3)(m)，即所求塔高为25(3－3)m ．。