(北师大版)上海市高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(答案解析)

一、选择题
1．若直线y =kx +b (k 1>)是曲线y =lnx +2-e 的切线，也是y =1x e -的切线，则b
k
=（ ） A ．-1
B ．-2
C ．-e
D ．-
12
2．已知b 为正实数，直线y x a =+与曲线x b
y e +=相切，则2
a b
的取值范围是（ ）
A ．[),e +∞
B ．2[,)e +∞
C ．[2,)+∞
D ．[4,)+∞
3．函数f (x )＝22x x -+ 在点 (1，2) 处的切线方程为（ ） A ．x +y +1=0
B ．x -y -1=0
C ．x -y +1=0
D ．x +y -1=0
4．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（ ）
A ．3
B ．0
C ．2
D ．4
5．设a 为实数，函数()3
2
(1)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为（ ） A ．20x y +=
B ．20x y -=
C ．0x y -=
D ．0x y +=
6．函数22sin 22()([,0)(0,])133
x x f x x x ππ
=∈-+的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A ．'(3)'(4)(4)(3)f f f f <<-
B ．'(4)(4)(3)'(3)f f f f <-<
C ．'(4)'(3)(4)(3)f f f f <<-
D ．(4)(3)'(4)'(3)f f f f -<<
8．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ） A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2
9．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 014x 1＋log 2
014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为(
)
A ．－log 2 0142 013
B ．－1
C ．(log 2 0142 013)－1
D ．1
10．已知函数f(x)=x 2-ax 的图象在点A(1，f(1))处的切线l 与直线x+3y=0垂直，若数列
{1()
f n }的前n 项和为S n ，则S 2013的值为( ) A ．
2010
2011
B ．
2011
2012
C ．
2012
2013
D ．
2013
2014
11．下列导数运算正确的是
A ．()sin 'cos x x =-
B ．()
3'3x x
=
C ．()21log 'ln2x x =
⋅ D ．211'x x
⎛⎫
= ⎪⎝⎭ 12．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A ．2e
B ．e
C ．
1
ln 22
D ．2ln 2
二、填空题
13．曲线232ln y x x x =-+的切线中，斜率最小的切线方程为__________.
14．已知函数()3
2
21y f x x x x ==-++，过点()()
1,1A f 作()y f x =的切线l ，则直
线l 的方程为__________________.
15．在曲线()34
3x f x x
=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________.
16．若函数()()ln 2f x x =+的图象在点()00,P x y 处的切线l 与函数()x
g x e =的图象也
相切，则满足条件的切点P 的个数为______.
17．已知函数()()cos ,2,2223cos ,2,222x x k k k Z y x x k k k Z ππππππππ⎧⎡⎫∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣
⎭=⎨⎡⎫⎪-∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩
的图象与直线
()()20y m x m =+>恰有四个公共点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，
其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=___________. 18．曲线332y x x =
-+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是______
19．曲线12x y x e =++在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 20．已知()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式()3'(2)ln f x xf x =+，则(1)f '的值为
___．
三、解答题
21．已知曲线382y x x =-+ （1）求曲线在点0x =处的切线方程；
（2）过原点作曲线的切线:l y kx =，求切线方程. 22．已知函数图象上一点
，且在点处的切线与直线
平行． (1)求函数的解析式； (2)求函数
在区间
上的最大值和最小值；
(3)关于的方程在区间
上恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．
23．已知函数的图像过坐标原点，且在点
处
的切线斜率为.
(1) 求实数的值； (2) 求函数在区间
上的最小值；
(3) 若函数
的图像上存在两点
，使得对于任意给定的正实数都满足
是以
为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在轴上，求点的横坐标的取值范围.
24．已知函数()()
2
2
1f x 2
ax x lnx ax x =--
+. （a ∈R ）． （1）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（e ，f （e ）处的切线方程（e ＝2.718…） （2）已知x ＝e 为函数f （x ）的极值点，求函数f （x ）的单调区间．
25．设函数()3
f x x =的图象上一点()()
1,1P f 处的切线l 与()3
f x x =的图象的另一交点
为Q ．
（1）确定点Q 的坐标；
（2）求函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积． 26．已知函数3
21()4
f x x x x =
-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；
（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
直线()1y kx b k =+>与ln 2y x e =+-的切点为()11,ln 2x e x +-，与1x y e -=的切点为
()21
2
,x x e -，分别求出切线方程，由切线相同列出关于1x ，2
x 的方程组，解出方程即可得
出切线方程进而得结果. 【详解】
直线()1y kx b k =+>与ln 2y x e =+-的切点为()11,ln 2x e x +-， 与1
x y e
-=的切点为(
)21
2,x x e
-，
由ln 2y x e =+-的导数为1y x
'=，1
x y e -=的导数为1x y e -'=， 可得211
1
x k e x -=
=， ∴切线分别为()111
1
ln 2y x e x x x --+=
-和()22112x x y e e x x ---=-，
即11
1
ln 1y x x e x =
++-和()221121x x y e x e x --=+- 由于两切线相同，∴()221111
211ln 11x x e x x e e x --⎧=>⎪⎨⎪+-=-⎩，解得1
212x e x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
则切线为y ex e =-，∴k e =，b e =-，则1b
k
=-， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.
2．D
解析：D 【分析】
取导数为1计算得到切点为(),1b -，将切点代入直线，得到1b a =-+，换元利用均值不等式得到答案. 【详解】
x b y e +=，则'1x b y e +==，则x b =-，当x b =-，1y =，故切点为(),1b -，
将切点代入直线得到1b a =-+，(
)2
2
11224b a b b b b +==++≥=， 当1b =时等号成立.
故选：D. 【点睛】
本题考查了根据切线求参数，均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定
1b a =-+是解题的关键.
3．C
解析：C 【分析】 求出()'
f
x ，()'1f ，点斜式写出切线方程，再化为一般式，即得答案.
【详解】
()()2'2,21f x x x f x x =-+∴=-， ()'12111f ∴=⨯-=.
∴函数()f x 在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，
即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查直线的方程，属于基础题.
4．A
解析：A 【分析】
2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对
2()()g x x f x =求导取值可得.
【详解】
2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1
=(3)=
3
k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，
(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=
故选：A. 【点睛】
本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路
根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
5．C
解析：C 【分析】
求导得()f x ',根据()f x '是偶函数求解a ,再根据导数的几何意义求解曲线()y f x =在点
()()0,0f 处的切线方程即可.
【详解】
由题, ()()2
321f x x a x a '=--+,因为()f x '是偶函数且为关于x 的多项式,
故其奇次项()21a x --的系数()2101a a --=⇒=.
故()3f x x x =+,()2
31f x x ='+.
又()01f '=,()00f =,故曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为()010y x -=⋅-, 即0x y -=. 故选：C 【点睛】
本题主要考查根据奇偶性求参数值以及利用导数的几何意义求解切线方程的方法.属于中档题.
6．A
解析：A 【分析】
根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫ ⎪
⎝⎭
的正负，以及2f π⎛⎫
⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择. 【详解】
因为()221x sinx f x x =+，()221
x sinx
f x x -=-+，且定义域关于原点对称，
故()f x 是奇函数，排除选项C ；
因为2
2
20212f πππ⎛⎫ ⎪
⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，故排除选项D ；
因为()(
)()
()
2232
2
2121
xsinx x cosx x x sinx
f x x
++-=
+'，故可得22
0212f πππ⎛⎫
=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
'
故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线的斜率为正数，故排除选项B ； 故选：A. 【点睛】
本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.
7．B
解析：B 【分析】
根据导数的几何意义结合图象即可判断. 【详解】
解：由函数图象可知，函数单调递增，但函数的增长速度越来越缓慢，由导数的几何意义可知，()3f '表示函数在3x =处的切线l 的斜率；()4f '表示函数在4x =处的切线m 的斜率；()()()()434343
f f f f --=
-表示函数图象上()(
)3,3f 与()()
4,4f 两点连线n 的斜
率，由图可知l n m k k k >>，故(4)(4)(3)(3)f f f f ''<-< 故选：B
【点睛】
本题考查了学生的作图能力及对导数的几何意义的理解，属于基础题．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)， 则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =， 又由曲线()3
2f x x ax b =++，则()2
32f x x a '=+，
所以()2
13122f a '=⨯+=，解得12
a =-
，即()3
f x x x b =-+， 把点(1,4)代入()3
f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =，
所以144()422
a b +=⨯-+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9．B
解析：B 【解析】
由题意，求出y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程，取0y =，求得n x ，再利用对数的运算性质可得答案. 【详解】
由y ＝x n ＋
1，可得(1)n y n x =+'，即1
1x y n ='
=+
即曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+- 令0y =，得1
n n x n =
+ log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013=2014122013201412
2013
log ()log ()123
2014
x x x =⋅
=- 故选B 【点睛】
本题考查了曲线的切线方程和对数的运算，细心计算是解题的关键，属于中档题.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义求b ，然后通过数列{()
1
f n }的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出S 2013的值． 【详解】
∵f(x)=x 2-ax ，∴f′(x)=2x -a ，根据导数的几何意义， ∴y=f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率k=f′(1)=2-a ，
∵函数f(x)=x 2-ax 的图象在点A(1，f(1))处的切线l 与直线x+3y=0垂直， ∴()1213a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭
，∴a=-1，∴f(x)=x 2+x ，
∴f(n)=n 2+n=n(n+1)，∴()()1111
11
f n n n n n ==-++ , ∴2013111
1112013
11223
2013201420142014
S =-
+-++
-=-=. 故选D ． 【点睛】
本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，数列的求和．考查学生的综合能力．属于中档题．
11．C
解析：C 【分析】
根据基本导数公式判断即可．
()sin 'cos x x =，()3'3ln 3x
x
= ，()21log 'ln2x x =
⋅，'
211x x
⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故选C. 【点睛】
本题考查了基本导数公式，属于基础题
12．B
解析：B 【解析】
()()00ln 1,ln 12f x x f x x ''=+=+=,解得0x e =,故选B. 二、填空题
13．【分析】求出导函数由基本不等式求得最小值得最小的切线斜率及切点坐标然后可得切线方程【详解】由题意当且仅当且即时等号成立又时即斜率为1切点为切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查用基 解析：30x y --=
【分析】
求出导函数，由基本不等式求得最小值，得最小的切线斜率，及切点坐标，然后可得切线方程． 【详解】
由题意22232331y x x x x '=-+
=+-≥=，当且仅当22x x =且0x >，即
1x =时等号成立，又1x =时，2y =-，即斜率为1，切点为(1,2)-，切线方程为
21y x +=-，即30x y --=．
故答案为：30x y --=． 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查用基本不等式求最值，属于中档题．
14．或【分析】求出设切点为利用导数的几何意义得出解出最后由点斜式写出切线方程【详解】设切点为由得则整理得解得或则或所以直线的方程为或即或故答案为：或【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用属于中档题
解析：450x y +-=或1y = 【分析】
求出()1f ，设切点为()
3
2
0000,21x x x x -++,利用导数的几何意义得出
32
00025410x x x -+-=，解出0x ，最后由点斜式写出切线方程.
【详解】
()321121111f =-⨯++=
设切点为()
3
2
0000,21x x x x -++，由()2341f x x x '=-+得()2
000341f x x x '=-+
则
322
0000002113411
x x x x x x -++-=-+- 整理得()2
32
00000
125410102x x x x x ⎛⎫-+-=⇒--= ⎪⎝⎭
，解得012x =或01x = 则()01
4
f
x '
=-
或()00f x '= 所以直线l 的方程为1
1(1)4
y x -=-
-或1y =，即450x y +-=或1y = 故答案为：450x y +-=或1y = 【点睛】
本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.
15．【分析】求出原函数的导函数可得导函数的最小值求出使导函数取最小值的值即可得出结果【详解】解：由题意得当且仅当时取等号故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的斜率考查基本不等式求最值是中 解析：4
【分析】
求出原函数的导函数，可得导函数的最小值，求出使导函数取最小值的x 值，即可得出结果. 【详解】
解：由题意得,(
)2244f x x x '=+
≥=，
当且仅当x =. 故答案为：4. 【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的斜率，考查基本不等式求最值，是中档题.
16．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率和方程由两直线重合的条件解方程可得即可得到所求的个数【详解】解：函数的导数为可得点处的切线斜率为切线方程为函数的导数为设与相切的切点为可得切线斜率为切线方程为由题 解析：2
【分析】
求得函数()f x ，()g x 的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，解方程可得0x ，即可得到所求P 的个数． 【详解】
解：函数()(2)f x ln x =+的导数为1
()2
f x x '=+， 可得点0(P x ，0)y 处的切线斜率为01
2
x +， 切线方程为00001
(2)22
x y x ln x x x =
++-++， 函数()x g x e =的导数为()x g x e '=，设l 与()g x 相切的切点为(,)m n ， 可得切线斜率为m e ，切线方程为m m m y e x e me =+-， 由题意可得01
2m e x =+，000(2)2
m m x ln x e me x +-=-+， 可得
0000011(2)022
x x ln x x x ++-+=++，解得01x =-或2e -． 则满足条件的P 的个数为2， 故答案为：2． 【点睛】
本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及化简运算能力，属于中档题．
17．-1【分析】根据题意直线与曲线相切于点利用导数的几何意义可求【详解】由题意可知直线恒过且与曲线相切于点；如图由得所以即【点睛】本题主要考查导数的几何意义切线的斜率为切点处的导数值侧重考查逻辑推理的核
解析：-1 【分析】
根据题意直线()()20y m x m =+>与曲线相切于点D ，利用导数的几何意义可求. 【详解】
由题意可知，直线恒过()2,0-，且与曲线相切于点D ；如图，
由cos y x =-得sin y x '=，
4sin m x =，44cos (2)x m x -=+，
所以444cos sin (2)x x x -=+，即()442tan 1x x +=-. 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，切线的斜率为切点处的导数值，侧重考查逻辑推理的核心素养.
18．【解析】【分析】求得函数的导数得到进而得出在点处切线的斜率再利用斜率与倾斜角的关系即可求解【详解】由题意函数则即曲线上的任意一点处切线的斜率设直线的倾斜角为即又因为所以即曲线上的任意一点处切线的倾斜
解析：2[0,)(,)23
πππ 【解析】 【分析】
求得函数的导数，得到23y x =≥'P 处切线的斜率k ≥再利用斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【详解】
由题意，函数32y x =+，则23y x =≥'，
即曲线32y x =
+上的任意一点P 处切线的斜率k ≥
设直线的倾斜角为α，即tan α≥ 又因为[0,)απ∈，所以2[0,)(
,)2
3
π
π
απ∈，
即曲线32y x =
+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是
2[0,)(,)23
ππ
π． 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，再利用直线的斜率与倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
19．【解析】【分析】先根据导数几何意义求切线斜率得切线方程再求三角形面积【详解】因为所以与与两坐标轴交点为因此围成的三角形面积为【点睛】本题考查导数几何意义以及直线方程考查基本分析与运算能力属基础题
解析：32
【解析】 【分析】
先根据导数几何意义求切线斜率，得切线方程，再求三角形面积. 【详解】
因为12x y e '=+，所以03,320)3313(y k x y x e =-=-∴=++=， 与与两坐标轴交点为(1,0),(0,3)-，因此围成的三角形面积为1313.22
⨯⨯= 【点睛】
本题考查导数几何意义以及直线方程，考查基本分析与运算能力，属基础题.
20．【分析】】根据导数的计算公式求出令可得然后把x=1代入即可【详解】由可得：∴解得：∴故答案为【点睛】本题考查函数的导数的应用属基础题
解析：1
4
【分析】
】根据导数的计算公式求出()f x '，令2x =可得 ()124
f '=-， 然后把x=1代入即可. 【详解】
由()()3'2ln f x xf x =+，可得： ()()132f x f x
''=+， ∴()()12322f f ''=+
，解得： ()124f '=- ∴()()1
13214
f f +'='=. 故答案为 14
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，属基础题.
三、解答题
21．（1）82y x =-+；（2）5y x =-. 【解析】
试题分析：（1）先求出函数的导函数，再求出函数在x=0处的导数即斜率，易求切线方程．
（2）设切点为（x 0，y 0），则直线l 的斜率为f'（x 0）=3x 02-8，从而求得直线l 的方程，由条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程． 试题
(1)∵f′(x)=(x 3−8x+2)′=3x 2−8，
∴在点x=0处的切线的斜率k=f′(0)=−8,且f(0)=2， ∴切线的方程为y=−8x+2.
(2)设切点为(x 0,y 0),则直线l 的斜率为f′(x 0)=3x 20−8， ∴直线l 的方程为y=(3x 20−8)(x−x 0)+x 30−8x 0+2. 又∵直线l 过点(0,0),∴0=(3x 20−8)(−x 0)+x 30−8x 0+2， 整理,得x 30=1,∴x 0=1,直线l 的斜率k=3×(1)2−8=−5， ∴直线l 的方程为y=−5x. 22．（1）（2）答案见解析 （3）
【解析】
试题分析：（1）由及曲线在处的切线斜率为
，即可求得，又函数过点，即可求的.
（2）由（1）易知，令可得或，然后对进行分类讨论，确定函数在的单调性，即可求出函数在上的最大值和最小值；
（3）构造函数，研究函数的单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数的取值范围.
试题
(1)因为，曲线在处的切线斜率为，即
，所以.
又函数过点，即，所以.
所以.
(2)由，.
由，得或.
①当时，在区间上，在上是减函数，
所以，.
②当时，当变化时，、的变化情况见下表：
02
0－0＋＋
2－2
，为与中较大的一个．
.
所以.
(3)令，．
在上，；在上，.要使在上恰有两个相异的实根，则
解得．
考点：利用导数求函数的最值；利用导数求参数的范围.
23．（1）；（2）；（Ⅲ）点的横坐标的取值范围为
．
【解析】
试题分析：（1）根据图像过原点得，又切线斜率等于切点处导数值，得，解出；（2）时，对求导以判断函数的单调性，得，
令则，令则或，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减，为极小值点，
，为极大值点，，，
比较极小值与区间端点处函数值，，得在上的最小值为0，当或1时取得；（3）设，利用横坐标的对称关系得出
，由得，于是①，然后对以为分界点分类讨论方程①是否存在解，当时，都有，故方程①无解；当时，，代入①化简得
，该方程判别式小于0，故方程无解；当时，
代人①化简得，再考虑此方程是否有解，令，求导分析知是增函数，注意到，故的值域是，因此方程①对任意正实数恒有解；当时，由横坐标的对称性同理可得，方程①对任意正实数恒有解，综上可得点的横坐标的取值范围.
试题
（1）当时，，，
依题意，，
又，故；...............3分
（2）当时，，
令有，故在单调递减；在单调递增；
在单调递减．又,
所以当时，； 6分
（3）设，因为中点在轴上，所以，
又①，
（ⅰ）当时，，当时，．故①不成立 7分
（ⅱ）当时，代人①得：
，
无解； 8分
（ⅲ）当时，代人①得：
②，
设，则是增函数.
的值域是． 10分
所以对于任意给定的正实数，②恒有解，故满足条件．
（ⅳ）由横坐标的对称性同理可得，当时，
，代人①得：
③
设，令，则
由上面知的值域是的值域为.
所以对于任意给定的正实数，③恒有解，故满足条件. 12分
综上所述，满足条件的点的横坐标的取值范围为..........14分
考点：1、导数与切线关系；2、函数单调性与最值；3、分类讨论的思想；4、函数与方程的思想.
24．（1）x+y﹣e＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e，+∞），单调递减区间为（1，e）．
【分析】
（1）当a＝0时，求函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得结果.
（2）根据导数和极值和单调性之间的关系，即可得到结论．
【详解】
（1）∵a＝0，
∴f（x）＝﹣xlnx+x，f′（x）＝﹣lnx，
则直线的斜率k＝f′（e）＝﹣lne＝﹣1，
f（e）＝﹣elne+e＝﹣e+e＝0，
故所求切线方程为x+y﹣e＝0．
（2）函数的导数f′（x）＝（2ax﹣1）lnx﹣ax﹣1+ax+1＝（2ax﹣1）lnx，
∵x＝e为函数f（x）的极值点，
∴f′（e）＝2ae﹣1＝0，解得a1
（经检验符合题意）
2e
则f ′（x ）＝（
1x e -）lnx x e e
-=lnx ， 由f ′（x ）＝0得x ＝1或x ＝e ， 列表得
【点睛】
本题主要考查函数切线的求解，以及函数极值和单调性与导数的关系，熟练掌握导数的几何意义和导数的综合应用是关键，属于中档题． 25．（1）()2,8Q --；（2）27
4
． 【分析】
（1）利用导数求出函数()3
f x x =在点()()
1,1P f 处的切线方程，将此切线方程与函数
()y f x =的解析式联立，可求出点Q 的坐标；
（2）利用图象确定被积函数与被积区间，利用定积分可计算出由函数()y f x =的图象与切线l 围成的封闭图形面积. 【详解】
（1）点()1,1P ，()2
3f x x '=，故()13f '=，所以切线l 的方程为()131y x -=-，即
32y x =-.
联立3
32
y x y x ⎧=⎨=-⎩，得3320x x -+=，解得2x =-或1x =（舍去），所以点
()2,8Q --．
（2）由图，设函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积为S ，
则()
1
2
3
42121327322424
S x x dx x x x --⎛⎫=⎰-+=-+= ⎪⎝⎭，所以所求面积为274．
【点睛】
本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用定积分计算封闭区域的面积，考查计算能力，属于中等题.
26．（Ⅰ）0x y -=和2727640x y --=. （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）3a
=-.
【分析】
(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；
(Ⅱ)由题意分别证得()()60f x x --≥和()0f x x -≤即可证得题中的结论； (Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a 的值. 【详解】
（Ⅰ）23()214f x x x '=-+，令23()2114f x x x '=-+=得0x =或者83
x =. 当0x =时，(0)0f =，此时切线方程为y x =，即0x y -=；
当83x =
时，88()327f =，此时切线方程为6427
y x =-，即2727640x y --=； 综上可得所求切线方程为0x y -=和2727640x y --=. （Ⅱ）设321()()4g x f x x x x =-=
-，23()24g x x x '=-，令23
()204
g x x x '=-=得0x =或者83x =，所以当[2,0]x ∈-时，()0g x '≥，()g x 为增函数；当8
(0,)3x ∈时，
()0g x '<，()g x 为减函数；当8
[,4]3
x ∈时，()0g x '≥，()g x 为增函数；
而(0)(4)0g g ==，所以()0g x ≤，即()f x x ≤； 同理令3
21()()664
h x f x x x x =-+=
-+，可求其最小值为(2)0h -=，所以()0h x ≥，即()6f x x ≥-，综上可得6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知6()0f x x -≤-≤， 所以()M a 是,6a a +中的较大者，
若6a a ≥+，即3a ≤-时，()3M a a a ==-≥； 若6a a <+，即3a >-时，()663M a a a =+=+>； 所以当()M a 最小时，()3M a =，此时3a =-.
【点睛】
本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。