2015年江苏省徐州市中考一模数学试卷(解析版)

2015年江苏省徐州市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共有8小题．每小题3分，共24分．在每小题所给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣的倒数是（）
A．B．﹣2C．2D．﹣
2．（3分）下列计算错误的是（）
A．3﹣＝2B．x2•x3＝x6C．﹣2+|﹣2|＝0
D．（﹣3）﹣2＝
3．（3分）如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列说法正确的是（）
A．“打开电视机，它正在播广告”是必然事件
B．“一个不透明的袋中装有8个红球，从中摸出一个球是红球”是随机事件
C．为了了解我市今年夏季家电市场中空调的质量，不宜采用普查的调查方式进行
D．销售某种品牌的凉鞋，销售商最感兴趣的是该品牌凉鞋的尺码的平均数5．（3分）下列图形中阴影部分的面积相等的是（）
A．②③B．③④C．①②D．①④
6．（3分）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
7．（3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（）
A．πB．2πC．D．4π
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（2，3）为顶点任作一直角∠P AQ，使其两边分别与x轴、y轴的正半轴交于点P、Q，连接PQ，过点A 作AH⊥PQ于点H，设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共有10小题．每小题3分，共30分．不需要写出解答过
程，请把答案直接写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．
10．（3分）我国第一艘航母“辽宁舰”的最大排水量为68050吨，用科学记数法表示这个数字是吨．
11．（3分）因式分解：x3﹣xy2＝．
12．（3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，P A切⊙O 于A点，则P A＝．
13．（3分）圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为cm2．14．（3分）小明从市环境监测网随机查阅了若干天的空气质量数据作为样本进行统计，分别绘制了如图的条形统计图和扇形统计图，根据图中提供的信息，可知扇形统计图中表示空气质量为优的扇形的圆心角的度数为．
15．（3分）如图，E的矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点．若∠AEB＝55°，求∠DAF ＝°．
16．（3分）在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，＝＝，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是cm．
17．（3分）点A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，则y1﹣y20（填“＞”或“＜”）．
18．（3分）平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是个．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域作答，解答
时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：+（π﹣3）0﹣tan45°；
（2）计算：（）．
20．（10分）（1）解方程：3x（x﹣2）＝2（2﹣x）；
（2）解不等式组：．
21．（7分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE＝DF．求证：AE＝CF．
22．（7分）八（2）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：
（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是队．
23．（8分）在某班“讲故事”比赛中有一个抽奖活动，活动规则是：只有进入最后决赛的甲、乙、丙三位同学，每人才能获得一次抽奖机会．在如图所示的翻奖牌正面的4个数字中选一个数字，选中后就可以得到该数字后面的相应奖品：前面的人选中的数字，后面的人就不能再选择数字
了．
（1）请用树状图（或列表）的方法求甲、乙二人得到的奖品都是计算器的概率．
（2）有的同学认为，如果甲先翻奖牌，那么他得到篮球的概率会大些，这种说法正确吗？请说明理由．
24．（8分）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用17600元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元．商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩下10件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商家共盈利多少元？
25．（8分）九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数．
（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度．
（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）．
备用数据：tan60°＝1.732，tan30°＝0.577，＝1.732，＝1.414．
26．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P 从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0≤t≤2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）M是PQ的中点，请直接写出点M运动路线的长．
27．（10分）【实际情境】
某中学九年级学生步行到郊外春游．一班的学生组成前队，速度为4km/h，二班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12km/h．
【数学研究】
若不计队伍的长度，如图，折线A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y（km）与后队行进时间x（h）之间的部分函数图象．
（1）求线段AB对应的函数关系式；
（2）求点E的坐标，并说明它的实际意义；
（3）联络员从出发到他折返后第一次与后队相遇的过程中，当x为何值时，他离前队的路程与他离后队的路程相等？
28．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△P AE的面积为S，求S与x之间的函数关系
式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
2015年江苏省徐州市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题．每小题3分，共24分．在每小题所给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣的倒数是（）
A．B．﹣2C．2D．﹣
【解答】解：﹣的倒数是﹣2．
故选：B．
2．（3分）下列计算错误的是（）
A．3﹣＝2B．x2•x3＝x6C．﹣2+|﹣2|＝0
D．（﹣3）﹣2＝
【解答】解：A、3﹣＝2，故A正确，
B、x2•x3＝x5，同底数幂相乘，底数不变指数相加，故B错误；
C、﹣2+|﹣2|＝0，﹣2+2＝0，故C正确；
D、（﹣3）﹣2＝＝，故D正确．
故选：B．
3．（3分）如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：从正面看，主视图为．
故选：C．
4．（3分）下列说法正确的是（）
A．“打开电视机，它正在播广告”是必然事件
B．“一个不透明的袋中装有8个红球，从中摸出一个球是红球”是随机事件
C．为了了解我市今年夏季家电市场中空调的质量，不宜采用普查的调查方式进行
D．销售某种品牌的凉鞋，销售商最感兴趣的是该品牌凉鞋的尺码的平均数【解答】解：A、是随机事件，故A错误；
B、是必然事件，故B错误；
C、调查对象大，适宜用抽查的方式，不宜用普查，故C正确；
D、销售商最感兴趣的是众数，故D错误；
故选：C．
5．（3分）下列图形中阴影部分的面积相等的是（）
A．②③B．③④C．①②D．①④
【解答】解：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；
②：直线y＝﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影＝×2
×2＝2；
③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S＝xy＝×4＝2；
④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三
角形是等腰直角三角形，其面积S＝×2×1＝1；
②③的面积相等，
故选：A．
6．（3分）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD，
∵AC＜BD，
∴△ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；
B、∵S△ABD＝S平行四边形ABCD，S△ABC＝S平行四边形ABCD，
∴△ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；
C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；
D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误；
故选：B．
7．（3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（）
A．πB．2πC．D．4π
【解答】解：∵S
阴影＝S
扇形ABA′
+S
半圆
﹣S
半圆
＝S
扇形ABA′
＝
＝2π．
故选：B．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（2，3）为顶点任作一直角∠P AQ，使其两边分别与x轴、y轴的正半轴交于点P、Q，连接PQ，过点A 作AH⊥PQ于点H，设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：①当点P与点O重合时，x＝0，y＝2．故可排除C选项；
②当点Q与点O重合时，y＝3．故可排除A选项；
③当x＝2，即AP∥x轴时，∵AH⊥PQ，
∴AH＜AQ＝2，即y＜2．故可排除B选项．
故选：D．
解法二：常规解法
设Q（0，q）．
∵∠BAQ+∠QAC＝∠CAP+∠QAC＝90°，
∴∠BAQ＝∠CAP．
又∠ABQ＝∠ACP，
∴△ABQ∽△ACP．
∴＝．
①若x＞2．则＝，
化简可得，q＝．
∵S
＝（2+x）×3﹣（3﹣q）×2﹣x×q
△APQ
S△APQ＝××y，
则（2+x）×3﹣（3﹣q）×2﹣x×q＝××y，整理，得
y＝（3﹣q）x+2q，
则y＝，
所以y＝2（x2﹣4x+13），
y＝＝
所以当x＝2时，y有最小值．
②若0＜x＜2，则＝，
化简可得，q＝．
同理，y＝＝
则在0＜x＜2范围内，y随x的增大而减小．
综上所述，只有D选项符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共有10小题．每小题3分，共30分．不需要写出解答过
程，请把答案直接写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠2．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
10．（3分）我国第一艘航母“辽宁舰”的最大排水量为68050吨，用科学记数法表示这个数字是 6.805×104吨．
【解答】解：将68050用科学记数法表示为6.805×104．
故答案为：6.805×104．
11．（3分）因式分解：x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y）．
【解答】解：x3﹣xy2
＝x（x2﹣y2）
＝x（x﹣y）（x+y）．
故答案为：x（x﹣y）（x+y）．
12．（3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，P A切⊙O 于A点，则P A＝4．
【解答】解：∵P A切⊙O于A点，
∴OA⊥P A，
在Rt△OP A中，OP＝5，OA＝3，
∴P A＝＝4．
故答案为：4．
13．（3分）圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为60πcm2．
【解答】解：圆锥的侧面积＝π×6×10＝60πcm2．
14．（3分）小明从市环境监测网随机查阅了若干天的空气质量数据作为样本进行统计，分别绘制了如图的条形统计图和扇形统计图，根据图中提供的信息，可知扇形统计图中表示空气质量为优的扇形的圆心角的度数为108°．
【解答】解：根据题意得：
随机查阅的总天数是：＝30（天），
优的天数是：30﹣18﹣3＝9（天），
则空气质量为优的扇形的圆心角的度数为：×360°＝108°；
故答案为：108°．
15．（3分）如图，E的矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点．若∠AEB＝55°，求∠DAF＝20°．
【解答】解：∵△ABE沿AE折叠到△AEF，
∴∠BAE＝∠F AE，
∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠F AE＝90°﹣35°﹣35°＝20°．
故答案为：20
16．（3分）在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，＝＝，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是8cm．
【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理，＝，
∴＝，
∵＝＝，AB为直径，
∴C′D为直径，
∴CM+DM的最小值是8cm．
故答案为：8．
17．（3分）点A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，则y1﹣y2＞0（填“＞”或“＜”）．
【解答】解：∵直线y＝kx+b的k＜0，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，﹣1＜3，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0．
故答案为：＞．
18．（3分）平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是800个．
【解答】解：第一个图形有2×12＝2个小菱形；
第二个图形有2×22＝8个小菱形；
第三个图形有2×32＝18个小菱形；
…
第n个图形有2n2个小菱形；
第20个图形有2×202＝800个小菱形；
故答案为：800．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域作答，解答
时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：+（π﹣3）0﹣tan45°；
（2）计算：（）．
【解答】解：（1）原式＝4+1﹣1＝4；
（2）原式＝﹣•
＝﹣•
＝﹣．
20．（10分）（1）解方程：3x（x﹣2）＝2（2﹣x）；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）3x（x﹣2）＝2（2﹣x），
3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x+2）＝0，
x﹣2＝0，3x+2＝0，
x1＝2，x2＝﹣；
（2）
∵解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为x＞﹣1．
21．（7分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE＝DF．求证：AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴180°﹣∠ABD＝180°﹣∠CDB，
即∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
22．（7分）八（2）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：
（1）甲队成绩的中位数是9.5分，乙队成绩的众数是10分；
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是乙队．
【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2＝9.5（分），
则中位数是9.5分；
乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，
则乙队成绩的众数是10分；
故答案为：9.5，10；
（2）乙队的平均成绩是：×（10×4+8×2+7+9×3）＝9，
则方差是：×[4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2]＝1；
（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，
∴成绩较为整齐的是乙队；
故答案为：乙．
23．（8分）在某班“讲故事”比赛中有一个抽奖活动，活动规则是：只有进入最后决赛的甲、乙、丙三位同学，每人才能获得一次抽奖机会．在如图所示的翻奖牌正面的4个数字中选一个数字，选中后就可以得到该数字后面的相应奖品：前面的人选中的数字，后面的人就不能再选择数字
了．
（1）请用树状图（或列表）的方法求甲、乙二人得到的奖品都是计算器的概率．（2）有的同学认为，如果甲先翻奖牌，那么他得到篮球的概率会大些，这种说法正确吗？请说明理由．
【解答】解：（1）所有获奖情况的树状图如下：
共有24种可能的情况，其中甲、乙二人都得到计算器共有4种情况，
所以，甲、乙二人都得计算器的概率为：P＝＝；
（2）这种说法是不正确的．由上面的树状图可知共有24种可能情况：
甲得到篮球有六种可能情况：P（甲）＝＝，
乙得到篮球有六种可能情况：P（乙）＝＝，
丙得到篮球有六种可能情况：P（丙）＝＝，
所以甲、乙、丙三人不管谁先翻奖牌得到篮球的概率都相等．
24．（8分）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用17600元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元．商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩下10件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商家共盈利多少元？
【解答】解：设第一批进货的单价为x元，则第二批进货的单价为（x+8）元，由题意得，×2＝，
解得：x＝80，
经检验；x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
则第一次进货100件，
第二次进货的单价为88元，第二次进货200件，
总盈利为：（100﹣80）×100+（100﹣88）×（200﹣10）+10×（100×0.8﹣88）
＝4200（元）．
答：在这两笔生意中，商家共盈利4200元．
25．（8分）九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数．
（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度．
（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）．
备用数据：tan60°＝1.732，tan30°＝0.577，＝1.732，＝1.414．
【解答】解：（1）∵BD＝BC，
∴∠CDB＝∠DCB，
∴∠α＝2∠CDB＝2×38°＝76°；
（2）如图2，设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，
过点E作EH⊥BF，垂足为点H，
∵MN∥EH，MN＝1.9，
∴EH＝2MN＝3.8（米），
∴E点离地面FB的高度是3.8米；
（3）如图3，延长AE交直线PB于点C，
设AE＝x，则AC＝x+3.8，
∵∠APB＝45°，
∴PC＝AC＝x+3.8，
∵PQ＝4，
∴CQ＝x+3.8﹣4＝x﹣0.2，
∵tan∠AQC＝＝tan60°＝，
∴＝，
x＝≈5.7，
∴AE≈5.7（米）．
答；旗杆AE的高度约是5.7米．
26．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P 从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0≤t≤2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）M是PQ的中点，请直接写出点M运动路线的长．
【解答】解：根据勾股定理得：BA＝；
（1）分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，＝，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
∴＝，解得，t＝1；
②当△BPQ∽△BCA时，＝，
∴＝，解得，t＝；
∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；
（2）过P作PF⊥BC于点F，AQ，CP交于点N，如答图1所示：
则PB＝5t，PF＝3t，FC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCF+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCF，
∵∠ACQ＝∠PFC，
∴△ACQ∽△CFP，
∴＝，
∴＝，解得t＝．
（3）点M运动路线的长是3cm．理由如下：
如答图2，连接PQ．仍有PF⊥BC于点F，PQ的中点设为M点，再作PE⊥AC 于点E，DH⊥AC于点H，
∵∠ACB＝90°，
∴MH为梯形PECQ的中位线，
∴MH＝，
∵QC＝4t，PE＝8﹣BF＝8﹣4t，
∴MH＝＝4，
∵BC＝8，过BC的中点R作直线平行于AC，
∴RC＝MH＝4成立，
∴M在过R的中位线上，
∴PQ的中点M在△ABC的一条中位线上运动，
∴点M的运动轨迹是△ABC的中位线，其长度为：AC＝×6＝3（cm）．
27．（10分）【实际情境】
某中学九年级学生步行到郊外春游．一班的学生组成前队，速度为4km/h，二班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12km/h．
【数学研究】
若不计队伍的长度，如图，折线A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分别表示后队、联络员在
行进过程中，离前队的路程y（km）与后队行进时间x（h）之间的部分函数图象．
（1）求线段AB对应的函数关系式；
（2）求点E的坐标，并说明它的实际意义；
（3）联络员从出发到他折返后第一次与后队相遇的过程中，当x为何值时，他离前队的路程与他离后队的路程相等？
【解答】解：（1）设线段AB对应的函数关系式为y1＝kx+b．根据题意，得
，
解得．
∴y1＝﹣2x+4；
（2）根据题意，得线段DE对应的函数关系式为
y2＝（12+4）（x﹣）＝16x﹣8．（3分）
当y1＝y2时，﹣2x+4＝16x﹣8，解得x＝．（4分）
把x＝代入y1＝﹣2x+4中，得y1＝，即点E的坐标为（，）．
点E的实际意义为联络员出发h后与后队相遇，此时他与前队的距离为km；（3）根据题意，得线段AD对应的函数关系式为y3＝k3x+b3，由题意，得
，
解得：
∴y3＝﹣8x+4．
分两种情况：
①y1＝2y3，即﹣2x+4＝2（﹣8x+4），解得x＝．
②y1＝2y2，即﹣2x+4＝2（16x﹣8），解得x＝．
综上，联络员从出发到他折返后第一次与后队相遇的过程中，当x为或时，他离前队的路程与他离后队的路程相等．
28．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△P AE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，
∴，
解得，
∴解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
∵﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．
（2）∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），
∴设AD为解析式为y＝kx+b，有，
解得，
∴AD解析式：y＝2x+6，
∵P在AD上，
∴P（x，2x+6），
＝•PE•y P＝•（﹣x）•（2x+6）＝﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），当x＝﹣∴S
△APE
＝﹣时，S取最大值．
（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3），
∴∠PFE＝∠P′FE，PF＝P′F＝3，PE＝P′E＝，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE＝∠FEN，
∵∠PFE＝∠P′FE，
∴∠FEN＝∠P′FE，
∴EN＝FN，
设EN＝m，则FN＝m，P′N＝3﹣m．
在Rt△P′EN中，
∵（3﹣m）2+（）2＝m2，
∴m＝．
∵S△P′EN＝•P′N•P′E＝•EN•P′M，
∴P′M＝．
在Rt△EMP′中，
∵EM＝＝，
∴OM＝EO﹣EM＝，
∴P′（，）．
当x＝时，y＝﹣（）2﹣2•+3＝≠，∴点P′不在该抛物线上．。