【内供】2019届高三9月内部特供卷 文科数学(一)教师版

2019届高三 教育云平台9月份内部特供卷
高三文科数学（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合2{20}P x x x =|-≥，}{12Q x x =|<≤，则()R C P Q =（ ） A ．[0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．[1,2]
【答案】C
【解析】由题意得，()R C 0,2P =，∴()()R C 1,2P Q =，故选C ． 2．已知(
)2
1i =1i z
-+（i 为虚数单位）
，则复数z =（ ） A ．1i + B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i --
【答案】D
【解析】由
()2
1i 1i
z
-=+，得()()()()
2
1i 2i 1i 2i
1i 1i
1i 1i 1i z ----=
=
==--+++-，故选D ． 3．如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温（C ︒）的数据一览表．
已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（ ）
A ．最低温与最高位为正相关
B ．每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加
C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月
D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 【答案】B 【解析】
将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大，A 正确；
由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前8个月不是逐月增加，B 错； 由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在11月，C 正确；
由表格可知1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大，D 正确， 故选B ．
4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A ．7 B ．8
C ．15
D ．16
【答案】C
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，14a ，22a ，3a 成等差数列，则1324+4a a a =即211144a a q a q +=，
解得2q =，11a =，则4
412
1512
S -=
=
-；故选C ． 5．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()21
0f x x x
=+>，则()1f -=（ ） A ．2-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】A
【解析】因为()f x 是奇函数，所以()()()11112f f -=-=-+=-，故选A ． 6．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
此
卷
只装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
【答案】C
【解析】执行第1次，0.01t =，1S =，0n =，10.52m ==，0.5S S m =-=，0.252
m
m ==，1n =，0S =．5001t =＞．，是，循环，
执行第2次，""025S S m =-=．
，01252m
m ==．，2n =，025001S t ==．
＞．，是，循环， 执行第3次，""0125
S S m =-=．，006252m
m ==．，3n =，0125001S t =>=．．，是，循环， 执行第4次，00625S S m =-=．
，0031252m
m ==．，4n =，00625001S t =>=．．，是，循环， 执行第5次，""003125S S m =-=．
，00156252m
m ==．，5n =，003125001S t =>=．．，是，循环， 执行第6次，0015625S S m =-=．
，000781252m
m ==．，6n =，0015625001S t =>=．．，是，循环， 执行第7次，00078125S S m =-=．
，0003906252
m
m ==．，7n =，00078125001S t =>=．．，否， 输出7n =，故选C ．
7．三次函数()323
212
f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()
1,3上的最小值是（ ）
A ．83
B ．
116
C ．
113 D ．53
【答案】D
【解析】2
()332f x ax x '=-+，所以1
(1)3103
k f a a '==-=⇒=，
所以2()32012f x x x x x '=-+=⇒==或，因此，()f x 在区间()1,2上单调减， ()f x 在区间()2,3上单调增，所以最小值是135
(2)84221=323
f =⨯-⨯+⨯+，选D ．
8．已知()2sin13,2sin77=︒︒a ，1-=a b ，a 与-a b 的夹角为3
π
，则⋅=a b （ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】因为()2sin13,2sin77=︒︒a ，1-=a b ，向量a 与-a b 的夹角为
3
π， 则
2=
a ，
所以()241
cos 321212
⋅--⋅-⋅==-π=
=⨯⨯a a b a a b a b a a b ，所以3⋅=a b ，故选B ． 9．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2
221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）
A ．28y x =
B ．28x y =
C ．24y x =
D ．24x y =
【答案】A
【解析】设圆心为C ，动点P 到直线的距离为d ，根据题意得：1PC d -=，可得1PC d =+，即：动点P 到圆()2
221x y -+=上的点的最小距离与其到直线2x =-的距离相等，根据抛物线的定义，动点P 的轨迹为以()2,0为焦点，以2x =-为准线的抛物线，设方程为22y px =，则22
p
=，4p =，所以抛物线方程为：28y x =，故选A ．
10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ） A ．2
B ．4
C ．2
+
D
．4+
【答案】C
【解析】由三视图可得原几何体，如图所示，该几何体的高2PO =，底面ABC 为边长为2的等腰直角三角形，所以该几何体中，直角三角形是底面ABC 和侧面PBC ，事实上，因为PO ⊥底面ABC ，所以平面PAC ⊥底面ABC ，而B
C A C ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，
所以BC PC ⊥
，PC ，
11
222222
PBC ABC S S =
⨯=⨯⨯=△△
，所以该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为2，故选C ．
11．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为2
3
的直线与C 交于M ，N 两点， 则FM FN ⋅=（ ） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】D
【解析】根据题意，过点()2,0-且斜率为
23的直线方程为()2
23
y x =+， 与抛物线方程联立()222 34y x y x =+=⎧
⎪⎨
⎪⎩
，消元整理得：2680y y -+=，解得()1,2M ，()4,4N ，又()1,0F ，所以()0,2FM =，()3,4FN =，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=，故选D ．
12．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是AB 中点，点F 是11B C 中点，若正方体1111ABCD A B C D -的内切球与直线EF 交于点G ，H ，且3GH =，若点Q 是棱1BB 上一个动点，则1AQ D Q +的最小值为（ ） A ．6 B
．C
．D
．【答案】C
【解析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，内切球球心为O ，由题意可得内切球半径2
a
r =
，OE OF ==
，EF =，取EF 中点P
，则OP ，
所以4cos 2OP POG a OG ∠===
2GOH π∠=
，2a OG ==
a =， 把平面11DD B B 与平面11AA B B 展成一个平面，则A ，Q ，1D 共线时1AQ D Q +最小， 最小值为：
1D A
C ．
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设x ，y 满足约束条件1
400
x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则3z x y =-的取值范围为__________．
【答案】[]2,4-
【解析】由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，当目标函数3z x y =-过点53,22A ⎛⎫
⎪
⎝⎭
时，取得最小值，此时最小值为min 53
3222
z =-⨯=-；当目标函数3z x y =-过点()4,0B 时，取得最
大值，此时最小值为max 4z =
，所以3z x y =-的取值范围为[]2,4-．
14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个
食堂用餐的概率为__________． 【答案】
14
【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种）， 其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为21
84
=． 15．在数列{}n a 中，113a =，()
113,3n n n n a a a ++=∈N +，且13n
n b a =+．记12n n P b b b =⨯⨯⨯，
12n n S b b b =+++，则13n n n P S ++=__________．
【答案】3 【解析】因为
113(3)n n n a a a +=+，1
3n n b a =+，所以1
3n n n a b a +=，12n n P b b b =⨯⨯⨯
3
1212341133333n n n n a a a a a a a a a a ++=
⋅⋅=.又113111
(3)3n n n n n n n
b a a a a a a +==-=-++， 所以1
11n n n b a a +=-，121223
11
1111
1113n n n n n S b b b a a a a a a a ++=+++=
-+-++
-=-, 所以1
1
111
11
3
3333n n n n n n n P S a a ++++++=+-=，所以答案为3．
16．已知平面直角坐标内定点()1,0A -，()1,0B ，()4,0M ，()0,4N 和动点()11,P x y ，()22,Q x y ，若1AP BP ⋅=，1122
OQ t OM t ON ⎛⎫⎛⎫
=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，其中O 为坐标原点，则QP 的最小值是__________．
【解析】∵动点()1,0A -，()1,0B ，()11,P x y ，∴1AP BP ⋅=，∴
()()11`111,1,1x y x y +⋅-=，∴2
21
1
2
x y +=∴P 1122OQ t OM t ON ⎛⎫⎛⎫
=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴Q ，M
，N 三点
共线∵
4,0M （），
0,4N （），∴Q 的轨迹方程为直线MN ：40
x y +-=，∴PQ 的最小值是圆心到直
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin A B C
a b c
+=． （1）证明：sin sin sin A B C =；
（2）若222
65
b c a bc +-=，求tan B ．
【答案】（1）见解析；（2）4．
【解析】（1）根据正弦定理，可设
(0)sin sin sin a b c
k k A B C ===>，则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入
cos cos sin A B C a b c
+=中，有cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k C +=，变形可得
sin sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B =+=+（）．在ABC △中，由A B C ++=π，有sin sin sin A B C C +=π-=（）（），所以sin sin sin A B C =．
（2
）由已知，2
2
2
65b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223
cos 25b c a A bc +-=
=． 所以4
sin 5
A ．由（1），sin sin sin cos cos sin A
B A B A B =+，
所以443sin cos sin 555
B B B =+，故sin 4co tan s B B B ==． 18．（12分）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB A
C ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D
的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2
3
BP DQ DA ==
，求三棱锥Q ABP -的体积．
【答案】（1）见解析；（2）1．
【解析】（1）由已知可得，90BAC ∠=︒，BA AC ⊥．又BA AD ⊥，且AC
AD A =，
所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面
ABC ． （2）由已知可得，3DC CM AB ===，DA =又2
3
BP DQ DA ==
，所以BP =作QE AC ⊥，垂足为E
，则1
3QE DC ∥．由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，1QE =．
因此，三棱锥Q ABP -
的体积为111
131332
Q ABP ABP V QE S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△．
19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）()
3
47.45m ． 【解析】（1）如下图
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为 0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
()11
0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
()21
0.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()
30.480.3536547.45m -⨯=． 20．（12分）已知中心在原点O ，左、右焦点分别为1F ，2F
A ，
B 是椭圆上两点．
（1）若直线AB 与以原点为圆心的圆相切，且OA OB ⊥，求此圆的方程；
（2）动点P 满足：3OP OA OB =+，直线OA 与OB 的斜率的乘积为1
3
-，求动点P 的轨迹方程．
【答案】（1）22
34
x y +=
；（2
）(22
330x y x +=≠． 【解析】（1）设椭圆方程为()22
2210x y a b a b +=>>
，由已知222
2c a c b a c
⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩
，得1a b c ⎧⎪=⎨⎪⎩，
∴椭圆方程为2
213
x y +=．
①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
代入椭圆方程得()()2
2
2
136310k x kmx m +++-=．∴122613km x x k -+=+，()21223113m x x k
-⋅=+． ∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，
即()()()
()22
1212121212121x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++
()()2222
2316101313m km k km m k k --⎛⎫=+⋅
++= ⎪
++⎝⎭
，即224330m k --=． ∵AB
与以原点为圆心的圆相切，∴圆半径r =
则22
2
314
m r k ==+，∴圆的方程为22
34x y +=． ②当直线AB 的斜率存在时，易知AB
方程为x = 综上，所求圆的方程为22
34
x y +=
． （2）设(),P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由3OP OA OB =+得12
1233x x x y y y =+⎧⎨
=+⎩ 又直线OA ，OB 的斜率积为13
-，∴
121213y y x x =-，即121230x x y y +=．
∵A ，B 在椭圆上，∴221113x y +=，2
22213x
y +=联立得1212
121222
112222
33303333x x x y y y x x y y x y x y ⎧=+⎪
=+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎩消去1x ，1y ，2x ，2y ，
得22330x y +=．当OA 斜率不存在时，即10x =，得11y =±，20y =
，2x =
x =±同理OB
斜率不存在时，x =±
∴P
点的轨迹方程为(22
330x y x +=≠．
21．（12分）已知函数()21
e x
ax x f x +-=．
（1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥． 【答案】（1）210x y --=；（2）见解析． 【解析】（1）()()2212
e
x
ax a x f x +-'-+=
，()02f '=．
因此曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程是210x y --=．
（2）当1a ≥时，()()
21e 1e e x x
f x x x +-+≥+-+．令()211e x
g x x x +≥+-+，则()121e x g x x +≥++'．
当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增； 所以()()10g x g ≥-=．因此()e 0f x +≥．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
以直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为x t
y at
=⎧⎨
=⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()4sin 12ρρθ-=，定点()6,0A ，点P 是曲线1C 上的动点，Q 为AP 的中点．
（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）直线l 与曲线2C 相交于B ，C
两点，若BC ≥a 的取值范围． 【答案】（1）()()22314x y -+-=；（2）30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
【解析】（1）由题意知，曲线1C 的直角坐标方程为22412x y y +-=．设点(),P x y ''，(),Q x y ．
由中点坐标公式得26
2x x y y
'=-⎧⎨'=⎩，代入22412x y y +-=中，得点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程为
()
()2
2
314x y -+-=．
（2）直线l 的普通方程为y ax =
≤304
a ≤≤
， 即实数a 的取值范围是30,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2f x x a x =++-．
（1）当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围． 【答案】（1）]
[(),43,-∞-+∞；（2）[]2,0-．
【解析】（1）当3a =时，()2135
32 212x x f x x x x --≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪+≥⎩
，当3x ≤-时，由()7f x ≥得217x --≥， 解得4x ≤-；当32x -<<时，()7f x ≥无解；当2x ≥时，由()7f x ≥得217x +≥，解得3x ≥， 所以()7f x ≥的解集为]
[(),43,-∞-+∞．
（2）()4f x x ≤-等价于42x a x x +≤---当[]0,2x ∈时，
42x a x x +≤---等价于22a x a --≤≤-，由条件得20a --≤且22a -≥，即20a -≤≤．
故满足条件的a 的取值范围为[]2,0-．
【湖南省2019届高三毕业班调研联考文数试题用稿】。