吉林省东北师范大学附属中学高考数学二轮复习 专题三

2013东北师大附中高考第二轮复习 ：
专题三《三角函数（下）》
【例题解析】
例1 完成下列选择题
（1）已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是（ ） A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos β B.若α、β是第二象限，则tan α>tan β C.若α、β是第三象限角，则cos α>cos β D.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β
（3）函数y=sin(2x+
3
π
)的图象是由函数y=sin2x 的图像（ ） A.向左平移3π单位 B.向右平移6π
单位
C.向左平移65π单位
D.向右平移6
5π
单位
解析 （1）当α，β∈（0，2
π
）时，由sin α>sin β得α>β，此时cos α<cos β；
当α,β∈(2
π
,π)时，由sin α>sin β得,α<β，此时tan α<tan β;当α，β∈（π，23π）
时，由sin α>sin β得，α<β，此时cos α<cos β；而对于α，β是第四象限角，由sin
α>sin β⇒sin 2α<sin 2β⇒1－cos 2α<1－cos 2β⇒cos 2α>cos 2
β
⇒
α2
cos 1<β
2cos 1⇒tan 2α<tan 2β ∵tan α<0,tan β<0 ⇒tan α>tan β。

故答案选D 。

（3）y=sin2x 图像向左平移3π单位后得:y=sin2(x+3
π
)=sin(2x+32π);y=sin2x 图
像，向右平移`6π单位后得y=sin2(x －`6π)=sin(2x －`
3π
);y=sin2x 图象向左平移`65π单位
后得：y=sin2(x+`65π)=sin(2x+35π)=sin(2x －3π
);y=sin2x 图像向右平移`65π单位后得：
y=sin2(x －`65π)=sin(2x －35π)=sin(2x+3
π
)，故答案选D 。

例2 已知函数f(x)=tan(
3
π
sinx) （1）求f(x)的定义域和值域；
（2）在（－π，π）中，求f(x)的单调区间； （3）判定方程f(x)=tan
3
2
π在区间（－π，π）上解的个数。

解 （1）∵－1≤sinx ≤1 ∴ －
3π≤3πsinx ≤3
π。

又函数y=tanx 在x=k π+
2
π
(k ∈Z)处无定义， 且 （－
2π，2π
）[－3π,3
π]（－π, π）， ∴令
3
πsinx=±2π
，则sinx=±23
解之得：x=k π±
3
π
(k ∈Z) ∴f(x)的定义域是A={x|x ∈R ，且x ≠k π±
3
π
，k ∈Z} ∵tanx 在（－2π，2π
）内的值域为（－∞，+∞），而当x ∈A 时，函数y=13
πsinx 的值域B 满足
（－
2π，2
π
） B ∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。

（2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=
3
π
和x=32π处无定义。

设t=
3
πsinx ，则当x ∈[0, 3π)∪（3π，32π）∪（32π，π）时，t ∈[0, 2π
)∪
(
2π,3π]，且以t 为自变量的函数y=tant 在区间（0，2π），（2π
，3
π]上分别单调递增。

又∵当x ∈[0，
3π]时，函数t=3
πsinx 单调递增，且t ∈[0, 2π
)
当x ∈（
3π，2π]时，函数t=3πsinx 单调递增，且t ∈（2π
, 3
π] 当x ∈[
2π，32π)时，函数t=3πsinx 单调递减，且t ∈（2π, 3π]
当x ∈（
32π，π）时，函数t=3
πsinx 单调递减，且t ∈（0，2π） ∴f(x)=tan(
13
π
sinx)在区间[0，
3π),（3π,2
π
]上分别是单调递增函数；在),3
2(),32,2[ππ
ππ上是单调递减函数。

又f(x)是奇函数，所以区间（－3π，0]，[－2π，－3
π
)也是f(x)的单调递增区间
]2
,32(),32,[ππππ----是f(x)的递减区间。

故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－2π，－3π)，（－3π，3
π
），
（3π，2
π
]单调递减区间为),32(),32,32(),32,[ππππππ---。

（3）由f(x)=tan
3
2
π得： tan(
3
π
sinx)=tan(32π)
⇔
3
π
sinx=k π+32π （k ∈Z ）
⇔sinx=k 3+
3
6
(k ∈Z)① 又∵－1≤sinx ≤1，∴3
2
33
2
3-≤≤--k ∴k=0或k= －1
当k=0时，从①得方程sinx=
3
6 当k=1时，从①得方程sinx= －3+
3
6 显然方程sinx=
36,sinx= －3+3
6，在（－π, π）上各有2个解，故f(x)=tan
3
2
π在区间（－π，π）上共有4个解。

注 本题是正弦函数与正切函数的复合。

（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=
3
π
sinx 的值域与y=tanx 的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基本性质。

如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。

例3 化简下列各式
(1)cos 3
A+cos 3
(
32π+A)+cos 3(3
2π－A); (2) α2sin 1+α4sin 1+α8sin 1+…+α
64sin 1。

解 （1）由三倍角公式cos3α=4cos 3
α－3cos α得：
原式=41cos3A+43cosA+41cos3（32π+A ）+43cos （32ππ+A ）+41cos3（3
2π－A ）+43cos （3
2π－A ） =41[cos3A+cos3A+cos3A]+ 43[cosA+cos(32π+A)+cos(3
2π－A)] ∵cosA+cos(32π+A)+cos(32π
－A)
=cosA+2cos 3
2π
cosA
=0
∴原式=
43
cos3A (2) ∵α2sin 1=α
αα
2sin sin sin ⋅
=
α
αα
ααα2sin sin sin 2cos cos 2sin ⋅⋅-⋅
=cot α－cot2α ∴
α2sin 1+α4sin 1+α8sin 1+…+α
64sin 1
=cot α－cot2α+cot2α－cot4α+cot4α－cot8α+…+cot32α－cot64α =cot α－cot64α=
α
αα
64sin sin 63sin •
注 本题（1）主要是降幂，通过降幂达到化简的目的。

（2）利用裂项法求和。

三角
函数中最好记住一些简单的常用结论。

如：
α2sin 1=cot α－cot2α,cosA+cos （3
2π
+A ）
+cos （32π－A ）=0,cos 2A+cos 2(32π+A)+cos 2(32π–A)=2
3等。

这样既可提高运算速度又可产生联想的火花。

例4 已知:sin 3α+cos 3α=1，求sin α+cos α; sin 4α+cos 4α;sin 6α+cos 6
α的值。

解法一 令sin α+cos α=t ，则sin α·cos α=2
12-t
∴sin 3
α+cos 3
α=(sin α+cos α)(sin 2
α－sin α·cos α+cos 2
α)
=t ·(1－2
1
2-t )=1，得：
t 3
－3t+2=0⇒(t －1)2
·(t+2)=0
∵t ≠－2 ∴t=sin α+cos α=1，且sin α·cos α=2
1
2-t =0。

∴sin 4
α+cos 4
α=(sin 2
α+cos 2
α)2
– 2sin 2
α·cos 2
α=1－2·0=1 sin 6α+cos 6α=(sin 2α+cos 2α)(sin 4α－sin 2α·cos 2α+cos 4
α)=1
解法二 ∵sin 3α≤sin 2α,cos 3α≤cos 2
α
∴sin 3α+cos 3α≤sin 2α+cos 2
α=1
等号当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==α
αα
αcos cos sin sin 3
3时成立，
⇒⎩⎨
⎧==1cos 0sin αα或⎩
⎨⎧==1sin 0cos αα ∴sin α+cos α=sin 4
α+cos 4
α=sin 6
α+cos 6
α=1
注 （1）凡是遇到sinx+cosx 与sinx ·cosx 类的问题，均应采用换元法，令
sinx+cosx=t ，得sinx ·cosx=2
1
2-t 。

（2）三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在。

（3）本题还可推广到一般情形：若k ≥2且sin 2k －1α+cos 2k －1
α=1，则sin α=1，cos
α=0或sin α=0,cos α=1，若sin 2k α+cos 2k
α=1，则sin α=±1，cos α=0或sin α=0,cos α=±1。

例5 （1）已知sin(
4π+α)·sin(4π－α)=61, α∈(2
π
,π)，求sin4α；
（2）已知 cos(x+4π)=53,4
5
π<x<47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值。

解 （1）∵α+
4π+4π－α=2
π
∴sin(4π－α)=cos(4π
+α)
∴sin(4π+α)·sin(4π－α)=sin(4π+α)·cos(4
π
+α)
=21sin(2
π
+2α)= 21cos2α= 61 又∵π<2α<2π,cos2α=
3
1
,∴sin2α= －322
∴sin4α=2sin2α·cos2α= －9
24 本题也可以这样解： sin(
4π+α)·sin(4
π
－α)=（22sin α+22cos α）(22cos α－22sin α)=
21cos 2α－21sin 2
α=21cos2α=6
1 也可以用积化和差公式：
sin(
4π+α)·sin(4π－α)= 21 (cos2α－cos 2π
)= 21cos2α=61
（2）法一:由x+4π∈(23π,2π)知sin(x+4
π
)= －54
∴cosx=cos(x+4π－4π)=cos(x+4π)·cos 4π+sin(x+4π)·sin 4π=
10
3
2－1042=
－
102由cosx<0可知，45π<x<2
3π，于是 sinx= －
10
7
2,tan α=7∴原式=
71)2107(2)2107()102(22
--⋅+-⋅-
⋅= －75
28
法二：原式=x
x x x x sin cos )
sin (cos cos sin 2-+α=
)
4
cos(2)
4sin(22sin π
π
+
+
⋅x x x
=－cos(2x+
2π)tan(x+4π)=[1－2cos 2
(x+4π)]tan(x+4
π) 而cos(x+4π)=53,tan(x+4
π
)= －34，代入得：原式= －7528
注 三角函数求值，重视与角的关系，如4π+x 与4
π
－x 互余（广义）,2α=α+β+
α－β等。

例6 设f(x)=tanx,x ∈(0,
2π),若x 1，x 2∈(0,2
π
),且x 1≠x 2,证明： 2
1
[ f(x 1)+ f(x 2)]>f(221x x +)
证明 tanx 1+ tanx 2=
11cos sin x x +22cos sin x x =2
11221cos cos cos sin cos sin x x x x x x ⋅⋅+⋅ =
)
cos()cos()
sin(2212121x x x x x x -+++
∵x 1,x 2∈（0，
2
π），且x 1≠x 2 ∴2sin(x 1+x 2)>0,cosx 1·cosx 2>0,0<cos(x 1－x 2)<1 从而有
0<cos(x 1+x 2)+cos(x 1－x 2)<1+cos(x 1+x 2) ∴tan x 1+tanx 2>
)cos(1)sin(22121x x x x +++=2tan 2
2
1x x +
另证：以上是采用化弦，放缩后利用公式tan
2α
=α
αcos 1sin +加以证明的，也可以利
用正切的和差角公式加以证明。

左边－右边=
2
1
[tanx 1+tanx 2]－tan 221x x +
=
2
1
[tanx 1－tan 221x x ++tanx 2－tan 221x x +]
=
2
1
[tan(x 1－221x x +)·(1+tanx 1·tan 221x x +)+tan(x 2－
221x x +)·(1+tanx 2·tan 221x x +)]=2
1
tan 221x x -·(1+tanx 1tan 221x x +－1－tanx 2·tan
221x x +)=2
1tan 221x x -tan 22
1x x +(tanx 1－tanx 2) ∵
221x x +∈(0, 2
π
) ∴tan 221x x +>0 又∵tan
2
2
1x x -和tanx 1－tanx 2在x 1>x 2时，同为正，在x 1<x 2时，同为负，所以tan
2
2
1x x -（tanx 1－tanx 2）>0。

综上
2
1
tan 221x x -tan 221x x +·(tanx 1－tanx 2)>0，即
2
1
[f(x 1)+f(x 2)]>f(221x x +)
注 在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中，常采用化弦法。

本题解法一是
化弦，了解决把两个分数的单角转化为和角，同时又使函数值适当缩小。

例7 已知三角形ABC 的三边a 、b 、c 和对应的三内角A 、B 、C 满足条件：
atanA+btanB=(a+b)tan
2
B
A + 求证：△ABC 是等腰三角形。

证明 由atanA+btanB=(a+b)tan
2
B
A +
得：a(tanA －tan 2B A +)=b ·（tan 2
B
A +－tan
B ） 化弦得：
a ·
2cos cos 2sin cos 2cos
sin B A A B A A B A A +⋅+⋅-+⋅=b ·B
B
A B A B B B A cos 2
cos 2cos sin cos 2sin ⋅++⋅-+ 两边约去cos 2
B
A +，及正弦定理把a,b 换成sinA,sin
B ，则上式变为
A A cos sin sin 2
B A -=B B cos sin sin 2
B
A - ∴sin 2
B A -(tanA －tanB)=0
所以,tanA=tanB 或者sin 2
B
A -=0
由这两个式子都可以得到A=B ，因此△ABC 为等腰三角形。

注 （1）三角形中的计算和证明是三角函数的一个重要课题，这里除了应用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，三个内角的互补关系和它们半角之间的互余关系之外，还有一些独特的解题思路和方法，其中把角的函数化成边或把边化成角的函数是最基本也最常用的方法。

（2）在三角形中有不少有趣的关系式，如:tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC
cot
2A +cot 2B +cot 2C =cot 2A ·cot 2B ·cot 2C tan 2A ·tan 2B +tan 2B ·tan 2C +tan 2C ·tan 2
A =1
sinA+ sinB+ sinC=4cos 2A ·cos 2B ·cos 2C
cosA+ cosB+ cosC=1+4sin 2A ·sin 2B ·sin 2
C
sinA+sinB+sinC ≤23
3 sinA ·sinB ·sinC ≤83
3 cosA+cosB+cosC ≤23
cosA ·cosB ·cosC ≤8
1
sin 2A +sin 2B +sin 2C ≤2
3
sin
2A ·sin 2B ·sin 2C ≤8
1 熟悉这些关系式常常会给解某些与三角形有关的题目带来一些方便。

例8 如图，A 、B 是一矩 OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=3，设∠AOE=α.
（1）写出△AOB 的面积关于α的函数关系式f(α); （2）写出函数f(x)的取值范围。

解 （1）∵OE=1，EF=3
∴∠EOF=60°
当α∈[0，15°]时，△AOB 的两顶点A 、B 在E 、F 上，且AE=tan α,BE=tan(45°+α)
∴f(α)=S △AOB =
2
1
[tan(45°+α)－tan α] =
)45cos(·cos 245sin α+︒︒
α=2
)452cos(22+︒+α
当a ∈（15°,45°]时，A 点在EF 上，B 点在FG 上，且OA=
αcos 1，OB=)
45cos(3
α-︒ ∴)(αf =S
△AOB
=
21OA ·OB ·sin45°=αcos 21·)
45cos(3
α-︒·sin45°
=2)24cos(26+-απ综上得：f(α)= ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧∈+-∈++]4,12(2)42cos(26]12,0[2)42cos(22ππαππαπ α α （2）由（1）得：当α∈[0，12π]时f(α)= 2)4
2cos(22++πα∈[21,3－1] 且当α=0时，f(α)min =21 α=12
π时，f(α)max =3－1 当α∈]4,12(ππ时,－12π≤2α－4π≤4πf （α）=2)42cos(26
+-πα∈[6－
3,23]且当α=8
π时，f(α) min =6－3 当α=
4π时，f(α) max =23所以f(x) ∈[21,23]。

注 三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。

练习时注意三角函数的综合应用。

例9 已知函数y=2
1cos 2x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）, （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解 （1）y=
21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x －1)+ 41+43（2sinx ·cosx ）+1 =41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+4
5 =
21sin(2x+6π)+45
所以y 取最大值时，只需2x+
6π=2π+2k π,（k ∈Z ）， 即 x=6
π+k π,（k ∈Z ）。

所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=
6
π+k π,k ∈Z} （2）将函数y=sinx 依次进行如下变换： （i ）把函数y=sinx 的图像向左平移
6π，得到函数y=sin(x+6
π)的图像； （ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的2
1倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6
π)的图像； （iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的2
1倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6
π)的图像； （iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图像。

综上得到y=2
1cos 2x+23sinxcosx+1的图像。

注 本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。

这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx 的齐次式，降幂后最终化成y=22b a +sin (ωx+ϕ)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。

本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx ≠0时，y=x x x x x 222cos sin cos sin 23cos 21+++1=x
x 2tan 1tan 2321+++1 化简得：2(y －1)tan 2x －3tanx+2y －3=0
∵tanx ∈R ，∴△=3－8(y －1)(2y －3) ≥0 解之得：
43≤y ≤47 ∴y max =4
7，此时对应自变量x 的值集为
{x|x=k π+6
π,k ∈Z} 例10 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A+C=2B ，
A cos 1+C cos 1 =－
B cos 2，求cos 2C
A -的值 解：∵
B cos 2
-= －22 ∴A cos 1+C cos 1
= －22
将上式化为cosA+cosC= －22cosAcosC 利用和差化积公式，上式化为 2cos 2C
A +·cos 2C
A -= －2[cos(A+C)+cos(A －C)]
将cos 2C A +=cos60°=21,cos(A+C)= －21
代入上式，得 cos 2C
A -=22－2cos(A －C)
将cos(A －C)=2cos 2(2C
A -)－1代入上式并整理得： 42cos 22C A -+2cos 2C
A -－32=0
（2cos 2C
A -－2）(22cos 2C
A -+3)=0
∵22cos 2C A -+3≠0，∴2cos 2C
A -－2=0，即22
2cos =-C A 。