江门市选修三第二单元《随机变量及其分布》测试题(答案解析)

一、选择题
1．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3
E X =-，则(31)D X +=（ ）
ξ
-1 0 1
p
12
a
b
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2．已知随机变量X 的取值为1,2,3，若()136P X ==，()5
3E X =，则()D X =（ ） A ．
19
B ．
39
C ．59
D ．79
3．已知随机变量~X N ()2
2,σ，(0)0.84P X
=，则(04)P X <<=（ ）
A ．0.16
B ．0.32
C ．0.66
D ．0.68
4．先后抛掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为
4x y +>，事件B 为x y ≠，则概率()|P B A =（ ）
A ．
4
5
B ．
56
C ．
1315
D ．
215
5．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为( ) A ．
14
B ．
23
C ．
13
D ．
12
6．8张卡片上分别写有数字12345678、、、
、、、、，从中随机取出2张，记事件A =“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B =“所取2张卡片上的数字之和小于9”，则()|=P B A （ ） A ．
1
6
B ．
13
C ．
12
D ．
23
7．已知随机变量X 的分布列如下表所示
则(25)E X -的值等于 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．随机变量()~1,4X N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ）
A ．0.2
B ．0.3
C ．0.4
D ．0.6
9．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ） A ．0.8
B ．0.9
C ．
58
D ．
89
10．若随机变量X 的分布列为（ ）
且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．
13
B ．0
C ．1
D ．
23
11．已知2~(1,)X N σ，(03)0.7P X <≤=，(02)0.6P X <≤=，则(3)≤=P X （ ） A ．0.6
B ．0.7
C ．0.8
D ．0.9
12．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（ ） A ．0.2
B ．0.6
C ．0.8
D ．0.9
第II 卷（非选择题）
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参考答案
二、填空题
13．已知随机变量X 的分布列为：
则随机变量X 的方差()V X 的值为______．
14．若随机变量X 的分布列如下表，且()2E X =，则()23D X -的值为________.
15．由“0，1，2”组成的三位数密码中，若用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件，则(|)P A B =__________.
16．已知随机变量ξ的所有可能取值为m 、n ，其中()()2
m n
P m P n ξξ+====
，则E ξ=________；当D ξ取最小值时，mn = ________．
17．已知随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且(01)0.35P X ≤≤=，则(2)P X >=_______.
18．袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为__________．
三、解答题
19．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．
（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望． 20．某企业为了解职工A 款APP 和B 款APP 的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：
（1）分别估计该企业男职工使用A 款APP 的概率､该企业女职工使用A 款APP 的概率； （2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A 款APP 的人数为X ，求
X 的分布列及数学期望；
（3）据电商行业发布的市场分析报告显示，A 款APP 的用户中男性占52.04%､女性占
47.96%；B 款APP 的用户中男性占38.92%､女性占61.08%.试分析该企业职工使用A 款
APP 的男､女用户占比情况和使用B 款APP 的男､女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男､女用户占比情况更相符.
21．为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为
[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400（单位：
克），其频率分布直方图如图所示：
（1）用分层抽样的方法从样本里质量在[)250,300，[)300,350的水果中抽取6个，求质量在[)250,300的水果数量；
（2）从（1）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X 为质量在[)300,350的水果数量，求X 的分布列和数学期望；
（3）果园现有该种水果越20000个，其等级规则及销售价格如下表所示： 质量m （单位：克） 200m < 200300m ≤<
300m ≥
等级规格 二等 一等 特等 价格（元/个）
4
7
10
22．张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会(选一题答一题)，若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为
12
. （1）求张明进入下一轮的概率；
（2）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望. 23．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有
20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求： （1）先取出的零件是一等品的概率； （2）两次取出的零件均为一等品的概率．
24．某单位招聘员工时，要求参加笔试的考生从5道A 类题和3道B 类题共8道题中任选3道作答.
（1）求考生甲至少抽到2道B 类题的概率；
（2）若答对A 类题每道计1分，答对B 类题每道计2分，若不答或答错，则该题计0分.考
生乙抽取的是1道A 类题，2道B 类题，且他答对每道A 类题的概率为2
3
，答对每道B 类
题的概率是
1
2
，各题答对与否相互独立，用X 表示考生乙的得分，求X 的分布列和数学
期望.
25．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.（1）求未来3年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：
电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台? 26．某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：
.
（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；
（2）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望()
E X.
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由于()1 3
E X=-，利用随机变量的分布列列式，求出a和b，由此可求出()
D X，再由
()
(319
)
X D
D X
+=，即可求出结果.
【详解】
根据题意，可知：
1
12a b ++=，则12
a b +=， ()13
E X =-，即：11
23b -+=-，
解得：1
6b =，
13
a ∴=，
()222
11111151013233369X D ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，
则()5
9959
(31)D D X X ==⨯
+=， ∴5(31)D X +=.
故选：B. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.
2．C
解析：C 【分析】
设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(3)6P X ==
，5
()3
E X =，列出方程组，求出p ，q ，即可求得()D X ．
【详解】
设(1)P X p ==，(2)P X q ==，
15
63()23E X p q =++⨯=——①，
又
1
6
1p q ++=——② 由①②得，1
2p =，13
q =，
222111()(1)(25555
333(9
))2336D X ∴=-+-+-=
故选：C. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
3．D
【分析】
先由对称性求出(X 4)P ≥，再利用(04)12(4)P X P X <<=-≥即得解. 【详解】
由于随机变量~X N (
)2
2,σ
，关于2X =对称，故
(4)(0)1(0)10.840.16P X P X P X ≥=≤=-≥=-= (04)12(4)10.320.68P X P X ∴<<=-≥=-=
故选：D 【点睛】
本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.
4．C
解析：C 【分析】
分别得到所有基本事件总数、4x y +>的基本事件个数、满足4x y +>且x y ≠的基本事件个数，根据古典概型概率公式计算可得()P AB 和()P A ；由条件概率公式计算可得结果. 【详解】
先后抛掷骰子两次，正面朝上所得点数(),x y 的基本事件共有6636⨯=个 则4x y +≤的有()1,1、()1,2、()2,1、()2,2、()1,3、()3,1，共6个基本事件
4x y ∴+>的基本事件共有36630-=个，其中x y =的有()3,3、()4,4、()5,5、
()6,6，共4个
∴满足4x y +>且x y ≠的基本事件个数为30426-=个
()26133618P AB ∴==，()3015
3618
P A == ()()()13
1318151518
P AB P B A P A ∴=
== 故选：C
【点睛】
本题考查条件概率的计算问题，涉及到古典概型概率问题的求解；关键是能够准确计算基本事件总数和满足题意的基本事件的个数.
5．B
解析：B 【分析】
根据题目可知，求出事件A 的概率，事件AB 同时发生的概率，利用条件概率公式求得
()|P B A ，即可求解出答案．
依题意，()1214C 1C 2P A ==，()11
22
1143C C 1C C 3
P AB ==， 则条件概率()()()1
2
3|132
P AB P B A P A =
==．故答案选B ． 【点睛】
本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意()P AB 的求解．
6．C
解析：C 【分析】
利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概率公式()
P B A =
()
()
P AB P A 可得出答案． 【详解】
事件AB 为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”，以(),a b 为一个基本事件，则事件AB 包含的基本事件有：()1,3、()1,5、()1,7、()2,4、()2,6、()3,5，共6个， 由古典概型的概率公式可得()286314
P AB C =
=， 事件A 为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，则所取的两个数全是奇数或全是偶数，
由古典概型的概率公式可得()242823
7
C P A C ==，因此，
()()()
371
1432
P AB P B A P A =
=
⨯=， 故选C ． 【点睛】
本题考查条件概率的计算，数量利用条件概率公式，是解本题的关键，同时也考查了古典概型的概率公式，考查运算求解能力，属于中等题．
7．A
解析：A 【分析】
先求出b 的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出()25E X -. 【详解】
由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，
所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=. 故答案为A 【点睛】
(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，
E η=()E a b aE b ξξ+=+，2()D a b a D ξξ+=.
8．B
解析：B 【解析】
分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=
10.22
(01)0.3,2
P X -⨯∴≤≤=
= 故选B.
点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.
9．D
解析：D 【解析】
分析：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．
详解：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ， 则P （C ）=1﹣P （A ）P （B ）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9； 则目标是被甲击中的概率为P=0.88
0.99
=. 故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 条件概率的公式:()
(|)()
P AB P B A P A =
，(|)P B A =
()
()
n AB n A .条件概率一般有“在A 已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.
10．D
解析：D 【解析】
分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .
详解：由题得1
113
,,13021
3
a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨
⎪⨯++=⎪⎩ 所以2
2
2
1112()(01)(11)(21).3
3
33
D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值
的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋2
22()x E p ξ-⋅＋…＋
2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期
望．
11．D
解析：D 【解析】
分析：根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得
()3P X ≤．
详解：由题意230.70.60.1P x =-=，（＜＜） ， ∵随机变量(
)2
~1,X N σ
，(02)0.6P X <≤=，(12)0.3P X <≤=
∴()130.30.10.4,P X <≤=+=30.40.50.9P X =+=（＜）， 故选D ．
点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．
12．C
解析：C 【解析】
分析：由题意可知()()0.5,0.4P A P AB ==，利用条件概率公式可求得()|P B A 的值. 详解： 设第一个路口遇到红灯的事件为A ， 第二个路口遇到红灯的事件为B ， 则()()0.5,0.4P A P AB ==， 则()()()
|0.8P AB P B A P A =
=，故选C.
点睛：本题考查条件概率公式()()()
/=
P AB P B A P A ，属于基础题.计算条件概率时一定要注
意区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系.
二、填空题
13．【分析】由分布列求出然后由方差公式计算方差【详解】由题意故答案为：【点睛】本题考查随机变量的概率分布列考查随机变量的方差根据分布列计算出期望再由方差公式计算即得考查了学生的运算求解能力
解析：
65216
【分析】 由分布列求出q ，然后由方差公式计算方差． 【详解】 由题意1111362
q =-
-=， 111
()11263
E X =-⨯+⨯=-，
222111111165
()(1)(0)()2333663216
V X =⨯-++⨯++⨯+=．
故答案为：65
216
． 【点睛】
本题考查随机变量的概率分布列，考查随机变量的方差．根据分布列计算出期望，再由方差公式计算即得．考查了学生的运算求解能力．
14．【分析】利用分布列求出利用期望求解然后求解方差即可【详解】解：由题意可得：解得因为所以：解得故答案为：【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列方差的求法属于中档题 解析：4
【分析】
利用分布列求出p ，利用期望求解a ，然后求解方差即可． 【详解】
解：由题意可得：11
163p ++=，解得12
p =，
因为()2E X =，所以：111
022623
a ⨯+⨯+⨯=，解得3a =．
222111
()(02)(22)(32)1623
D X =-⨯+-⨯+-⨯=．
(23)4()4D X D X -==．
故答案为：4． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列、方差的求法，属于中档题.
15．【分析】利用古典摡型的概率计算公式分别求得结合条件概率的计算公式即可求解【详解】由012组成的三位数密码共有个基本事件又由用A 表示第二位数字是2的事件用B 表示第一位数字是2的事件可得所以故答案为：【
解析：1
3
【分析】
利用古典摡型的概率计算公式，分别求得(),()P B P A B ，结合条件概率的计算公式，即
可求解. 【详解】
由“0，1，2”组成的三位数密码，共有33327⨯⨯=个基本事件，
又由用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件， 可得33131
(),()273279
P B P A B ⨯=
===， 所以1()1
9(|)1()
33
P A B P A B P B =
==. 故答案为：1
3
.
【点睛】
本题主要考查了条件概率的计算与求解，其中解答中熟记条件概率的计算公式，准确运算时解答得关键，属于基础题.
16．【分析】由分布列的性质可得然后利用数学期望公式可计算出的值并计算出的表达式利用二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的的值【详解】由分布列的性质得即所以当且仅当时等号成立此时故答案为：；【点睛】本 解析：
121
4
【分析】
由分布列的性质可得1m n +=，然后利用数学期望公式可计算出E ξ的值，并计算出D ξ的表达式，利用二次函数的基本性质可求得D ξ的最小值及其对应的mn 的值. 【详解】 由分布列的性质得
122
m n m n
+++=，即1m n +=， 所以()2
222
m n m n m n E m n ξ+++=⋅+⋅=12=，
2
2
2
2
2
11111111112222222220
D m n m m m ξ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=-⨯+--⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝≥⎭
，当且仅当
1
2
m n
==时等号成立，此时
1
4
mn=．
故答案为：1
2
；
1
4
.
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的数学期望和方差等，考查的数学核心素养是数学运算，属于中等题.
17．015【解析】分析：求出P（1≤X≤2）于是P（X＞2）=P（X＞1）﹣P
（1≤X≤2）详解：P（1≤X≤2）=P（0≤X≤1）=035∴P（X＞2）=P（X＞1）﹣P
（1≤X≤2）=05﹣035=
解析：0.15.
【解析】
分析：求出P（1≤X≤2），于是P（X＞2）=P（X＞1）﹣P（1≤X≤2）．
详解：P（1≤X≤2）=P（0≤X≤1）=0.35，
∴P（X＞2）=P（X＞1）﹣P（1≤X≤2）=0.5﹣0.35=0.15．
故答案为0.15
点睛：本题主要考查了正态分布的对称性，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平. 18．【解析】记事件为第一次取到黑球事件为第二次取到白球则事件为第一次取到黑球第二次取到白球根据题意知∴在第一次取到黑球的条件下第二次取到白球的概率是故答案为
解析：3 4
【解析】
记事件A为“第一次取到黑球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“第一次取到黑
球、第二次取到白球”，根据题意知，
2
()
5
P A=，
23
()
54
P AB=⨯，∴在第一次取到黑球
的条件下，第二次取到白球的概率是
()3
(|)
()4
P AB
P B A
P A
==，故答案为
3
4
．
三、解答题
19．(1)0.28；(2)分布列见解析，()0.6
E X=.
【分析】
(1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值；
(2)首先确定X可能的取值，然后分别求解其概率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可.
【详解】
(1)设部件1需要调整为事件A，部件2需要调整为事件B，部件3需要调整为事件C，
由题意可知：()()()0.1,0.2,0.3P A P B P C ===. 部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：
()()11110.90.810.720.28P A P B ⎡⎤⎡⎤---=-⨯=-=⎣⎦⎣⎦.
(2)由题意可知X 的取值为0，1,2,3.
且：()()()()0111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()()()10.110.210.3=-⨯-⨯-0.504=，
()()()()111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤==--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦
0.10.80.7=⨯⨯0.90.20.7+⨯⨯0.90.80.3+⨯⨯ 0.398=，
()()()()21P X P A P B P C ⎡⎤==-⎣⎦()()()1P A P B P C ⎡⎤+-⎣⎦()()()1P A P C P B ⎡⎤+-⎣⎦
0.10.20.7=⨯⨯0.10.80.3+⨯⨯0.90.20.3+⨯⨯ 0.092=.
()()()()30.10.20.30.006P X P A P B P C ===⨯⨯=，
故X 的分布列为：
其数学期望：0.50400.39810.09220.00630.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 思路点晴：
求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤：
（1）先分析X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率； （2）根据（1）中概率值，得到X 的分布列；
（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X 的数学期望.
20．（1）
13；（2）分布列答案见解析，数学期望：14
15
；（3）该企业职工使用B APP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符 【分析】
（1）根据题中数据，用频率估计概率，即可求出；
（2）先确定X 的取值，再计算出对应的概率，即求出X 的分布列及数学期望；
（3）分别计算出A 款，B 款APP 的男､女用户总人数，再计算对应的男用户，女用户的概率，再根据题意判断即可. 【详解】
解：（1）由所给数据可知，男职工使用A 款APP 的人数为72，
用频率估计概率，可得男职工使用京东APP 的概率约为7231205
=， 同理，女职工使用A 款APP 的概率约为401
1203
=； （2）X 的可能取值为0，1，2，
()314
0115315
P X ⎛⎫⎛⎫∴==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
()31318
111535315
P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
()311
2535
P X ==⨯=.
∴X 的分布列为：
X 的数学期望()0121515515
E X =⨯
+⨯+⨯=； （3）样本中，A 款APP 的男､女用户为7240112+=(人)，
其中男用户占7264.3112≈%；女用户占40
35.7112
≈%， 样本中，B 款APP 的男､女用户为6084144+=(人)，
其中男用户占
6041.7144≈%；女用户占8458.3144
≈%， ∴该企业职工使用B APP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符.
【点睛】 思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
21．（1）4个；（2）分布列见解析；期望为1；（3）143000（元）． 【分析】
（1）根据频率分布直方图得到质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率，按照比例抽取即可.
（2）由（1）知，6个水果中由2个质量在[)300,350，得到X 的所有可能取值为0，1，2，再分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望.
（3）根据频率分布直方图，得到质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，
[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率，然后估计20000个水果中，哥
等级的个数求解. 【详解】
（1）质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率分别为0.008500.4⨯=，
0.004500.2⨯=，其比为2:1，
所以按分层抽样从质量在[)250,300，[)300,350的这种水果中随机抽取6个， 质量在[)250,300的该种水果有4个．
（2）由（1）可知，6个水果中由2个质量在[)300,350， 所以X 的所有可能取值为0，1，2．
()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()12
42
36C C 12C 5
P X ===．
所以X 的分布列为
故X 的数学期望()0121555
E X =⨯
+⨯+⨯=． （3）由频率分布直方图可知，质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，
[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率分别为0.1，0.1，0.15，0.4，
0.2，0.05．
所以估计20000个水果中，二等品有()200000.10.14000⨯+=个； 一等品有()200000.150.411000⨯+=个； 特等品有()200000.20.055000⨯+=个．
果园该种水果的销售收入为40004110007500010143000⨯+⨯+⨯=（元）． 【点睛】
方法点睛：求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 22．（1）1
2；（2）分布列答案见解析，数学期望：
9316
. 【分析】
（1）分情况讨论张明进入下一轮的概率；（2）由条件可知4,5,6,7ξ=，理解随机变量对应的事件，写出概率分布列，计算数学期望. 【详解】
（1）张明答4道题进入下一轮的概率为411
()216=
，
答5道题进入下一轮的概率为3
341111()2228C ⋅⋅⋅=，
答6道题进入下一轮的概率为3
3251115()()22232C ⋅⋅⋅=，
答7道题进入下一轮的概率为3
3361115()()22232C ⋅⋅⋅=，
张明进入下一轮的概率为1155116832322
P =
+++=； （2）ξ可能取值为4､5､6､7，
当4ξ=时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰，
44111(4)()()228P ξ==+=，333
3441111111(5)()()2222224P C C ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，
3323
32551111115(6)()()()()22222216
P C C ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，
3333
33661111115(7)()()()()22222216
P C C ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，
于是ξ的分布列为：
5593
()456784161616
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
关键点点睛：第二问和第一问的对应的概率不一样，比如第一问当5ξ=时，表示答5题后进入下一轮，第二问5ξ=时，表示答5题后进入下一轮，或是被淘汰，分清事件，才能正确写出概率. 23．（1）7
15
；（2）0.22. 【分析】
（1）记事件=i A “任取的一箱为第i 箱零件”，则1i =、2、3，记事件j B =“第j 次取到的是一等品”，则1j =、2，利用条件概率和全概率公式可求得所求事件的概率； （2）求出()
121P B B A 、()122P B B A 、()
123P B B A ，利用全概率公式可求得所求事件
的概率. 【详解】
（1）记事件=i A “任取的一箱为第i 箱零件”，则1i =、2、3， 记事件j B =“第j 次取到的是一等品”，则1j =、2，
由题意知1A 、2A 、3A 构成完备事件组，且()()()12313
P A P A P A ===
， ()11200.450P B A =
=，()12120.430P B A ==，()13240.640
P B A ==， 由全概率公式得
()()()()()()()()111121231317
0.40.40.6315
P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯++=
；
（2）因为()22012125038245C P B B A C ==，()21212223022
145C P B B A C ==，
()2
2412324023
65
C P B B A C ==，
由全概率公式得()()()()()()()
12112121223123P B B P A P B B A P A P B B A P A P B B A =++
13822230.22324514565⎛⎫=⨯++≈ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
易错点点睛：本题考查利用条件概率和全概率公式计算事件的概率，解本题的关键在于确定一等品是从哪个箱子里取出的，再结合相应的知识求解.
24．（1）2
7；（2）分布列见解析；期望为83
.
【分析】
（1）利用组合数计算考生甲至少抽到2道B 类题的种数，利用古典概型的概率计算公式可求概率.
（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，分别计算出各自的概率后可得分布列，再利用公式计算期望即可. 【详解】
解：（1）设“考生甲至少抽到2道B 类题”为事件A ，则213
3533
82
()7
C C C P A C +== （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，
所以2
211(0)113212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
2
211
(1)1326
P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，
122111
(2)113226P X C ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
122111(3)13223
P X C ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 2
22211(4)1C 3212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2
211
(5)326
P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，
所以X 的分布列为
所以123456631263
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
方法点睛：离散型随机变量的分布列的计算，注意理解每个取值的含义，并借助排列组合的知识计算相应的概率. 25．（1）972
1000
；（2）2台. 【分析】
（1）先求出年入流量X 的概率，根据二项分布可得未来3年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）分三种情况进行讨论，分别求出安装1台、2台、3台的数学期望，比较即可求解. 【详解】
（1）依题意，得110
(4080)0.250
p P X =<<=
=， 235
(80120)0.750
p P X =≤≤==， 35
(120)0.150
p P X =>=
=. 由二项分布，记“在未来3年中，至多有1年的年入流量超过120”为事件A ， 3
2
0133919729243972)101010100010001000P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（ （2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）.
①安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000Y =，()500015000E Y =⨯=；
②安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时
50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；
当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此
23(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=.由此得Y 的概率分布列如下：
所以0.88840⨯=. ③安装3台发电机的情形：
依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=， 因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；
当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=， 因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；
当120X >时，三台发电机运行，此时5000315000Y =⨯=，
因此3(15000)(120)0.1P Y P X p ==>==，由此得Y 的概率分布列如下：
所以，150000.18620+⨯=. 综上所述，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. 【点睛】 思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
26．（1）0.5；（2）分布列见解析，1.7. 【分析】
（1）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1i =，2，3，4，5，
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，根据()()
1111P C P A B A B =+计算可得结果；
（2）X 的可能取值为0，1，2，3，求出X 的各个取值的概率可得分布列和数学期望. 【详解】
（1）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1i =，2，3，4，5
由已知可得()0.6i P A =，()0.5i P B =
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，
因为A ，B 两车是否出车相互独立，且事件11
A B ，11A B 互斥， 所以()()()()()()()()111111111111P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+ ()()0.610.510.60.5=⨯-+-⨯
0.5=
所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5.
（2）X 的可能取值为0，1，2，3
()()()
11200.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯= ()()()()()211210.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= ()()()()()1122
20.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯= ()()()11230.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯=
所以X 的的分布列为
00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
关键点点睛：第二问分析出X 的可能取值，搞清楚X 的每个取值对应的事件是解题关键.。