第五章债券价格波动性

期数
1-5 6 总计
现金流 现值
权重
0
0
0
100
74.6215 1
74.6215 1
时间式
久期规则
Rule 1 其他因素不变，票面利率越低，息票 债券的久期越长：票面利率越高，早 期现金流现值越大，权重越高，因此 时间加权平均值也就是久期越低。就 是说短时间权重大，因此均值低。与 前面票面利率越低利率敏感性越高一 致
久期与价格波动的关系
久期与价格波动的关系
• 与债券的到期时间相比久期能够更准确 度量价格对利率的敏感性
• 价格的利率敏感性对于债券组合利率风 险管理是非常重要的
• 到期时间相同的两个债券如果票面利率 不同显然也会具有不同的利率敏感性
• 然而，久期相等时，不论票面利率如何 ，两个债券的利率敏感性都是相通的
• 久期同时考虑了票面利率和到期时间
B 6.5040 7.1062
C 8.1444 9.1960
债券组合基点价格值
• 先得到每一种债券基点价格值，然后加总
每张债券基点价格值 持有量 每种债券基点价格值 债券组合基点价格值
A 0.0406
100 4.06
B 0.0680
300 20.40 110.96
C 0.0865 1000 86.50
间越短则债券溢价或者折价的幅度越小 • 价格=本金现值+利息现值 • 临近到期日，息票支付减少，息票现值
降低，本金现值增加。折价债券本金现 值增加超过息票利率的减少，价格上升 ；溢价债券相反，价格下降。
• 面值100，票面利率8%，一年支付一次 ，下次在一年之后，10年后到期。
• 收益率为6%情形，溢价债券：
的加权平均） • 是债券组合管理的基本概念，尤其是在免疫策略
的应用中
久期
• 到期期限不能很好地衡量债券的实际期限
• 需要考虑利息额的大小 • 计算平均值: “有效期限”
• (Macaulay) 久期: 现金流发生时间的加权平均值,
权重为各现金流的现值占所有现金流现值总和 的比重 :
Duration: Calculation
剩余期限 10
价格
114.72
5 108.42
1 101.89
0（到期日） 100
• 收益率为10%情形，折价债券：
剩余期限 10
价格
87.71
5 92.42
1 98.18
0（到期日） 100
债券价格波动性的特点
1、价格的利率敏感性与债券的票面利率具有反 向关系。其他因素相同时，低票面利率债券比 高票面利率债券价格的利率敏感性更强。 2、价格的利率敏感性与债券的到期时间长短具 有正向关系。其他因素相同时，长期债券比短 期债券价格的利率敏感性更强。 3、随着到期时间的增长，价格的利率敏感性增 加，但是增加得越来越慢。
– 上例中，收益率从8%降到6%时，A、B和C三债券 的价格分别变为108.53、114.88和119.60，变动百 分比分别为8.53%、14.88%和19.60%。如下表所示
6%（降低） 8.53% 10%（升高） 7.72%
14.88% 12.46%
19.60% 15.37%
– 从上表中可以看出，收益率的变动对债券价格的 影响是不对称的。
wt CF t (1 y )t
T
D t wt
t 1
P rice
CFt Cash Flow for period t
久期计算例子
• 例5-11 面值100，息票率8%，三年期限
，半年一次，下次半年之后。到期收益
率为10%。注意单位是半年
期数
现金流 现值
权重
时间权 重乘积
1
4
3.8095 0.0401 0.0401
A
B
票面利率（%） 8
10
面值
100
100
信用评级
AA
AA
到期时间
10
10
收益率（%）
8
8
价格
100.00
113.59
• 收益率上升到10%，新价格和变化率
价格 价格波动（%）
87.54 -12.46
100 -11.96
票面利率的大小与利率风险
• 其他因素相同，票面利率越低，利率风 险越大.零息债券的利率风险最大！
–
YTM
8% 8% 8%
–
价格
100 100 100
– 收益率增加到10%
–
新价格:
92.28 87.54 84.63
–
%Price change:
-7.72% -12.46 -15.37
– 如果是无限期债券，则变化更大。假设债券D除了期限是无 穷之外都与上述债券相同，则收益率从8%到10%时，价格由 100变为80，下降20%！
债券价值和收益率的关系
• 债券价格和收益率反方向变动 • 例子:
– 息票率6% – 面值 = $1,000; 到期日: 2009年9月15日 – 支付日: 4月15日, 9月15日 – 半年利息=(6% of $1,000)/2=$30 – 现在是2002年10月15日
该债券在2002年10月15日的价值
初始收益率与债券价格波动
– 其他因素不变时，初始收益率越低，债券价格的利率敏感性 越强：
– 市场利率水平越低时，债券价格的利率敏感性越强
– 到期收益率水平越低，债券价格的利率敏感性越强。
– ex.
A
B
–
息票率（%）
8
8
–
面值
100 100
–
信用评级
Aa Aa
–
到期时间
10 10
–
YTM（%）
8
10
价格变化较大情形
价格+1基点 价格-1基点
A 0.0405 0.0406
价格+10基点 价格-10基点
A 0.4045 0.4066
价格+100基点 价格-100基点
A 3.9564 4.1583
B 0.0679 0.0680
C 0.0864 0.0865
B 0.6765 0.6825
C 0.8594 0.8699
–
A
B
C
–
票面利息 ($)
80
80
80
–
面值
100
100 100
–
Moody's Rating
Aa Aa Aa
–
期限
5 yrs. 10 yrs. 15 yrs.
–
YTM
8% 8% 8%
–
价格
100 100 100
价格+1基点 价格-1基点
A 0.0405 0.0406
B 0.0679 0.0680
C 0.0864 0.0865
Price 1% 3% 5% 7% 9% 11% 13% 15%
$200 $150 $100
$50 $0
10% 8%
Rate
期限越长的债券价格的利率敏感性越大
– ex.
A
B
C
–
票面利息 ($)
80
80
80
–
面值
100
100 100
–
Moody's Rating
Aa Aa Aa
–
期限
5 yrs. 10 yrs. 15 yrs.
债券价格
债券价格和到期日之间的关系
• 随着到期日的临近，债券的价格趋向于 面值
125
115
6% Return
105
Price 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
95
85
10% Return
75
距到期日的年数
到期时间影响债券价格变化
• 临近到期时间，债券价格趋向面值 • 相同面值、票面利率、收益率，到期时
2
4
3.6281 0.0382 0.0764
3
4
3.4554 0.0364 0.1092
4
4
3.2908 0.0347 0.01388
5
4
3.1341 0.0330 0.1650
6
104
总计
77.9054 0.8176 4.9056
94.924.3 1
5.4351
例子 :久期 计算
• 面值100，3年期零息债券，收益率10%
债券价格波动性的特点（续）
4、收益率上升导致价格下跌的幅度比 等规模的收益率降低带来的价格上涨的 幅度小，这被称为价格波动的不对称性 。 5、价格的利率敏感性与债券的初始收益 率水平具有反向关系。其他因素相同时 ，债券的初始收益率较低时，价格的利 率敏感性更强。
价格和收益率关系
价格
收益率
Examples
债券风险
（1）利率风险； （2）违约风险（信用风险）； （3）通货膨胀风险； （4）提前偿还风险； （5）汇率风险； （6）流动性风险。
债券利率风险
•包括:价格(市场）风险;再投资风 险 •所有债券价格都受利率变化的影响 •对于高等级债券利率风险更重要 •本章重点介绍如何衡量债券价格变 化的波动性
收益率
5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5%
债券价格
1,058.46 1,028.73 1000.00
972.24 945.40 919.45 894.37 870.12 846.65 823.97
息票现值
3509.73 344.73 338.88 333.18 327.62 322.19 316.89 311.73 306.68 301.76
– 期限越长，债券价格对利率变化越敏感。
随着到期时间的增长，价格的 利率敏感性以递减的速度增加
• 上述A、B、C三种债券收益率增加2个百 分点，价格下降百分比分别为7.72、 12.46和15.37个百分点。
• 这三种债券的到期时间依次递增5年
• B比A波动大4.74个百分点，而C仅比B波 动大2.91个百分点
价格变化的收益值
• 价格变化一定数量时，收益率的变动值 • 教材5-10。
Duration 1
• 期限是影响利率风险的主要因素，但不是唯一的因素 • 久期（Duration）可以用来度量债券价格对利率的敏感性
• 类似于弹性的概念，久期等于价格变化百分比除以收益率 变化百分比：
D
P /P
(1 y) /(1 y)
–
价格
100 87.54
• 收益率上升：
收益率上升一个百分点 初始收益率
A -6.50% 8%
B -6.25% 10%
简单价格波动性衡量
• 基点价格值：收益率变化0.01%，债券价 格变化量
• 价格变化的绝对值 • 相对值称作价格变动百分比 • 价格变动百分比=基点价格值/初始价格
价格变化较小情形
Rule 2 到期收益率越低，久期越长：后期现 金流现值大，权重高。这与到期收益 率越低，利率敏感性越高是一致的
• Rule3 到期时间越长，久期越长。这与到期 时间越长，利率敏感性越高一致
• 久期并不一定总是随着到期时间的增长而增 长。
• 收益率很高的债券的久期可能会随着到期时 间的增长而减短
• 息票债券久期的增长速度小于到期时间增长 速度。到期时间增长1年，久期增长小于1年
面值现值
707.73 684.00 661.12 639.06 617.78 597.26 577.48 558.39 539.97 522.21
债券价格和收益率关系
• 债券价格和收益率反方向变化
$200 $150 $100 $50
$0 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 收益率
• 这可以通过现值公式推导得到
• 知道久期可以计算一定的收益率百分比导致的价格变化百 分比：
推导久期公式
久期
• 也叫麦考利久期（Macaulay） • 现金流时间的加权平均 • 权重是每次现金流的现值占总现金流（
价格）的比重 • 所有现金流的平均到期时间才是衡量普
通债券利率敏感性的准确指标
• 除零息债券之外，久期小于期限
• 利率敏感性增加速度随着到期时间的增 长而递减
债券期限长度和利率风险
• 债券期限越长，利率风险越大
Price
$250 $200 $150
10 Year 20 Year 5 Year
$100
$50
$0 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% Rate
债券价格波动的不对称性
– 收益率的下降比上升对债券价格影响更大
• 零息债券二者相等
浮动利率债券的久期
• 刚刚支付完利息的每个利息支付日，浮 动利率债券价值都等于面值
• 下一个利息支付日，价值等于面值加上 利息
• 等同于零息债券，该零息债券的期限等 于重新设定票面利率所经历的期限。
• 如果浮动利率的票面利率每年重新设定 一次，不管浮动利率债券本身期限多久 ，久期都是一年
• 零息债券久期等于期限
• 特殊债券久期大于期限，原因是对于利 率变化非常敏感
• 本质上是对利率敏感性的度量，而不是 一种期限
久期的计算方法
• 根据定义，不同情况具体计算，注意简 化公式，注意单位
久期重要的原因
• 度量债券利率风险的准确指标 • 可用于比较不同息票率、收益率和期限的债券的
利率风险 • 度量债券的有效期限（每一个现金流的到期期限
Bond Coupon Maturity Initial YTM
A 10% 5 years 9% B 10% 20 years 9% C 4% 20 years 9% D 4% 20 years 5%
0
A
B
C
价格的利率敏感性比较
D
票面利率大小与债券价格波动
• A、B两种债券，半年付息一次，下次再
半年之后，资料如下：