2021高考数学全真模拟预测适应性试题(解析版)

一、选择题（共10小题）.
1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B＝（）
A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}
2．在复平面内，复数i（i﹣a）对应的点的坐标为（﹣1，2），则实数a＝（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
3．在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为（）
A．﹣40B．40C．﹣80D．80
4．已知向量，．若，则实数t的值为（）A．﹣2B．2C．D．
5．设，c＝ln2，则（）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．b＜a＜c
6．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）
A．4B．8C．D．
7．已知点P是双曲线C：x21的一条渐近线y＝kx（k＞0）上一点，F是双曲线C的右焦点，若△OPF的面积为5，则点P的横坐标为（）
A．B．C．D．
8．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），则“函数f（x）在
上单调递增”是“0＜ω≤2”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）A．B．C．3D．4
10．一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答
及得分情况如表所示，则m的值为（）
1 2 3 4 5 6 7 8 得分
题号
学生
甲╳√╳√╳╳√╳30
乙╳╳√√√╳╳√25
丙√╳╳╳√√√╳25
丁╳√╳√√╳√√m A．35B．30C．25D．20
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知a＞1，则a的最小值为．
12．设{an}是等差数列，且a1＝3，an+1＝an﹣2，则数列{an}的前n项和Sn＝．
13．已知点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x 轴和其准线l都相切，则点M到其顶点O的距离为．14．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点M（x，﹣1）在角β的终边上．若，则sinβ＝；x＝．
15．曲线C：，点P在曲线C上．给出下列三个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②曲线C上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]；
③若A（﹣1，0），B（1，0），则存在点P，使△PAB的面积大于．
其中，所有正确结论的序号是．
三、解答题.共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．在△ABC中，acosB＝bsinA．
（Ⅰ）求∠B；
（Ⅱ）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD ＝CD＝2，BC＝3，，E为PB中点，_____，求证：四边形ABCD是直角梯形，并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
从①CD⊥BC；②BC∥平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答．
18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；
（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代
替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）
19．已知椭圆M：1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆M 与y轴交于A，B两点（A在下方），且|AB|＝4．过点G（0，1）的直线l与椭圆M交于C，D两点（不与A重合）．（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）证明：直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值．20．已知函数f（x）ax+a，a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈（0，2）时，比较f（x）与﹣|1﹣a|的大小．21．已知有限数列{an}，从数列{an} 中选取第i1项、第i2项、……、
第im项（i1＜i2＜…＜im），顺次排列构成数列{ak}，其中bk＝ak，1≤k≤m，则称新数列{bk}为{an} 的长度为m的子列．规定：数列{an} 的任意一项都是{an} 的长度为1的子列．若数列{an} 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{an} 为完全数列．
设数列{an}满足an＝n，1≤n≤25，n∈N*．
（Ⅰ）判断下面数列{an} 的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列（1）：3，5，7，9，11；数列（2）：2，4，8，16．（Ⅱ）数列{an} 的子列{ak}长度为m，且{bk}为完全数列，证明：m的最大值为6；
（Ⅲ）数列{an} 的子列{ak}长度m＝5，且{bk}为完全数列，求的最大值．
参考答案
一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则
集合A∩B＝（）
A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}
【分析】进行交集的运算即可．
解：A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B＝{﹣1，0}．
故选：B．
2．在复平面内，复数i（i﹣a）对应的点的坐标为（﹣1，2），则实数a＝（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合题意即可求得a值．
解：∵i（i﹣a）＝﹣1﹣ai对应的点的坐标为（﹣1，﹣a），由题意可得﹣a＝2，即a＝﹣2．
故选：D．
3．在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为（）
A．﹣40B．40C．﹣80D．80
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得x2的系数．
解：在（x﹣2）5的展开式中，含x2的项为•（﹣2）3•x2＝﹣80x2，
故x2的系数为：﹣80．
故选：C．
4．已知向量，．若，则实数t的值为（）A．﹣2B．2C．D．
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t的值．
解：∵向量，，若，则t+2＝0，
∴实数t＝﹣2，
故选：A．
5．设，c＝ln2，则（）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．b＜a＜c
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
解：∵b＝20.5，又0＜0.3＜0.5，
∴20＜20.3＜20.5，即b＞a＞1，
∵ln1＜ln2＜lne＝1，∴0＜c＜1，
∴b＞a＞c，
故选：B．
6．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）
A．4B．8C．D．
【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出三角形的最大面积．
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体．
如图所示：
由于AB＝2，BD＝4，下底面△BCD为等腰直角三角形．
所以：，，
，．
故选：C．
7．已知点P是双曲线C：x21的一条渐近线y＝kx（k＞0）上一点，F是双曲线C的右焦点，若△OPF的面积为5，则点P的横坐标为（）
A．B．C．D．
【分析】根据条件得到渐近线方程为：y＝2x，再由面积为5得到yP＝±2，再带回渐近线方程即可得到横坐标
解：由双曲线方程可得a＝1，b＝2，则c，
则渐近线方程为：y＝2x，F（，0），
又S c•|yP|＝5，则yP＝±2，
当y＝2时，x，
当y＝﹣2时，x，
故点P的横坐标为±，
故选：A．
8．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），则“函数f（x）在
上单调递增”是“0＜ω≤2”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】函数f（x）＝sinωx（ω＞0），可得其单调递增区间为：2kπ≤ωx2kπ，k∈N*．取k＝0，可得：•（）≤x，k∈N*．根据“函数f（x）在上单调递增”，可得ω范围，即可判断出关系．
解：函数f（x）＝sinωx（ω＞0），可得其单调递增区间为：2kπ≤ωx2kπ，k∈N*．
取k＝0，可得：•（）≤x，k∈N*．
由“函数f（x）在上单调递增”，∴，解得：0＜ω．
∴“函数f（x）在上单调递增”是“0＜ω≤2”的充分不必要条件．
故选：A．
9．点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）A．B．C．3D．4
【分析】要满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则需要直线与函数y＝ex的图象相交，而且点P在函数y ＝ex的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．
解：过函数y＝ex的图象上点P（x0，y0）作切线，使得此切线与直线y＝x+a平行，
又y′＝ex，于是，则x0＝0，y0＝1；
∴P（0，1），
于是当点P到直线y＝x+a的距离为时，则满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，
∴，解得a＝﹣1或a＝3
又当a＝﹣1时，函数y＝ex的图象与直线y＝x﹣1没有交点，从而只有两个点到直线距离为，所以不满足；
故a＝3．
故选：C．
10．一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为（）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 得分
学生
甲╳√╳√╳╳√╳30
乙╳╳√√√╳╳√25
丙√╳╳╳√√√╳25
丁╳√╳√√╳√√m A．35B．30C．25D．20
【分析】根据乙、丙得分一样得到第2，5两题答案正确，再结合甲的答案推得正确答案为：╳╳╳√√╳√╳，即可计算m 解：因为乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，所以第2，5两题答案正确，
又因为甲得分30分即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙丙不同，故其余6题答案均正确，
故而这8道判断的答案分别是：╳╳╳√√╳√╳，
对比丁的答案，可知其2、8两题错误，故得分m＝6×5＝30，故选：B．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知a＞1，则a的最小值为 5 ．
【分析】由a a﹣11，然后结合基本不等式即可求解．
解：因为a＞1，
则a a﹣115，
当且仅当a﹣1即a＝3时取等号，
故答案为：5
12．设{an}是等差数列，且a1＝3，an+1＝an﹣2，则数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+4n．
【分析】由an+1＝an﹣2，可得：an+1﹣an＝﹣2，利用等差数列的求和公式即可得出．
解：由an+1＝an﹣2，可得：an+1﹣an＝﹣2，
∴数列{an}为等差数列，公差为﹣2．
则数列{an}的前n项和Sn＝3n（﹣2）＝﹣n2+4n．故答案为：﹣n2+4n．
13．已知点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x 轴和其准线l都相切，则点M到其顶点O的距离为．【分析】利用已知条件求出M的坐标，然后求解点M到其顶
点O的距离．
解：点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，
设M（x，x+1），
可得（x+1）2＝4x，解得x＝1，所以M（1，2），
点M到其顶点O的距离为：．
故答案为：．
14．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点M（x，﹣1）在角β的终边上．若，则sinβ＝；x＝±2．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果．解：在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，
点M（x，﹣1）在角β的终边上，则N（﹣x，1）在α的终边上，
若，∴x＝±2，且sinβ，
故答案为：，±2．
15．曲线C：，点P在曲线C上．给出
下列三个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②曲线C上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]；
③若A（﹣1，0），B（1，0），则存在点P，使△PAB的面积大于．
其中，所有正确结论的序号是①②．
【分析】①根据对称性的特点，用﹣x代替x，代入曲线C中，若等式依然成立，则关于y轴对称；
②列出不等式，3，解之即可得横坐标的取值范围；
③采用分析法，|yP|，要使△PAB的面积大于，则，即，再列出不等式，而3，解出y的取值范围，即可进行判断．
解：①用﹣x代替x，有
3成立，即
①正确；
②∵y2≥0，
∴3，
故（x2﹣1）2≤9，即﹣3≤x2﹣1≤3，即﹣2≤x2≤4，解得﹣2≤x≤2，即②正确；
③，若存在点P，使△PAB的面积大于，则，即．
∵3，
∴y2≤2，故不存在点P符合题意，即③错误．
故答案为：①②．
三、解答题.共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．在△ABC中，acosB＝bsinA．
（Ⅰ）求∠B；
（Ⅱ）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
【分析】（I）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tanB，进而可求B；
（II）由余弦定理及基本不等式可求ac的范围，然后结合三角形的面积公式可求．
解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，
因为，
所以，
因为sinA≠0，
所以，
所以tanB，
因为0＜B＜π，
所以，
（Ⅱ）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得，
所以a，c，
所以．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD ＝CD＝2，BC＝3，，E为PB中点，_____，求证：四边形ABCD是直角梯形，并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
从①CD⊥BC；②BC∥平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答．
【分析】选择①．
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥CD．求解三角形得CD⊥PD．再由直线与平面垂直的判定可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AD．进一步得到AD∥BC．可得四边形ABCD是直角梯形．过A作AD的垂线交BC于点M．以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz．求出平面PCD的法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线AE与平面PCD所成的角的正弦值．
选择②．
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥CD．求解三角形得CD⊥PD．再由直线与平面垂直的判定可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AD．再由BC∥平面PAD，得BC∥AD，则四边形ABCD 是直角梯形．直线AE与平面PCD所成角的正弦值同①．解：选择①．
先证四边形ABCD是直角梯形．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD．
∵PA＝AD＝CD＝2，∴．
又∵，∴CD2+PD2＝PC2，得CD⊥PD．
又∵PA∩PD＝P，
∴CD⊥平面PAD，则CD⊥AD．
又∵CD⊥BC，∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是直角梯形．
再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
过A作AD的垂线交BC于点M．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AM，PA⊥AD．
如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．
则A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
∵E为PB的中点，∴E（1，，1）．
∴，，．
设平面PCD的法向量为，则
，令y＝1，得．
设直线AE与平面PCD所成的角为α，
∴sinα＝|cos|．
∴直线AE与平面PCD所成角的正弦值为．
选择②．
先证四边形ABCD是直角梯形．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD．
∵PA＝AD＝CD＝2，∴．
∵，CD2+PD2＝PC2，得CD⊥PD．
∵PA∩PD＝P，∴CD⊥平面PAD，则CD⊥AD．
∵BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BC∥AD，则四边形ABCD是直角梯形．
再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
同上①．
18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；
（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布
列和数学期望；
（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）
【分析】（Ⅰ）由频率和为1，可求出a的值，然后结合频率/组距、组距和样本总量，求出该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生人数，即可求得对应的概率；
（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人，所以X的所有可能取值为0，1，2，3．然后根据超几何分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；
（III）根据平均数的含义进行估量即可得解．
解：（Ⅰ）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）×1＝1，所以a＝0.2．
因为0.2×1×100＝20，
所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生有20人．
所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为．（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．
所以X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X＝0），P（X＝1），
P（X＝2），P（X＝3）．
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以数学期望E（X）．（III）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6）．
19．已知椭圆M：1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆M 与y轴交于A，B两点（A在下方），且|AB|＝4．过点G（0，1）的直线l与椭圆M交于C，D两点（不与A重合）．（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）证明：直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值．【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求得a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在．当k＝0时，直线l的方程为y＝1，代入椭圆方程求得C，D的坐标，直接求AC与AD 斜率的乘积；当k≠0时，则直线l的方程为y＝kx+1．联立直线方程与椭圆方程化为关于x的一元二次方程，利用斜率公式及根与系数的关系即可求得AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值．
【解答】（Ⅰ）解：由题意得，解得．
∴椭圆M的方程为；
（Ⅱ）证明：由题意，直线l的斜率存在．
当k＝0时，直线l的方程为y＝1，代入椭圆方程有．
则．
∴．
∴．
当k≠0时，则直线l的方程为y＝kx+1．
由，得（4+5k2）x2+10kx﹣15＝0．设C（x1，y1），D（x2，y2），
则，．
又A（0，﹣2），
∴，
．
即直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值．20．已知函数f（x）ax+a，a∈一、选择题．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈（0，2）时，比较f（x）与﹣|1﹣a|的大小．【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；
（II）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论即可求解；
（III）结合（II）中对单调性的讨论，可求f（x）的最值，进而可比较大小．
解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）x+1，
因为f′（x）＝x2﹣1，
所以f′（0）＝﹣1，
所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为x+y﹣1＝0．（II）定义域为R．
因为f′（x）＝x2﹣a，
①当a＝0时，f′（x）≥0恒成立．
所以函数y＝f（x）在R上单调递增，
②当a＜0时，f′（x）＞0恒成立．
所以函数y＝f（x）在R上单调递增．
③当a＞0时，令f′（x）＝0，则x或x，
所以当f′（x）＞0时，x或x，
当f′（x）＜0时，x，
所以函数y＝f（x）在（﹣∞，）和（）上单调递增，在（，）上单调递减，
综上可知，当a≤0时，函数y＝f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，函数f（x）在（﹣∞，）和（）上单调递增，在（，）上单调递减．
（III）：由（Ⅱ）可知，
（1）当a≤0时，函数y＝f（x）在R上单调递增；
所以当x∈（0，2）时，f（x）min＞f（0）＝a，
因﹣|1﹣a|＝﹣（1﹣a）＝a﹣1，
所以f（x）＞﹣|1﹣a|，
（2）当a＞0时，函数y＝f（x）z在（）和（）上单调递增，
在（）上单调递减．
①当，即0＜a≤1时，﹣|1﹣a|≤0．
所以当x∈（0，2）时，
函数f（x）在（0，）上单调递减，（，2）上单调递增，f （x）min＝f（）0，
所以f（x）＞﹣|1﹣a|．
②当，即1＜a＜4时，﹣|1﹣a|＝1﹣a＜0．
由上可知，f（x）min＝f（），
因为，
设．
因为，
所以g（x）在（1，4）上单调递增．
所以．
所以
所以f（x）＞﹣|1﹣a|，
③当，即a≥4时，﹣|1﹣a|＝1﹣a＜0．
因为函数f（x）在（0，）上单调递减，
所以当x∈（0，2）时，f（x）min＝f（2）．
所以f（x）＞﹣|1﹣a|．
综上可知，x∈（0，2），f（x）＞﹣|1﹣a|
21．已知有限数列{an}，从数列{an} 中选取第i1项、第i2项、……、第im项（i1＜i2＜…＜im），顺次排列构成数列{ak}，其中bk＝ak，1≤k≤m，则称新数列{bk}为{an} 的长度为m的子列．规定：数列{an} 的任意一项都是{an} 的长度为1的子列．若数列{an} 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{an} 为完全数列．
设数列{an}满足an＝n，1≤n≤25，n∈N*．
（Ⅰ）判断下面数列{an} 的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列（1）：3，5，7，9，11；数列（2）：2，4，8，16．（Ⅱ）数列{an} 的子列{ak}长度为m，且{bk}为完全数列，证明：m的最大值为6；
（Ⅲ）数列{an} 的子列{ak}长度m＝5，且{bk}为完全数列，求的最大值．
【分析】（Ⅰ）直接利用信息的应用和定义的应用整理出结果．（Ⅱ）根据定义的应用求出子列的长度．
（Ⅲ）利用信息的应用和关系式的恒等变换的应用求出最大值．
解：（Ⅰ）数列（1）不是{an}的完全数列；数列（2）是{an}的完全数列．
理由如下：
数列（1）：3，5，7，9，11中，因为3+9＝5+7＝12，所以数列（1）不是{an}的完全数列；
数列（2）：2，4，8，16中，所有项的和都不相等，数列（2）是{an}的完全数列．
（Ⅱ）假设数列{bk}长度为m≥7，不妨设m＝7，各项为b1＜b2＜b3＜…＜b7．
考虑数列{bk}的长度为2，3，…7的所有子列，一共有27﹣1﹣7＝120个．
记数列{bk}的长度为2，3，…7的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a，最大值为A．
所以a＝b1+b2，A＝b1+b2+25+24+23+22+21＝b1+b2+115．
所以其中必有两个子列的所有项之和相同．
所以假设不成立．
再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意．
所以子列{bk}的最大长度为6．
（Ⅲ）数列{an} 的子列{bk}长度m＝5，且{bk}为完全数列，且各项为b1＜b2＜b3＜…＜b5．
所以，由题意得，这5项中任意i（1≤i≤5）项之和不小于2i ﹣1．
即对于任意的1≤i≤5，有，
即．
对于任意的1≤i≤5，，
设（i＝1，2，3，4，5），则数列{ci}的前j项和Dj ≥0（j＝1，2，3，4，5）．
下面证明：．
因为（）﹣（）
，
，
0．所以，当且仅当（i＝1，2，3，4，5）时，等号成立．
所以求的最大值为．。