江苏省无锡市2021年中考数学试题真题(Word版+答案+解析)

江苏省无锡市2021年中考数学试卷
一、单选题
1.（2020七上·乌鲁木齐期末）−1
3 的相反数是（ ） A. 1
3 B. −1
3 C. 3 D. -3
2.（2017·隆回模拟）函数y= √x−2 的自变量x 的取值范围是（ ） A. x≠2 B. x ＜2 C. x≥2 D. x ＞2
3.（2021·无锡）已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 54，55
B. 54，54
C. 55，54
D. 52，55 4.（2021·无锡）方程组 {
x +y =5,x −y =3
的解是（ ） A. {x =2,y =3. B. {x =3,y =2. C. {x =4,y =1. D. {x =1,y =4. 5.（2021·无锡）下列运算正确的是（ ）
A. a 2+a =a 3
B. (a 2)3=a 5
C. a 8÷a 2=a 4
D. a 2⋅a 3=a 5 6.（2021·无锡）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.（2021·无锡）如图，D 、E 、F 分别是 △ABC 各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A. △BDE和△DCF的面积相等
B. 四边形AEDF是平行四边形
C. 若AB=BC，则四边形AEDF是菱形
D. 若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形
(m>0)的图象交于点8.（2021·无锡）一次函数y=x+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y=m
x
A(1,m)，且△AOB的面积为1，则m的值是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.（2021·无锡）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（）
A. 点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B. 点P是△ABC三条内角平分线的交点
C. 点P是△ABC三条高的交点
D. 点P是△ABC三条中线的交点
10.（2021·无锡）设P(x,y1)，Q(x,y2)分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有−1≤y1−y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”.则下列结论：
①函数y=x−5，y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；②函数y=x−5，y=x2−4x
在3≤x≤4上是“逼近函数”；③ 0≤x≤1是函数y=x2−1，y=2x2−x的“逼近区间”；④ 2≤x≤3是函数y=x−5，y=x2−4x的“逼近区间”.其中，正确的有（）
A. ②③
B. ①④
C. ①③
D. ②④
二、填空题
11.（2020八上·朝阳期末）分解因式：2x3−8x=________．
12.（2021·无锡）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步.目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科学记数法可表示为________.
13.（2021·无锡）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________.
14.（2021·无锡）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：________.
15.（2021·无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米.
16.（2021·无锡）下列命题中，正确命题的个数为________.
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
17.（2021·无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2√2，AC=6，点E在线段AC 上，且AE=1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF=________.
18.（2021·无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C 的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点，且CB=3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P(x,y)(x>0)，写出y关于x的函数表达式为：________.
三、解答题
19.（2021·无锡）计算：
（1）|−1
2
|−(−2)3+sin30°；
（2）4
a −a+8
2a
.
20.（2021·无锡）
（1）解方程：(x+1)2−4=0；
（2）解不等式组：{−2x+3≤1,
x−1<x
3
+1.
21.（2021·无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO.
求证：
（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC=∠OCB.
22.（2021·无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”.
23.（2021·无锡）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高.为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：
某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表
某企业员工参加健身锻炼次数的扇形统计图
（1）表格中a=________；
（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？
24.（2021·无锡）如图，已知锐角△ABC中，AC=BC.
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
，⊙O的半径为5，则sinB=________.（如需画草图，请使用图（2）在（1）的条件下，若AB=48
5
2）
25.（2021·无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB 切⊙O于点B.
（1）求证：∠PBA=∠OBC；
（2）若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求证：△OAB∽△CDE.
26.（2021·无锡）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品.现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3.当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件.
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
27.（2021·无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=−x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y=ax2+2x+c的图象于点E.
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标.
28.（2021·无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°，设BE=m.
（1）如图1，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，
①当m=1
时，求线段CF的长；
3
②在△PQE′中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式.
答案解析部分
一、单选题 1.【答案】 A
【考点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】根据相反数的意义知： −1
3 的相反数是 1
3 . 故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可求解. 2.【答案】 D
【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围 【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数x ﹣2≥0，解得x≥2； 根据分式有意义的条件，x ﹣2≠0，解得x≠2． 所以，x ＞2．故选D ．
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 3.【答案】 A
【考点】中位数，众数
【解析】【解答】解：58，53，55，52，54，51，55从小到大排序后：51，52，53，54，55，55，58， 中间一个数为54，即中位数为54， 55出现次数最多，即众数为55， 故答案为：A.
【分析】中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数；众数：是一组数据中出现次数最多的数据；据此求解即可. 4.【答案】 C
【考点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： {
x +y =5①
x −y =3② ， ①+②，得：2x=8，解得：x=4， ①-②，得：2y=2，解得：y=1， ∴方程组的解为： {x =4
y =1 ，
故答案为： C.
【分析】利用加减消元法解方程组即可. 5.【答案】 D
【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方
【解析】【解答】解：A. a2+a，不是同类项，不能合并，故该选选错误，
B. (a2)3=a6，故该选项错误，
C. a8÷a2=a6，故该选项错误，
D. a2⋅a3=a5，故该选项正确，
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法分别计算，然后判断即可. 6.【答案】A
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.
7.【答案】C
【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝1
2AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝1
2
AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；∴△BDE∽△BCA，△CDF∽△CBA
∴S△BDE=1
4S△BCA，S△CDF=1
4
S△BCA，
∴△BDE和△DCF的面积相等，故A正确；∵AB=BC，
∴DF＝1
2
AB=AE，
∴四边形AEDF不一定是菱形，故C错误；
∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线定理可得ED∥AC，且ED＝1
2AC＝AF，DF∥AB，且DF＝1
2
AB＝AE，可证四
边形AEDF一定是平行四边形，由∠A=90°，可证四边形AEDF是矩形；根据平行线可证△BDE∽△BCA，
△CDF∽△CBA，利用相似三角形的性质可得S△BDE=1
4S△BCA，S△CDF=1
4
S△BCA，据此判断A、
B、D；由AB=BC，可得DF＝1
2
AB=AE，从而得出四边形AEDF不一定是菱形，据此判断C.
8.【答案】B
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】∵一次函数 y =x +n 的图象与x 轴交于点B ， ∴B(-n ，0)，
∵ △AOB 的面积为1，一次函数 y =x +n 的图象与反比例函数 y =m x
(m >0) 的图象交于点
A(1,m) ，
∴ {1
2
×|n|×m =1
1+n =m
，
∴ n 2+n −2=0 或 n 2+n +2=0 ，解得：n=-2或n=1或无解， ∴m=2或-1（舍去）， 故答案为：B.
【分析】先求出B(-n ，0)，将点A(1,m)代入y =x +n 中得m=n+1①， 由△AOB 的面积为1可得
12
×|n|×m =1
②，联立①②求出m 值即可.
9.【答案】 D
【考点】三角形的角平分线、中线和高，勾股定理，二次函数y=ax^2+bx+c 的性质 【解析】【解答】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，
则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，
设P(x ，y)，则 PA 2+PB 2+PC 2 = x 2+y 2+(x −6)2+y 2+x 2+(y −8)2 = 3x 2+3y 2−12x −16y +100 = 3(x −2)2+3(y −8
3)2+
2003
，
∴当x=2，y= 8
3 时，即：P(2， 8
3 )时， PA 2+PB 2+PC 2 最小， ∵由待定系数法可知：AB 边上中线所在直线表达式为： y =−8
3x +8 ， AC 边上中线所在直线表达式为： y =−2
3x +4 ，
又∵P(2， 8
3 )满足AB 边上中线所在直线表达式和AC 边上中线所在直线表达式， ∴点P 是 △ABC 三条中线的交点， 故答案为：D.
【分析】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，设P(x ，y)， 可求出PA 2+PB 2+PC 2 = x 2+y 2+(x −6)2+y 2+x 2+(y −8)2=3(x −2)2+3(y −8
3)2+
2003
， 从而得出当
x=2，y= 8
3 时，即：P(2， 8
3 )时， PA 2+PB 2+PC 2 最小，利用待定系数法求出AB 边上中线所在直线表达式、AB 边上中线所在直线表达式，由于P(2， 8
3 )满足AB 边上中线所在直线表达式和AC 边上中线所在直线表达式，据此判断即可. 10.【答案】 A
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：①∵ y 1=x −5 ， y 2=3x +2 ，
∴ y 1−y 2=(x −5)−(3x +2)=−2x −7 ，当 1≤x ≤2 时， −11≤y 1−y 2≤−9 ， ∴函数 y =x −5 ， y =3x +2 在 1≤x ≤2 上不是“逼近函数”； ②∵ y 1=x −5 ， y 2=x 2−4x ，
∴ y 1−y 2=(x −5)−(x 2−4x)=−x 2+5x −5 ，当 3≤x ≤4 时， −1≤y 1−y 2≤1 ， 函数 y =x −5 ， y =x 2−4x 在 3≤x ≤4 上是“逼近函数”； ③∵ y 1=x 2−1 ， y 2=2x 2−x ，
∴ y 1−y 2=(x 2−1)−(2x 2−x)=−x 2+x −1 ，当 0≤x ≤1 时， −1≤y 1−y 2≤−3
4 ， ∴ 0≤x ≤1 是函数 y =x 2−1 ， y =2x 2−x 的“逼近区间”； ④∵ y 1=x −
5 ， y 2=x 2−4x ，
∴ y 1−y 2=(x −5)−(x 2−4x)=−x 2+5x −5 ，当 2≤x ≤3 时， 1≤y 1−y 2≤5
4 ，
∴ 2≤x ≤3 不是函数 y =x −5 ， y =x 2−4x 的“逼近区间”. 故答案为：A
【分析】 根据当 a ≤x ≤b 时，总有 −1≤y 1−y 2≤1 恒成立， 则称函数 C 1 ， C 2 在 a ≤x ≤b 上是“逼近函数”， a ≤x ≤b 为“逼近区间”，据此逐一判断即可. 二、填空题
11.【答案】 2x(x +2)(x −2)
【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【解析】【解答】解： 2x 3−8x
=2x(x 2−4)
=2x(x +2)(x −2) ，
故答案为： 2x(x +2)(x −2) ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可。

12.【答案】 3.2×108
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：320000000=3.2×108 ， 故答案是：3.2×108.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此解答即可.
13.【答案】50
3
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】∵扇形的弧长= 120π×50
180=100π
3
，
∴圆锥的底面半径= 100π
3÷2π= 50
3
.
故答案是：50
3
.
【分析】根据扇形的弧长等于此扇形围成圆锥底面周长，据此求解即可.
14.【答案】y=−1
x
（答案不唯一）
【考点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数图象在第二、四象限且关于原点对称，
∴函数可以是反比例函数且比例系数小于0，
∴函数表达式可以是：y=−1
x
（答案不唯一）.
故答案是：y=−1
x
（答案不唯一）.
【分析】根据反比例函数的性质可得k＜0，据此写出函数即可（答案不唯一）.
15.【答案】10√2
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
设BC=x，则AB=7x，
由题意得：x2+(7x)2=1002，解得：x= 10√2，
故答案为：10√2.
【分析】设BC=x，则AB=7x，根据勾股定理建立方程，求出x值即可.
16.【答案】①
【考点】相似图形
【解析】【解答】解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：①.
【分析】根据相似多边形的定义逐一判断即可. 17.【答案】 2
3√6
【考点】勾股定理，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：过点F 作FM ⊥AC 于点M ，
∵将四边形 ABDE 沿直线 DE 翻折，得到四边形 FGDE ，当点G 恰好落在线段 AC 上， ∴FG= AB =2√2 ，∠EFG= ∠BAC =90° ，EF=AE=1， ∴EG= √12+(2√2)2=3 ，
∵∠FEM=∠GEF ，∠FME=∠GFE=90°， ∴ △FME ∽△GFE ， ∴
EM EF
=
EF EG =
MF FG
=1
3
， ∴ EM =1
3EF = 1
3 ， MF =1
3FG =2
3√2 ， ∴AM=AE+EM= 4
3 ，
∴ AF = √AM 2+MF 2=√(43)2+(23√2)2=23√6 .
故答案是： 2
3√6 .
【分析】过点F 作FM ⊥AC 于点M ，根据折叠的性质可得FG= AB =2√2 ，∠EFG= ∠BAC =90° ，EF=AE=1，由勾股定理求出EG=3，证明△FME ∽△GFE ， 可得EM
EF =EF
EG =MF FG
=1
3
， 从而求出EM 、
MF 、AM 的长，利用勾股定理求出AF 即可. 18.【答案】 y =8
3x 2
【考点】相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：过点A 作AN ⊥y 轴，过点B 作BM 垂直y 轴，则BM ∥AN ，
∴△CBM∽△CAN，∵CB=3AC，
∴AN
BM =AC
CB
=1
3
，
设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则{a2=−ka+b
9a2=3ka+b ，解得：{
k=2a
b=3a2，
∴直线AB的解析式为：y=2ax+3a2，∴C(0，3a2)，
∵P为CB的中点，
∴P( 3
2
a，6a2)，
∴{x=3 2 a
y=6a2，即：y=8
3
x2，
故答案是：y=8
3
x2.
【分析】过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，可证△CBM∽△CAN，可得AN
BM
=
AC CB =1
3
，设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)，利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=2ax+3a2，从而求
出点C(0，3a2)，由中点坐标公式可得P( 3
2
a，6a2)，据此即得结论.
三、解答题
19.【答案】（1）解：原式= 1
2−(−8)+1
2
=9；
（2）解：原式= 8
2a −a+8
2a
= 8−a−8
2a
= −a
2a
= −1
2
.
【考点】实数的运算，分式的加减法，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质、乘方、特殊角三角函数值先简化，再进行加减运算即可；（2）先通分化为同分母，利用同分母分式减法法则计算即可.
20.【答案】（1）解：(x+1)2−4=0，
(x+1)2=4，
x+1=2或x+1=-2，
∴x1=1，x2=-3；
（2）解：{−2x+3≤1①
x−1<x
3+1②
，
又①得：x≥1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解为：1≤x＜3.
【考点】直接开平方法解一元二次方程，解一元一次不等式组【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）先求出每一个不等式的解集，再求出其公共部分即可.
21.【答案】（1）证明：在△ABO与△DCO中，
∵{
AB=DC
∠ABO=∠DCO
∠AOB=∠DOC
，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；
（2）证明：∵△ABO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
【考点】等腰三角形的性质，三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据AAS可证△ABO≌△DCO；
（2）由△ABO≌△DCO可得OB=OC，由等边对等角可得∠OBC=∠OCB.
22.【答案】（1）解：画树状图如下：
∵一共16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，
∴P(取出的2张卡片数字相同)=4÷16= 1
；
4
（2）解：根据第（1）题的树状图，可知：一共16种等可能的结果，至少有1张卡片的数字为“3”有7种，∴P(少有1张卡片的数字为“3”)=7÷16= 7
.
16
【考点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）利用树状图列举出一共16种等可能的结果，其中取出的2张卡片数字相同的结果有4种，然后利用概率公式计算即可；
（2）由（1）知一共16种等可能的结果，其中至少有1张卡片的数字为“3”有7种，然后利用概率公式计算即可.
23.【答案】（1）42
（2）解：c=200-10-42-68-24-6=50，d=50÷200×100％=25％，
补全扇形统计图如下：
（3）解：1500×(0.34+0.25+0.12+0.03)=1110（人），
答：估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1110人.
【考点】用样本估计总体，频数（率）分布表，扇形统计图
【解析】【解答】（1）解：由扇形统计图可知：b=0.21，a=200×0.21=42，
故答案是：42；
【分析】（1）根据B 组所占百分比为21%，即可求出a 值；
（2）先求出频数c ，利用c 除以样本容量，再乘以100%即得d 值，然后补图即可； （3）利用1000乘以参加健身锻炼超过10次的员工的频数之和即得结论.
24.【答案】 （1）解：如图所示：
（2）4
5
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作图-角的平分线，作图-线段垂直平分线 【解析】【解答】解：（2）连接OA ，
∵ AC =BC ， ∠ACB 的平分线 CD ， ∴AD=BD= 1
2AB =1
2×
485
=
245
，CD ⊥AB ，
∵ ⊙O 的半径为5，
∴OD= √OA 2−AD 2=√52−(24
5)2=7
5 ，
∴CD=CO+OD=5+ 7
5 =
325
，
∴BC= √BD 2+CD 2=√(245)2+(325)2=8 ， ∴ sinB = CD BC
=
32
5
8
=45 .
故答案是： 4
5 .
【分析】（1） 利用尺规作图作∠ACB 的平分线 CD ，再作线段AC 的垂直平分线交CD 于一点O ，以O 为圆心、OC 为半径作⊙O 即可；
（2）连接OA ，利用等腰三角形的性质可得AD=BD= 1
2AB =245
， 利用勾股定理求出OD 、CD 、BC ，由
sinB = CD
BC 计算即得结论.
25.【答案】 （1）证明：∵ AC 是 ⊙O 的直径， ∴∠ABC=90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°，
∴∠PBA+∠ABO=∠OBC+∠ABO=90°，
∴∠PBA=∠OBC；
（2）证明：∵∠PBA=20°，∠PBA=∠OBC，
∴∠OBC=20°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=20°，
∴∠AOB=20°+20°=40°，
∵OB=OA，
∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，
∴∠ADB= 1
2
∠AOB=20°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=90°-20°=70°，
∴∠CDE=∠OAB，
∵∠ACD=40°，
∴∠ACD=∠AOB=40°，
∴△OAB∽△CDE.
【考点】圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理且切线的性质可得∠ABC=90°，∠OBP=90°，从而可得∠PBA+∠ABO=∠OBC+∠ABO=90°，根据余角的性质即得结论；
（2）由三角形外角的性质得出∠AOB=∠ACB+∠OBC=40°，从而得出∠AOB=∠ACD，由圆周角定理可得∠CDE=∠OAB，根据两角分别相等可证△OAB∽△CDE.
26.【答案】（1）解：设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，
由题意得：600
4x +1275−600
3x
=25，解得：x=15，
经检验：x=15是方程的解，且符合题意，
∴15×4=60（元），15×3=45（元），
答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；
（2）解：设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为1275−60m
45=85−4m
3
件，
∵4≤m≤10，且85−4m
3
为整数，m为整数，∴m=4，7，10，
答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件.
【考点】分式方程的实际应用，一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，根据“购买一、二等奖奖品25件”列出方程，求解并检验即可；
=由购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，列出不等式组，求出其整数解即可.
27.【答案】（1）解：∵直线y=−x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B(3，0)，C(0，3)，
∵二次函数y=ax2+2x+c的图象过B、C两点，
∴{3=c
0=9a+6+c，解得：{c=3
a=−1，∴二次函数解析式为：y=−x2+2x+3；
（2）解：∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y轴，
∴OB=OC，
∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，EF
AB =CF
CB
或CF
AB
=EF
CB
，
设F(m，-m+3)，则E(m，−m2+2m+3)，
∴EF= −m2+2m+3-(-m+3)= −m2+3m，CF= √(0−m)2+(3+m−3)2=√2m，
∴−m2+3m
4=√2m
3√2
或√2m
4
=2
3√2
，
∴m=5
3或m=0（舍去）或m=3
2
或m=0（舍去），
∴EF= −m2+3m= 20
9或9
4
；
（3）解：∵l∥y轴，点N是y轴上的点，
∴∠EFC=∠NCG，
∵点N、F关于直线EC对称，
∴∠CNE=∠EFC，
∴∠CNE=∠NCG，
∴NE∥FC，
∴四边形NCFE是平行四边形，
∵点N、F关于直线EC对称，
∴∠NCE=∠FCE，
∵l∥y轴，
∴∠NCE=∠FEC，
∴∠FCE=∠FEC，
∴FE=FC，
∴−m2+3m= √2m，解得：m=3−√2或m=0（舍去），
∴CN=EF= 3√2−2，
∴ON= 3√2−2+3= 3√2+1，
∴N(0，3√2+1).
【考点】待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由y=−x+3求出B、C坐标，将B、C坐标代入二次函数解析式中，求出a、c 即可；
（2） 以C 、E 、F 为顶点的三角形与 △ABC 相似时分两种情况： EF AB ==据此分别求解即可；
（3）证明四边形NCFE 是平行四边形，根据轴对称的性质及平行线的性质求出∠FCE=∠FEC ，可得FE=FC ，据此建立方程，从而求出CN 、ON ，即得点N 坐标.
28.【答案】 （1）解：①过点F 作FM ⊥BC ，交BC 的延长线于点M ，
∵在等腰直角三角形 AEF 中， ∠AEF =90° ，AE=FE ，在正方形 ABCD 中，∠B=90°， ∴∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB ， ∴∠BAE=∠FEM ， 又∵∠B=∠FME ， ∴ △ABE ≅△EMF ， ∴FM=BE= 1
3 ，EM=AB=BC ， ∴CM=BE= 13 ，
∴CF= √(1
3)2+(1
3)2=√2
3
；
②∵∠BAE=∠FEC ，∠B=∠ECP=90°， ∴ △BAE ∼△CEP ， ∴ CP
BE =CE
AB ，即： CP m
=
1−m 1
，
∴CP= m −m 2 ，
把 △ADQ 绕点A 顺时针旋转90°得 △ABG ，则AG=AQ ，∠GAB=∠QAD ，GB=DQ ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，即：∠GAE=∠EAF=45°，
∵∠ABG=∠ABE=90°，
∴B 、G 、E 三点共线，
又∵AE=AE ，
∴ △GAE ≅△∠EAQ ，
∴EQ=EG=GB+BE=DQ+BE ，
∴在 Rt △CEQ 中， CE 2+CQ 2=QE 2 ，即： (1−m)2+(1−DQ)2=(m +DQ)2 ，
∴DQ= 1−m 1+m ，
∴EQ= DQ+BE= 1−m 1+m +m=
1+m 21+m ，QP=1- 1−m 1+m -( m −m 2 )= m 3+m 1+m ， ∴ S △QPE =12QP ×CE =12QE ⋅ℎ ，即： m 3+m 1+m
×(1-m)= 1+m 21+m ×h ， ∴ ℎ=−m 2+m = −(m −12)2+14 ，即m= 12 时，h 最大值= 14 ；
（2）解：以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则E(m ，0)，A(0，1)，
∵直线m 过AB 的中点且垂直AB ，
∴直线m 的解析式为：x= 12 ，
过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，由（1）可知： △ABE ≅△EMF ，即FM=BE ，EM=AB ，
∴F(1+m ，m)，
设AE 的解析式为：y=kx+b ，
把E(m ，0)，A(0，1)代入上式，得 {0=km +b 1=b ，解得： {k =−1m b =1
， ∴AE 的解析式为：y= −1m x+1，
同理：AF 的解析式为：y= m−1m+1 x+1，EF 的解析式为：y=mx-m 2 ，
①当0≤m≤ 12 时，如图，G( 12 ， 3m+12m+2 )，N( 12 ， 12 m-m 2)，
∴y= 3m+12m+2 -( 12 m-m 2)= 2m 3+m 2+2m+12m+2
， ②当m ＞ 12 时，如图，G( 12 ， 3m+12m+2 )，N( 12 ，
2m−12m )， ∴y= 3m+12m+2 - 2m−12m = m 2+1
2m 2+2m ，
综上所述： y ={2m 3+m 2+2m+12m+2(0≤m ≤12)m 2+12m 2+2m
(m >12) . 【考点】三角形全等的判定，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）①过点F 作FM ⊥BC ，交BC 的延长线于点M ，证明△ABE ≅△EMF ， 可得FM=BE
= 13 ，EM=AB=BC ， 从而可得 ， 利用勾股定理求出CF 即可；
② 证明△BAE ∼△CEP ， 利用相似三角形的性质可得CP= m −m 2 ， 把 △ADQ 绕点A 顺时针旋转90°得 △ABG ， 则AG=AQ ，∠GAB=∠QAD ，GB=DQ ，可得B 、G 、E 三点共线，证明
△GAE ≅△∠EAQ ， 可得EQ=EG=GB+BE=DQ+BE ， 在 Rt △CEQ 中，CE 2+CQ 2=QE 2 ，据此可
S△QPE=1
2QP×CE=1
2
QE⋅ℎ，可得ℎ=−m2+m=−(m−1
2
)2+1
4
，利用二次函数的性质求解即
可；
（2）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，求出
F(1+m，m)，分别气促胡直线m、直线AE、直线AF的解析式，分两种情况：①当0≤m≤1
2
时，②当
m＞1
2
时，利用m的式子分别表示出G、N的坐标，从而求出结论即可.。