不量尺寸的几何──拓扑学

不量尺寸的几何──拓扑学
拓扑学的由来
几何拓扑学是十九世纪构成的一门数学分支，它属于几何学的范围。

有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。

那时分发现一些孤立的效果，后来在拓扑学的构成中占着重要的位置。

在数学上，关于哥尼斯堡七桥效果、多面体的欧拉定理、四色效果等都是拓扑学开展史的重要效果。

哥尼斯堡〔今俄罗斯加里宁格勒〕是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。

十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸结合起来。

人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。

这个效果看起来很复杂有很幽默的效果吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。

看来要失掉一个明白、理想的答案还不那么容易。

1736年，有人带着这个效果找到了事先的大数学家欧拉，欧拉经过一番思索，很快就用一种共同的方法给出了解答。

欧拉把这个效果首先简化，他把两座小岛和河的两岸区分看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。

那么这个效果就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。

经过进一步的剖析，欧拉得出结论──不能够每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。

并且给出了一切可以一笔画出来的图形所
应具有的条件。

这是拓扑学的〝先声〞。

在拓扑学的开展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。

这个定理内容是：假设一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。

依据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个幽默的理想：只存在五种正多面体。

它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

著名的〝四色效果〞也是与拓扑学开展有关的效果。

四色效果又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里离开一家科研单位搞地图着色任务时，发现了一种幽默的现象：〝看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国度都被着上不同的颜色。

〞
1872年，英国事先最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个效果，于是四色猜想成了世界数学界关注的效果。

世界上许多一流的数学家都纷繁参与了四色猜想的大会战。

1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人区分提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。

但后来数学家赫伍德以自己的准确计算指出肯普的证明是
错误的。

不久，泰勒的证明也被人们否认了。

于是，人们末尾看法到，这个貌似容易的标题，其实是一个可与费马猜想
相媲美的难题。

进入20世纪以来，迷信家们对四色猜想的证明基本上是依照肯普的想法在停止。

电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。

1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判别，终于完成了四色定理的证明。

不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们以为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

下面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的效果，但这些效果又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。

这些就是〝拓扑学〞的先声。

什么是拓扑学？
拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研讨地形、地貌相相似的有关学科。

我国早期曾经翻译成〝情势几何学〞、〝延续几何学〞、〝一对一的延续变换群下的几何学〞，但是，这几种译名都不大好了解，1956年一致的«数学名词»把它确定为拓扑学，这是按音译过去的。

拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、平面几何不同。

通常的平面几何或平面几何研讨的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。

拓扑学关于研讨对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和
数量关系都有关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，假设完全重合，那么这两个图形叫做全等形。

但是，在拓扑学里所研讨的图形，在运动中无论它的大小或许外形都发作变化。

在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、外形都可以改动。

例如，前面讲的欧拉在处置哥尼斯堡七桥效果的时分，他画的图形就不思索它的大小、外形，仅思索点和线的个数。

这些就是拓扑学思索效果的动身点。

拓扑性质有那些呢？首先我们引见拓扑等价，这是比拟容易了解的一个拓扑性质。

在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。

比如，虽然圆和方形、三角形的外形、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。

以下图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。

在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们衔接起来，这样球面就被这些线分红许多块。

在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。

普通地说，关于任不测形的闭曲面，只需不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。

应该指出，环面不具有这特性质。

比如像以下图那样，把环
面切开，它不至于分红许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，关于这种状况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。

所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。

在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。

但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。

这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个正面。

拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在引见。

拓扑学树立后，由于其它数学学科的开展需求，它也失掉了迅速的开展。

特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为剖析函数论的基础，愈加促进了拓扑学的停顿。

二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的相貌。

拓扑学的研讨就变成了关于恣意点集的对应的概念。

拓扑学中一些需求准确化描画的效果都可以运用集合来论述。

由于少量自然现象具有延续性，所以拓扑学具有普遍联络各种实践事物的能够性。

经过拓扑学的研讨，可以说明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。

本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研讨愈加深化，提出了许多全新的
概念。

比如，分歧性结构概念、笼统距概念和近似空间概念等等。

有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研讨取线、曲面等在一点左近的弯曲状况，而拓扑学是研讨曲面的全局联络的状况，因此，这两门学科应该存在某种实质的联络。

1945年，美籍中国数学家陈省身树立了代数拓扑和微分几何的联络，并推进了全体几何学的开展。

拓扑学开展到明天，在实际上曾经十分清楚分红了两个分支。

一个分支是侧重于用剖析的方法来研讨的，叫做点集拓扑学，或许叫做剖析拓扑学。

另一个分支是侧重于用代数方法来研讨的，叫做代数拓扑。

如今，这两个分支又有一致的趋向。

拓扑学在泛函剖析、李群论、微分几何、微分方程额其他许少数学分支中都有普遍的运用。