华夏女中整式乘法运算

提升专题3---整式运算
一、知识点回顾：1. 幂的运算；2. 多项式乘法；3.乘法公式：平方差，完全平方公式 二、典例学习： 例1：
1．若210n n +-=，则3222021n n ++=___ ______．． 2．已知2410x x -+=，则22
1
x x +
的值是 ． 3. 已知 1a ， 2a ，…， 2020a 都是正数，如果 M ＝（ 1a + 2a +…+ 2019a ）（ 2a + 3a +…+ 2020a ），N ＝（ 1a + 2a +…+ 2020a ）（ 2a + 3a +…+ 2019a ），那么 M ，N 的大小关系是（ ） A ．M ＞N
B ．M ＝N
C ．M ＜N
D ．不确定
4. 观察：()()2111x x x -+=-，()()
23
111x x x x -++=-，()()413211x x x x x -+++=-，据此规律，当
()()5432110x x x x x x -+++++=时，代数式20211x -的值为（ ）
A ．1
B ．0
C ．1或1-
D ．0或2-
5.阅读材料：若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值． 解：∵22228160m mn n n -+-+=，
∴()()222
28160m mn n n n -++-+=
∴()()22
40m n n -+-=， ∴()2
0m n -=，()2
40n -=，
∴4n =，4m =．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知2222690x xy y y -+++=，求xy 的值；
(2)已知a 、b 、c 分别为三角形ABC 的三边长，且满足22810410a b a b +--+=，若c 是三角形ABC 的最大边长，且c 为奇数，求三角形ABC 的周长．
例2：
6. 如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①、图②，已知大长方形的长为2a ，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（ ）（用a 的代数式表示）
A ．﹣a
B ．a
C ．﹣ 12 a
D ．1
2
a
7. 7张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．
（1）如图2，点E 、Q 、P 在同一直线上，点F 、Q 、G 在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为 （用含a 、b 的代数式表示），矩形ABCD 的面积为 （用含a 、b 的代数式表示）；
（2）如图3，点F 、H 、Q 、G 在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S ，PC ＝x ．当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，那么a 、b 必须满足什么条件？
8．如图，4张长为x ，宽为y （x ＞y ）的长方形纸片拼成一个边长为（x ＋y ）的正方形ABCD.
（1）用含x ，y 的代数式表示图中所有阴影部分面积的和；
（2）当正方形ABCD 的周长是正方形EFGH 周长的三倍时，求 x
y
的值；
（3）在（2）的条件下，用题目条件中的4张长方形纸片，m 张正方形ABCD 纸片和n 张正方形EFHG 纸片（m ，n 为正整数），拼成一个大的正方形（拼接时无空隙、无重叠），当m ，n 为何值时，拼成的大正方形的边长最小？
9．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方
形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影
部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，
S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．
（2）应用公式计算：．
（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．
10．如图所示，现有边长分别为b、a的正方形、邻边长为b和a（b＞a）的长方形硬纸板若干．
（1）请选择适当形状和数量的硬纸板，拼出面积为2b2+3ab+a2的长方形，画出拼法的示意图；
（2）从这三种硬纸板中选择一些拼出面积为8ab的不同形状的长方形，则这些长方形的周长共有4种不同情况；
（3）现有①类纸板1张，②类纸板4张，则应至少取③类纸板4张才能用它们拼成一个新的正方形；（4）已知长方形②的周长为20，面积为12，求小正方形①与大正方形③的面积之和．
11. 在求23456789
1666666666
+++++++++的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：23456789
1666666666
S=+++++++++……①然后在①式的两边都乘以6，得：2345678910
66666666666
S=+++++++++……②
②-①得10
661
S S
-=-，即10
561
S=-，所以
10
61
5
S
-
= .得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出2342018
1...
a a a a a
++++++的值?你的答案是（）
A．
20181
1
a
a
-
-
B．
20191
1
a
a
-
-
C．
20181
a
a
-
D．20191
a-
三、数学冲浪
1．当n 为自然数时，（n+1）2﹣（n ﹣3）2一定能被下列哪个数整除（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2. 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形【长为m （cm ），宽为n （cm ）】的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（ ）
A ．4m （cm ）
B ．4n （cm ）
C ．2（m+n ）cm
D ．4（m-n ）cm
3.在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b （ a b > ）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分面积为 1S ，图2中阴影部分面积为 2S .当 3AD AB -= 时， 21S S - 为 （用a,b
表示）
4. 若x 满足2310x x -+=，则221
x x
+
的值为 5.探究规律：2(1)(1)1x x x -+=- ；()23
(1)11x x x x -++=- ； ()
324(1)11x x x x x -+++=- ()
4325(1)11x x x x x x -++++=-，则算式0123202122222+++++L 值的个位数字为
6.“我们把多项式a 2
+2ab +b 2
及a 2
﹣2ab +b 2
叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解成几个因式乘积形式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解x 2
+2x ﹣3＝（x 2
+2x +1）﹣4＝（x +1）2
﹣4＝（x +1+2）（x +1﹣2）＝（x +3）（x ﹣1）；例如求代数式2x 2
+4x ﹣6的最小值，2x 2
+4x ﹣6＝2（x 2
+2x ﹣3）＝2（x +1）2
﹣8，可知当x ＝﹣1时，2x 2
+4x ﹣6有最小值，最小值是﹣8．根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）将下列式子分解成几个因式乘积的形式：m 2
﹣4m ﹣5＝ ． （2）求代数式x 2
+2x +4的最小值．
（3）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足a 2
+c 2
+2b （b ﹣a ﹣c ）＝0，试判断△ABC 的形状。