特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项

特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项
一、（一阶线性递推式）
设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即
0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.
证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c
d
x -=
作换元,0x a b n n -=则.)(110011
n n n n n n cb x a c c
cd
ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--
当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;1
1-=n n c b b
当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）
例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23
111=∈--=+a n a a n n 求.n a
解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.211
23,1101=+=≠a b x a
数列}{n b 是以31
-为公比的等比数列.于是：
.N ,)3
1
(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n
例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。

当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？
解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数，即则必须.5
3601i
x a +-== 二、（二阶线性递推式）
定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02
=--q px x ，叫做数
列{}n a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1
211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1
211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为1
1)(-+=n n x B A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1
1)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

例3：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。

解法一（待定系数、迭加法）由025312=+-++n n n a a a ，得)(3
2
112n n n n a a a a -=
-+++，
且a b a a -=-12。

则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，3
2
为公比的等比数列， 于是：1
1)
3
2)((-+-=-n n n a b a a 。

把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入，得：
a b a a -=-12，)32()(23⋅-=-a b a a ，∙∙∙，21)3
2
)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加，得：
])3
2()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(3
21)32
(11
a b n ---=
-。

a b b a a a b a n n n 23)3
2
)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，b a a a ==21,的特征方程是：
02532=+-x x 。

32,121=
=x x ,∴1
211--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-⋅+=n B A 。

又由b a a a ==21,，于是：⎩⎨
⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1
)3
2)((323--+-=n n b a a b a
三、(分式递推式)
定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h
ra q
pa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为
常数，且r
h a r qr ph -
≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h rx q px x ++=.
（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ，则
,N ,1∈+=
n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r
n a b n λ
λ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在；（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ时，则1
1
2--=
n n n c c a λλ，,N ∈n 其中
).(,N ,)(211
212111λλλλλ≠∈----=
-a n r
p r p a a c n n 其中
例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,3
24
,N 1++=
∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.
解:依定理作特征方程,3
24
++=
x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有：
∴.N ,)5
1(521∈-=-n c n n ∴.N ,1)5
1(521
)51
(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n n
n λλ 即.N ,)
5(24
)5(∈-+--=n a n
n n 例5．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3
25
131+-=
+n n n a a a
（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？
解：作特征方程.3
25
13+-=
x x x 变形得,025102=+-x x
特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λ
λr p r
n a b n --+-=
)1(11
令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在，当n ≤4，N ∈n 时，5
17
51--=+=n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8
1
1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=
λλ
令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,743
558
1111
∈++=+-+
=+=
n n n n b a n
n λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，则有.N ,8
1
51)1(111∈-+-=--+-=
n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得
N ,1
13
51∈--=
n n n a 且n ≥2.
∴当1
13
51--=
n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知：当1a 在集合3{-或,:1
13
5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在.
定理3证明：(分式递推问题)：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h
ra q
pa a n n n ++=+1（其
中p 、q 、r 、h 均为常数，且r
h a r qr ph -
≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h rx q px x ++=.
（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ，则
,N ,1∈+=
n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r
n a b n λ
λ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则1
1
2--=
n n n c c a λλ，,N ∈n 其中
).(,N ,)(211
212111λλλλλ≠∈----=
-a n r
p r p a a c n n 其中
证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换N ,∈-=n a d n n λ， 则λλ-++=
-=++h ra q pa a d n n n n 11h
ra h q r p a n n +-+-=λλ)(h d r h
q r p d n n ++-+-+=)())((λλλλ
λ
λλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=
]
)([)(2① ∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r h
r q
p λλλλ
将该式代入①式得.N ,)
(1∈-+-=+n r
h rd r p d d n n n λλ②
将r p x =
代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,r
p
≠于是.0≠-r p λ③
当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ 当01≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：
.1)(11
r
p r
d r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=
+④
由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r h
p -=λ
∴,122=++=---+=-+h p p h r
r
h p p r
r h p h r p r h λλ
将此式代入④式得
.N ,111
∈-+=
+n r p r d d n n λ令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n r
p r b b n n λ故数列
}{n b 是以
r
p r
λ-为公差的等差数列.
∴.N ,)1(1∈-⋅
-+=n r
p r
n b b n λ其中.11111λ-==
a d
b 当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1∈+=
+=n b d a n n n λλ当存在,N 0∈n 使00=n b 时，λλ+=+=0
001n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的.
再证明定理的第（2）部分如下：
∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令.12a ≠λ于是可作变换
.N ,2
1
∈--=
n a a c n n n λλ
故21111λλ--=
+++n n n a a c ，将h
ra q
pa a n n n ++=+1代入再整理得
N ,)()(22111∈-+--+-=
+n h
q r p a h
q r p a c n n n λλλλ⑤
由第（1）部分的证明过程知r p x =
不是特征方程的根，故.,21r
p r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：
N ,2211211
∈--+
--+
⋅--=+n r
p h q a r p h
q a r
p r p c n n n λλλλλλ⑥
∵特征方程h
rx q px x ++=
有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2
=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ，而方程
xr
p xh q x --=
-与方程0)(2
=---q p h x rx 又是同解方程.
∴
222111,λλλλλλ-=---=--r
p h
q r p h q
将上两式代入⑥式得
当,01=c 即11λ≠a 时，数列}{n c 是等比数列，公比为r
p r
p 21λλ--.此时对于N ∈n 都有
当01=c 即11λ=a 时，上式也成立. 由2
1
λλ--=
n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n
所以.N ,1
1
2∈--=
n c c a n n n λλ(证毕)
注:当qr ph =时,
h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,h
ra q
pa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不
再赘述.
求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径. 1.已知数列{}n a 满足1n n n a a b a c a d
+⋅+=⋅+......①其中*
0,,c ad bc n N ≠≠∈.
定义1:方程ax b
x cx d
+=
+为①的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为,αβ. 定理1:若1,a αβ≠且αβ≠,则
11n n n n a a a c a a c a αα
αβββ
++---=⋅---.
定理2:若1a αβ=≠且0a d +≠,则
1121
n n c a a d a αα
+=+-+-.
例1（09·江西·理·22）各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有
(1)(1)(1)(1)
p q m n
m n p q a a a a a a a a ++=
++++. (1)当14
,25
a b =
=时,求通项n a ;(2)略. 例2已知数列{}n a 满足*11
1
2,2,n n a a n N a -==-
∈,求通项n a . 例3已知数列{}n a 满足1112
2,(2)21
n n n a a a n a --+==
≥+，求数列{}n a 的通项n a
例4已知数列{}n a 满足*1121
2,()46
n n n a a a n N a +-==
∈+，求数列{}n a 的通项n a
2.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+②其中12,c c 为常数,且*
20,c n N ≠∈.
定义2:方程2
12x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ.
定理3:若12λλ≠,则1122n n
n a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足11122
22
21122
a b b a b b λλλλ=+⎧⎨
=+⎩. 定理4:若12λλλ==,则12()n
n a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122
212
()(2)a b b a b b λ
λ=+⎧⎨=+⎩. 例5已知数列{}n a 满足*
12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 例6已知数列{}n a 满足*
12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a
例7:已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===-,求通项n a .。