2-1 导数的概念与几何意义

成都工贸职业技术学院教案
了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/
x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/
y ，即)(/
x f ＝/
y ＝
x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)
()(lim
lim
00 函数)(x f y =在0x 处的导数0
/
x x y =就是函数)(x f y =在开区间
),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，
即0
/x x y =＝)
(0/
x f 所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作)(0/
x f
注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值；它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/
x f 在点
0x 的函数值
例1 求函数2
x y =在任意点x 处的导数，并求
1|=x dx
dy 解：在x 处给自变量一个增量x ∆，相应函数增量为
()()()
222
2x x x x x
x x f x x f y ∆+∆=-∆+=-∆+=∆,
于是
x x x
y
∆+=∆∆2， ()x x x x y
x x 22lim lim 0
0=∆+=∆∆∴→∆→∆；即()
x x 22='； 则 ()21*21-=-==x dx
dy
一般地()
1-='u u ux x ，（u 为任意实数）
注：求()0x f '得先求()x f '，再将x 用0x 代替。

求函数导数的一般方法：
（1）求函数值的增量：()()y f x x f x ∆=+∆-
（2）算比值：
()()
y f x x f x x x
∆+∆-=∆∆ （3） 取极限，得导数：/
y ＝()f x '=x
y
x ∆∆→∆0lim
三、讲授新课（2）（25分钟） 3、导数的几何意义
由导数的定义可知:函数
在点
处的导数在几何上
讲清楚左右导数的概念
学生认真听讲和思考
学生理解近似和极限的概念
学生理解导数公式的产生
学生认真听讲
表示曲线在点处的切线斜率，即,
其中是切线的倾角.如下图：
如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）
处的切线方程为))(()(00/
0x x x f x f y -=-
4、可导与连续关系：可导⇒连续 定理2：
设函数)(x f y =在点x 处可导，有 ()x f x
y
x '=∆∆→∆0lim
又
()()()()时的无穷小为0→∆∆∂⋅∆∂+'=∆∆x x x x f x
y
即 ()()x x x x f y ∆⋅∆∂+∆'=∆ 故 0lim 0
=∆→∆y x
所以()处连续在点x x f y =。

即 ()x f y = 在x 可导，那么在x 处必连续，但反过来不一定成立，即
在x 处
连续的函数未必在x 可导。

例2 讨论函数x y =在0=x 处的连续性与可导性.
解 因为()()x x f x f y ∆=-∆+=-∆+=∆0000, 所以
lim lim 0
=∆=
∆→∆→∆x y x x ,即x y =在0=x 处的连续,而由前面的讨
论知，函数x y =在0=x 处不可导。

例3．求函数x y sin =的导数
解：（1）()2sin 2cos 2sin sin x x x x x x y ∆⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆+=-∆+=∆ （2）2
2sin
2cos 2sin
2cos 2x x
x x x x x x x y
∆∆⋅
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆+=∆∆⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∆+=∆∆
（3）x x x
x x x
y dx
dy x x cos 2
2sin
)
2
cos(lim lim 0
=∆∆∆+=∆∆=→∆→∆ 即()x cos sin ='，类似可得()x x sin cos -='
教师讲解导数的求法
导数的几何意义具有现实意义，那就是求极值和最值
教师讲授
学生思考练习
学生回顾。