中科大概率统计课件--3.3条件分布

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第三章 随机变量及其分布
条件密度函数的性质
§3条件分布
性质 1对任意 x，的 有fXYxy0
性2 质fXYxydx 1
简言fX 之 Yxy， 是密度函数．
对于条件 fYXy 密 x也 度 有 函 类 数 似的
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第三章 随机变量及其分布
例 2 设随机变(X量 ,Y)的概率密度为 §3条件分布
x
0,
其它 .
目录
0
1
x
yx
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第三章 随机变量及其分布
例 2（续）
1
§3条件分布
dx 1 y, 0y1,
fY(y) f(x, y)dx
y
1
dx
y
1
y,
1y0,
y
yx
0,
其它 .
1| y|, | y|1
0
1
x
0,
其它.
yx
f(x,y)
(2) 当| y|1, fX |Y(x|y)fY(y)
fXY xyffxY， yy
2
1
12 1r2
e x 2 p 1 21 1 r2 x 1 r1 2y2 2 x
结论：二维正态 条分 件布 分的 布是一维 布,正 即态
N1r 1 2y2， 1 21 目录r2前一页
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例4 设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中
第三章 随机变量及其分布
§3 条件分布
• 条件分布列 • 条件分布函数 • 条件概率密度
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第三章 随机变量及其分布
一 、离散型随机变量的条件分布列
§3条件分布
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布列为 P(X= xi ,Y= yj )= pi j , i , j=1,2,...
liP m (X x |y Y y )
0
P(Xx,yYy) l i0 mP(yYy)
存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，
写成 P( X x |Y= y )，或记为 FX|Y(x|y).
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
P {X x ,yYy} F X |Y(x|y)l i0 m P {yYy}
例1 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击
到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标
所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次
数，试求 X 和 Y 的联合分布列以及条件分布列。 解： X的取1值 ，2， 是 ，
Y的取2， 值 3， 4 是 ， ； 并且 XY．
X ,Y 的联合分布列为 其 q 1 中 p
F(x,y)F(x,y)
l i0mFY(y)FY(y)
F (x, y)
lim [F(x,y)F(x,y)]/
0
l i0m [FY(y)FY(y)]/
d
F
y
yx
f
(u,v)dudv
dy
x
f (u, y)du
y
Y
.
fY ( y)
fY ( y)
(
y
)
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第三章 随机变量及其分布
P(X m ， Yn)q m 1pq n m 1pqn2p2
n2,3,; m 1 ,2 , ,n 1 .
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第三章 随机变量及其分布 例1（续）
X 的边缘分布列为
§3条件分布
P(Xm)P( Xm，Yn) p2 qn2
n
nm1
p2qm1 pqm1, 1q
m1,2,
f(x,y) 1 0,,|其 y|.x它 ,0x1,
目
1 , 1| y| 0,
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| y| x 1 其它。
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第三章 随机变量及其分布
例 2（续）
f(x,y) 1 0,,|其 y|.x它 ,0x1, fX(x)02,x,0其 x它 . 1
当 0x1,
f(x,y) fY|X(y|x) fX(x)
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第三章 随机变量及其分布
在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布列为 §3条件分布
当m=1,2,3,… 时，
P (Yn|Xm )P(Xm,Y n) P(X m)
p2qn2 pqnm1,
pqm1
nm1,m2,
P (X m )pm q 1 ,m 1 ,2 ,
P ( X m ， Y n ) q n 2 p 2 , n 2 , 3 , ; m 1 , 2 , n 1
D={(x,y),x2+y2≤1}, 试（ 1 求 ） fX (x： )f ,Y(y);
(2 )fX |Y(x|y)f ,Y |X (y|x );
解 (1)由题意得: f(x,y)1 x2 y2 1
0 其它
fX(x)
f(x,y)d
y
y Y 1x2 1X
当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,fX(x)=0
则X，Y的联合密度函数为
fx，y
1
2 12 1r2
ex p21 1r2 x 12122rx112y2y 2 222
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第三章 随机变量及其分布
又随机变Y的 量边缘密度函数为 §3条件分布
fY
y
1 2
y22
e 22 2
2
y
因 此 ， 对 y， fY任 y0 意 ，的
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二、条件分布函数 设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于
P (Y y ) 0 , 所P 以 (X x |Y y )无.意
因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。 定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ，
P( y < Y y + )>0, 若对于任意实数 x，极限
Y 的边缘分布列为
P(Yn) P(Xm,Yn)
n1 m
p2qn2 (n 1 )p 2 qn 2, n2,3,
m1
P ( X m ， Y n ) q n 2 p 2 , n 2 , 3 , ; m 1 , 2 , n 1
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第三章 随机变量及其分布
在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布列为 §3条件分布
当|x|≤1时,
fX ( x)
1 1x2 dy
1x2
2
1 x2
-1
y 1x2
所以, 同理,
2
fX(x)
1x2
, | x|1
0
， | x|1
2
fY(y)
1y2 , | y|1
0
， | y|1
P(Xxi |Yyj)
P(Xxi,Yyj) P(Y yj )
p ij , i 1,2, p•j
为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布列。
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第三章 随机变量及其分布
同样对于固定的 i, 若P(X= xi)>0, 则称
§3条件分布
P (Y y j|X x i) P (X P (X x i ,Y x i )y j) p p ii•j,j 1 ,2 ,
1 2x
,
0,
x y x, 其它。
(3)
P(X1|Y0)
P( X
1 2
,Y
0)
2
P(Y 0) y
yx
(1
1 2
)
1 2
2
3
1 11
4
01 1
x
2
2
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第三章 随机变量及其分布
例3
§3条件分布
设二维随 X， Y机 服变 从量 二元正态
X ， Y ~ N 1 ， 2 ， 1 2 ， 2 2 ， r
1, |y|x,0x1,
f(x,y) 0,
其.它
试 （ 1 ） f X ( 求 x )f Y , ( y ) ; ( 2 ) ： f X | Y ( x |y )f Y , |X ( y |x ) ;
1
(3)P(X |Y0).
2
解：
(1)
fX(x) f(x,y)dy
y
yx
x
dy 2 x, 0x1,
(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布列分别为：
P(Xxi)pi• pij, i1,2, j1
P (Yyj)p•j pij, j1,2, i1
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第三章 随机变量及其分布
由条件概率公式 P(A| B) P(AB) P(B)
自然地引出如下定义：
§3条件分布
定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定 的 j , 若P(Y= yj )>0, 则称
FX|Y(x|
y)
x f(u,y) d,u
fY(y)
§3条件分布
称为在条件Y= y下X的条件分布函数.
fX|Y(x|
y)
f(x,y) fY(y)
称为随 X在 机 Y变 y的量 条件 条件密下 度函的 数.
fYXyxffx X ， xy
称为随 Y在 机 Xx 变 的量 条件 条件密下 度函的 数.
为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布列。
条件分布列具有分布列的以下特性：
10 P( X= xi |Y= yj )0；
20
P(Xxi |Yyj)
i1
i1
p ij p•j
p• j p• j
1.
即条件分布列也是分布列。 目 录 前一页 后一页 退 出
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
当 n=2,3,… 时，
P(Xm |Yn) P(Xm,Yn)
P(Yn)
qn2p2
1
,
(n1)p2qn2 n1
m 1,2,,n1;
P ( Y n ) (n 1 )p 2 q n 2 ,n 2 ,3 , P ( X m ， Y n ) q n 2 p 2 , n 2 , 3 , ; m 1 , 2 , n 1