2020届高考数学二轮教师用书：第四章第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例

]第3
节　平面向量的数量积与平面向量应用举例
1．向量的夹角及范围：已知两个非零向量a 和b ，作＝a ，＝b ，如图所示，则OA → OB
→ ∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．设θ是向量a 与b 的夹角，则θ的范围是[0，π]，a 与b 同向时，夹角θ＝0；a 与b 反向时，夹角θ＝
π.
2．平面向量的数量积及几何意义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则向量a 与b 的数量积是数量|a ||b |·cos θ，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.它的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积．
3．平面向量数量积的性质及其坐标运算：已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a 、b 的夹角.
向量表示
坐标表示数量积a ·b ＝|a ||b |cos θa ·b ＝　x 1x 2＋y 1y 2　模|a |＝
a ·a |a |＝ x 2
1＋y 21夹角cos θ＝a ·b
|a ||b |cos θ＝x 1
x 2＋y 1y 2
x 2
1＋y 21·x 2＋y 2a ⊥b 的充要条件
a ·
b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝　0
|a ·b |与|a ||b |的关系
|a ·b |≤|a ||b
|(当且仅当a ∥b 时等号成
立)
|x 1x 2＋y 1y 2|≤·x 2
1＋y 21x 2＋y 24平面向量数量积的运算律：已知向量a 、b 、c 和实数λ，则(1)交换律：a ·b ＝b ·a ；
(2)结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；(3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .
　利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )(3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( )(4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是
.( )
[0，
π
2]答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×[小题查验]
1．(2015·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( )A ．－1 B ．0C ．1
D ．2
解析：C [因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，得(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，选C.]
2．(2019·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，则|a －b |＝( )A. B ．2 2C ．5
D ．50
2解析：A [a －b ＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a －b |＝＝.]
(－1)2＋1223．已知|a |＝4，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 方向上的投影为( )
A ．2 B.3
2
C ．－2
D ．－32
解析：D [b 在a 方向上的投影为|b |cos 120°＝－.故选D.]
3
24．(教材改编)已知|a |＝，|b |＝2，a 与b 的夹角为30°，则|a －b |＝　________　.3答案：1
5．(2019·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)，则cos 〈a ，b 〉＝　________　.解析：本题考点为平面向量的夹角，为基础题目，难度偏易．不能正确使用平面向量坐
标的运算致误，平面向量的夹角公式是破解问题的关键．cos 〈a ，b 〉＝＝
a ·b
|a ||b |
＝－.2×(－8)＋2×
622＋22×
(－8)2＋622
10答案：－2
10
考点一　平面向量的数量积运算(自主练透)
[题组集训]
1．(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
解析：B [因为a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B.]2．(2019·全国Ⅱ卷)已知＝(2,3)，＝(3，t )，||＝1，则·＝( )AB → AC → BC → AB
→ BC → A ．－3
B ．－2
C ．2
　D ．3
解析：C [∵＝－＝(1，t －3)，
BC
→ AC → AB → ∴||＝＝1，解得t ＝3，＝(1,0)，BC → 12＋(t －3)2BC → ∴·＝2.]AB
→ BC →
向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.
易错警示：(1)在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a
≠0)，则不一定得到b ＝c .
(2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )．
考点二　利用数量积求向量夹角和模(多维探究)
数学运算——平面向量数量积运算中的核心素养
解决平面向量数量积中的模的最值(范围)问题时，常常借助于平面几何图形的性质，先建立适当的坐标系，然后将问题坐标化，再运用数学运算解决相关问题．
[命题角度1]　平面向量的模　
1．(1)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝　________　.
解析：|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以|a ＋2b |＝2.3答案：23
(2)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为　________　.
解析：建立如图所示的直角坐标系，由题意知a ⊥b ，且a 与b 是单位向量，∴可设＝a ＝(1,0)，＝b ＝(0,1)，＝c ＝(x ，y )，
OA → OB → OC
→ ∴c －a －b ＝(x －1，y －1)．∵|c －a －b |＝1，
∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，即点C (x ，y )的轨迹是以点M (1,1)为圆心，1为半径的圆．而|c |＝，∴|c |的最大值为|OM |＋1，即|c |max ＝＋1.x 2＋y 22答案：＋12　
(1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a |＝及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的a ·a 运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
[命题角度2]　平面向量的夹角　
2．(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量＝，＝，则∠ABC ＝( )BA → (12，3
2)BC
→ (32，12)
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
解析：A [||＝1，||＝1，cos ∠ABC ＝＝.由〈，〉∈[0°，180°]，得BA → BC → BA
→ ·BC →
|BA → ||BC → |3
2BA
→ BC → ∠ABC ＝30°.]
(2)(2019·全国Ⅰ卷)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A. B.π6π3C.
D.2π35π6
解析：B [∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0.即a ·b ＝|b |2；∴cos 〈a ，b 〉＝＝＝.
a ·b
|a |·|b ||b |2
2|b |·|b |1
2故〈a ，b 〉＝，故选B.]
π3根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝(夹角公式)，可知平面向a ·b
|a ||b |量的数量积可以用来解决有关角度问题．
提醒：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
考点三　平面向量的垂直及应用
[典例]　(1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8 B ．－6C ．6
D ．8
[解析]　D [由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.]
(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝　________　.[解析]　由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.[答案]　－2
(3)在直角三角形ABC 中，已知＝(2,3)，＝(1，k )，则k 的值为　________　.AB → AC
→ [解析]　①当A ＝90°时，∵⊥，∴·＝0.
AB → AC → AB
→ AC → ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－.2
3②当B ＝90°时，∵⊥，
AB
→ BC → 又＝－＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，BC
→ AC → AB → ∴·＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0，
AB
→ BC → 解得k ＝.11
3③当C ＝90°时，
∵⊥，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0，
AC
→ BC → 即k 2－3k －1＝0.∴k ＝
.
3±13
2
[答案]　－或或
.
2
311
33±132
两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.[跟踪训练]
已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2k,3)，且a ⊥(2a ＋b )，则实数k 的值为( )A ．－8 B ．－2C ．1.5
D ．7
解析：A [因为2a ＋b ＝(2,4)＋(2k,3)＝(2＋2k,7)，又a ⊥(2a ＋b )，a ＝(1,2)，所以2＋2k ＋14＝0，解得k ＝－8.]
1．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝，|a －b |＝，则a ·b ＝( )106A ．1 B ．2 C ．3
D ．5
解析：A [由已知得|a ＋b |＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得a ·b ＝1.]
2．(2020·玉溪市一模)已知a 与b 的夹角为，a ＝(1,1)，|b |＝1，则b 在a 方向上的投影π
3为( )
A. B.2262C.
D.1232
解析：C [根据题意，a 与b 的夹角为，且|b |＝1，则b 在a 方向上的投影|b |cos ＝.]
π
3π
31
23．已知D 是△ABC 所在平面内一点，且满足(－)·(－)＝0，则△ABC 是( )BC
→ CA → BD → AD → A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
解析：A [(－)·(－)＝(－)·＝0，所以·＝·，设
BC → CA → BD → AD → BC → CA → BA → BC
→ BA → CA → BA → BC ＝a ，AC ＝b ，所以a cos B ＝b cos A ，利用余弦定理化简得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形．]
4．(2020·重庆市模拟)如图，在圆C 中，弦AB 的长为4，则·＝( )
AB
→
AC → A ．8 B ．－8C ．4
D ．－4
解析：A
[如图所示，
在圆C 中，过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点；
在Rt △ACD 中，AD ＝AB ＝2，可得cos A ＝＝，
1
2AD
AC 2
|AC
→ |
∴·＝||×||×cos A ＝4×||×＝8.故选A.]
AB → AC → AB → AC → AC
→ 2
|AC → |5．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是AB 的中点，点E 是对角线AC 上的动点，则·的最大值为( )
DE
→ FC → A ．1 B ．2C ．3
D ．4
解析：B [以A 为坐标原点，、方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标AB
→ AD → 系(图略)，则F (1,0)，C (2,2)，D (0,2)，设E (λ，λ)(0≤λ≤2)，则＝(λ，λ－2)，＝(1,2)，DE → FC
→ 所以·＝3λ－4≤2.
DE
→ FC → 所以·的最大值为2.故选B.]
DE
→ FC → 6．设向量a ＝(1,3m )，b ＝(2，－m )，满足(a ＋b )·(a －b )＝0，则m ＝　________　.解析：向量a ＝(1,3m )，b ＝(2，－m )，则a ＋b ＝(3,2m )，a －b ＝(－1,4m )，由
(a ＋b )·(a －b )＝0，得－3＋8m 2＝0，解得m ＝±.
6
4答案：±6
4
7．(2020·内江市一模)已知正方形ABCD 的边长为2，则·(＋)＝　________　.AB
→ AC → AD → 解析：正方形ABCD 的边长为2，
·(＋)＝·(＋2)＝2＋2·＝4.
AB → AC → AD → AB → AB → AD → AB → AB → AD
→ 答案：4
8．已知a ＝(1，λ)，b ＝(2,1)，若向量2a ＋b 与c ＝(8,6)共线，则a 在b 方向上的投影为　________　.
解析：2a ＋b ＝(4,2λ＋1)，
∵2a ＋b 与c ＝(8,6)共线，∴2λ＋1＝3，即λ＝1.∴a ·b ＝2＋λ＝3，
∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝＝＝a ·b
|b |3535
5
答案：355
9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值；(3)求向量a 在b 方向上的投影．解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0·a ＝0.
(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a ＋λb 与a 垂直，
∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.
5
2∴λ的值为.
52(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.
∴|a |cos θ＝＝
a ·b
|b |1×2＋2×(－2)
22＋(－2)2
＝－＝－.
2
22
2
210．已知如图，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠BAC ＝120°，且·＝－.
AB → AC
→ 15
2(1)求△ABC 的面积；(2)若AB ＝5，求AD 的长．
解：(1)∵||·||＝－，∴||·||·cos ∠BAC ＝－||·||＝－，AB → AC → 152AB → AC → 12AB → AC
→ 15
2即||·||＝15，
AB
→ AC →
∴S △ABC ＝||·||sin ∠BAC 1
2AB → AC → ＝×15×＝.
1
232153
4(2)法一：由AB ＝5得AC ＝3，延长AD 到E ，使AD ＝
DE ，连接BE .
∵BD ＝DC,
∴四边形ABEC 为平行四边形，∴∠ABE ＝60°，且BE ＝AC ＝3.
设AD ＝x ，则AE ＝2x ，在△ABE 中，由余弦定理得：(2x )2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos ∠ABE ＝25＋9－15＝19，
解得x ＝，即AD 的长为.19
219
2法二：由AB ＝5得AC ＝3，
在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝25＋9＋15＝49，得BC ＝7.
由正弦定理得＝，
BC
sin ∠BAC AB
sin ∠ACD 得sin ∠ACD ＝＝＝.
AB sin ∠BAC
BC
5×
32
7
5314∵0°<∠ACD <90°
∴cos ∠ACD ＝＝.
1－sin2∠ACD 11
14在△ADC 中，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos ∠ACD ＝9＋－2×3××＝，
49
47211
1419
4解得AD ＝.
19
2法三：由AB ＝5得AC ＝3，
在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝25＋9＋15＝49,
得BC ＝7.
在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 2
2AC ·BC ＝＝.
9＋49－252×3×71114在△ADC 中，由
AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos ∠ACD
＝9＋－2×3××＝.
494721114194解得AD ＝.192。