2023-2024学年上海市静安区高二下学期6月期末数学教学质量调研试卷(含解析)

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2023-2024学年上海市静安区高二下学期6月期末数学教学质量
调研试卷
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分．
1．抛物线的准线方程为
.
2
4x y =-2．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是
．
3
．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .
4．已知点，平面经过原点，且垂直于向量
，则点到平面的
()
1,2,1A --αO ()
1,1,3n =-
A α距离为
5．某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：
，得到的频率分布直方图如图所示，
[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为
．
6．了解某中学学生的身高情况，采用分层随机抽样的方法抽取了30名男生，20名女生．已知男生身高的平均数为170cm ，方差为16，女生身高的平均数为165cm ，方差为25，则可估计该校学生的方差为
．
7．设，P 为双曲线右支上一动点.若点P 到直线的距离大于c 恒成
R c ∈22
1x y -=10x y -+=立，则c 的最大值为 .
8．三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战､的A B C ､､A B ､C A B 胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，0.5那么这3局中三人各胜一局的概率为
.
9．给定数列，则对所有最大值为
{}2,918n n a a n n =-+-(),,,0,n m m n m n m n S S <∈>-N ．
10．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，0a b >>22221x y a b +=1e 22
22212x y b a b -=-2e 若，则的取值范围是 ．
121e e <2
1e e 11．在棱长为1的正方体中，点F 是棱的中点，P 是正方体表面上的一
1111ABCD A B C D -1CC 点，若
，则线段长度的最大值为
．
1D P AF ⊥1D P 12．空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，
a b 2a b ×= 1
=
b t 使得成立，则由构成的空间几何体的体积是 .20a a tb -+≥ a 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分．
13．下列统计量中，不能度量某样本离散程度的是（ ）A
．方差
B ．极差
C ．中位数
D ．标准差
14．已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点
到两旗杆顶点的仰角相等,则点的轨迹是
P P A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．抛物线
15．如图，在棱长为2的正方体
中，，分别为棱和的中点，过
1111ABCD A B C D -E F AB 1DD 点，，的平面交于点，则（ ）
1B E F αAD G AG =
3
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A ．
B ．
C ．
D ．13
23
3443
16．小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱
，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成111111ABCDEF A B C D E F -了斜六棱柱，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜
111111ABCDEF A B C D E F -1V 1S
棱柱的体积和侧面积分别为
和，则（ ）.
2V 2S A ．B ．C ．D ．与的大小关系
12
12V V S S >12
12V V S S <12
12V V S S =1
1V S 22V S 无法确定
三、解各题（本大题满分78分）本大愿共有5题．
17．从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个.构成数对
，x 为第一
(),x y 次取到的数字，y 为第二次取到的数字．设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取A =B =出的数字是2”．
(1)写出此试验的样本空间及
的值；
()()
,P A P B (2)判断A 与B 是否为互斥事件，并求．
()P A B 18．已知，设直线：，直线.m ∈R 1l
10x my -+=2l 440
mx y m --+=(1)若，求m 的值；
12l l ∥
(2)当与相交时，求交点I 的坐标（用m 表示），并证明点I 恒在一条定直线上.
1l 2l 19．如图所示，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴AO 的截面是等边三角形SAB ，点2m r =Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．
(1)求此圆锥的体积和表面积；
(2)求异面直线PQ 与SO 所成角的大小；
(3)若一只蚂蚁从Q 点沿着圆锥的侧表面爬至P 点，请你能否作出合情的假设，来估算该蚂蚁行程的最小值（精确到0.01m ）．
20．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，
Γ22
221x y a b +=0a b >>1
F ()
2F )
点P 是上一点，直线l （）．Γ0y -=m ∈R
(1)当时，已知直线l 恰经过的右顶点A ，求m 的值；b Γ
(2)当P 同时是l 上一点且
，求a 的值；
m =12π
6F PF ∠=
(3)设直线交l 于点Q ，对每一个给定的，任意满足
的实数a ，都有
2PF m ∈R 22
3(1)4a m ≤
+成立．则当m 变化时，求的最小值．
21
||2QF a
≥2||QF 21．有限数列，若满足，是项数，则称满足性质.{}n a 12131||||||m a a a a a a -≤-≤≤- m {}n a p （1）判断数列和是否具有性质，请说明理由.
3,2,5,14,3,2,5,1p （2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围.
11a =q p q
（3）若是的一个排列都具有性质，求所n a 1,2,...,m 1(4),(1,2...1),{},{}k k n n m b a k m a b +≥==-p 有满足条件的.
{}n a
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1．1
y =根据抛物线的性质得结论．
【详解】由抛物线方程得，焦点为，准线方程为．2p =(0,1)-1y =故．1y =2．##32.565
2
【分析】根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算即可.
【详解】因为，所以该小组成员年龄的第25百分位数是，
1225%3⨯=1
(3233)32.5
2⨯+
=故答案为.32.53．
【详解】由面积为
的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为
.所以底面半径为1.
.
4【分析】求出，再利用点到平面的距离公式，求出答案.AO
【详解】由题知，设点到平面的距离为，
()
1,2,1AO =-
A αd
则
AO n d n ⋅===
所以点到平面A
α故答案为5．220
【分析】由频率分布直方图的面积和为求出，再计算出结果即可.
1a
【详解】由频率分布直方图可知
，解得
()0.0100.0100.0250.0150.005101a +++++⨯=，
0.035a =这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为，
()4000.0350.0150.00510220
´++´=故2206．25.6
【分析】利用分层抽样的平均数公式、方差公式计算即得.
【详解】由分层随机抽样抽取的样本中男生有30人，女生有20人，得男生所占的权重为
，女生所占的权重为，
1303
0.6
30205w =
==+210.60.4w =-=而男生身高的平均数，方差，女生身高的平均数，方差
，1170cm x =2
116s =2165cm x =2225s =估计该校学生身高的平均数，
11220.61700.4165168x w x w x =+=⨯+⨯=方差
22222
111222[()][()]s w s x x w s x x =+-++-.220.6[16(170168)]0.4[25(165168)]25.6=⨯+-+⨯+-=故25.6
7【分析】依据题意将题目转化为平行线间距离的最值问题，利用平行线间距离公式建立方程，求解参数值即可.【详解】
由双曲线方程可得，则双曲线的一条渐近线方程为，
22
1,x y -=1,1a b ==y x =因为双曲线无限接近于渐近线，且显然直线与直线平行，
y x =10x y -+=
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则两直线之间的距离即为的最大值，此时
d c
c d ==
=
8．##1
40.25
【分析】根据相互独立事件和概率的加法公式进行计算可得答案.
【详解】设比赛A 获胜为事件M ，比赛C 获胜为事件N ，比赛B 获胜为事件A B ､,A C C B ､Q ，
且相互独立，则
，
,,M N Q ()()()12P M P N P Q ===
设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D ，则()()()()()()()
P D P M P N P Q P M P Q P N =+.
11111112222224=
⨯⨯+⨯⨯=故答案为.1
4
9．4
【分析】根据题意，由数列的通项公式可得，即可得到的最大值是，360a a ==n m S S -53S S -然后代入计算，即可得到结果.
【详解】由
可得或，即，2
9180n a n n =-+-=3n =6n =360a a ==又函数
的图像开口向下，
()2918
f x x x =-+-所以数列
的前3项为负数，当时，数列中的项均为负数，
{}n a 6n >在的前提下，的最大值是，
m n <n m S S -5345S S a a -=+其中，24449182a =-+⨯-=2
5559182
a =-+⨯-=所以5345224S S
a a -=+=
+=故4
10．
【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别
表示出离心率，根据及即可求得的范围．
121e e <22
20a b ->2
1e e 【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的，
222
1c a b =-22222222c b a b a b =+-=-则椭圆与双曲线共焦点，设，则
，，
12c c c ==1c e a =
2c
e b =，，
2
12c e e ab ∴=
21e a e b =，
121e e < ，
2221c a b a b
ab ab b a -∴==-<设，则，
a
t b
=>11t t -<解得
，即
0t <<
0a b <<
又，且，
22
2
0a b -> 0a b >>，
a
b ∴>故
的取值范围是
．2
1e e
故11．##3
2 1.5
【分析】建立空间直角坐标系，作出辅助线，证明出⊥平面，故点在平面
AF 11D EHB P 上，故当点重合时，线段长度取得最大值，求出最大值.
11D EHB ,P H 1D P 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标D 1,,DA DC DD ,,x y z 系，
取的中点，的中点，连接，CD E BC H EH 则，()()()()()()
110,0,1,0,0.5,0,0.5,1,0,1,1,1,0,1,0.5,1,0,0D E H B F A 则
，
()()()()
1111,1,0.5,0,0.5,1,1,1,0,0.5,0.5,0AF D E D B EH =-=-==
9 / 18
，故平行，
112D B EH = 11,D B EH
故
，
()()11,1,0.50,0.5,100.50.50
AF D E ⋅=-⋅-=+-=
，
()()111,1,0.51,1,0110
AF D B ⋅=-⋅=-+=
故⊥
，⊥，
AF 1D E
AF 11D B 又，平面，1111D E D B D = 111,D E D B ⊂11D EHB 故⊥平面，AF 11D EHB 故点在平面上，
P 11D
EHB 故当点重合时，线段长度取得最大值，
，
,P H 1D P ()()()
10.5,1,00,0,10.5,1,1D H =-=-
故
.1D P 32=故3
2
12．##
89π8
9
π【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得且，可得围成的
a ≤
2a b ×= 1= b a 空间几何体是以原点为顶点，高为2.
【详解】由已知得，所以，224a a tb ≥+ 2223840
a ta
b t b +⋅+≤ 所以存在实数，使得不等式
有解，
t 2
241630
t t a ++≤
则有
，解得
()
2
2Δ164430
a =-⨯⨯≥
a ≤
又因为且，所以在方向上的数量投影是，
2a b ×=
1=
b a b 2所以
围成的空间几何体是以原点为顶点，高为a
2故由构成的空间几何体的体积为.a 2
18ππ239⋅⋅=
故答案为.8π
9
13．C
【分析】利用中位数、极差、方差、标准差的意义判断即可.
【详解】在统计量中，极差、方差、标准差都是刻画某样本离散程度的量，中位数是刻画某样本集中趋势的量，
所以不能度量某样本离散程度的是中位数.故选：C 14．B
【详解】如图，建立直角坐标系
依题意可得，
10,15,20,OA BC OB APO BPC
===∠=∠则(0,0),(0,10),(20,0),(20,15)
O A B C 设，因为，所以(,)P x y APO BPC ∠=∠tan tan APO
BPC ∠=∠则
，即
OA
BC OP
BP
==
化简可得，即22323200x x y ++-=22
(16)576
x y ++=
11 / 18
所以点轨迹为圆，故选B P 15．D
【分析】通过平行得到平面与的交点，从而得到与面的交线，再由平行得到11C D H 1111D C B A 与平面的交线，从而确定点的位置，根据为的四等分点得到G 为AD 的三等ABCD G H 11C D 分点，从而得到的长.AG
【详解】
如图，平面与平面的交线与平行，即过点作的平行线，交于点
1B EF 11CC D D 1B E F 1B E 11C D ，连接，
H 1B H 因为，分别为棱和的中点，所以为的四等分点,
E F AB 1DD H 11C D 过点作，交于点.从而G 为AD 的三等分点，故
.E 1EG B H AD G 24233AG =⨯=
故选：D.16．A
【分析】根据柱体体积、表面积的求法，分别表示出和，分析即可得答案.
1
1V S 22V S 【详解】设底面面积为S ，底面周长为C ，则，，所以，1
1V S AA =⋅11S C AA =⋅11V S S C =
设斜棱柱的高为，则，
h 2V S h =⋅2AB BC CD DE EF FA
S AB h BC h CD h DE h EF h FA h =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯,
()AB BC CD DE EF FA h Ch >+++++⨯=所以.21
21V V Sh S S Ch C S <==故选：A
17．(1)1
4
(2)512
【分析】（1）根据题意直接写出样本空间的所有基本事件，再分析满足的基本事件求解即可；
（2）判断是否能同时发生即可判断与是否为互斥事件，再结合（1）可得；()P A B 【详解】（1）样本空间：
，()()()()()()()()()()()(){}0,1,0,2,0,3,1,0,1,2,1,3,2,0,2,1,2,3,3,0,3,1,3,2Ω=所以
.因为，，
()12
n Ω={(1,0),(1,2),(1,3)}A ={(0,2),(1,2),(3,2)}B =所以，.从而
，.
()3n A =()3n B =31()124P A =
=31
()124P B ==（2）因为，故与不是互斥事件.{(1,2)}A B = A B 又.所以.
{(1,0),(1,2),(1,3),(0,2)(3,2)}A B = ()5n A B = 从而
.
5
()12P A B =
18．(1)2
m =-(2)
，点I 恒在定直线上22,22m I m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭210x y +-=【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得，然后验证是否重合可得；m （2）联立直线方程求解可得点I 的坐标，然后消参可知点I 在定直线上.【详解】（1）因为，所以，解得，
12l l ∥1(4)()m m ⨯-=-⨯2m =±当时，直线：，直线：即，显然此时两直线
2m =1l
210x y -+=2l 2420x y -+=210x y -+=重合，
当时，直线：，直线：即，符合题意，
2m =-1l
210x y ++=2l 2460x y --+=230x y +-=故.
2m =-（2）由（1）知，当，相交时，
1l 2l 2m ≠±
13 / 18
联立，解得，∴，10440x my mx y m -+=⎧⎨--+=⎩2222m x m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩22,22m I m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭因为，即，
2222
21222m m x y m m m -⨯++=
+==+++210x y +
-=所以点I 恒在定直线上.
210x y +-=19．(1)
；表面积3
212πm (2)
(3)能；2.95m
【分析】(1)利用圆锥体积公式和表面积公式求解；(2)根据空间向量的坐标运算求异面直线所成的角；(3)利用侧面展开图，根据两点之间直线最短求解.【详解】（1）因为，所以
，
2m r
=24m
SB AB r ===
，
=所以圆锥的体积为，
3
1π3V =表面积为
.
22
1
π2
π12πm 2
S r r SB =+⨯⨯=（2）
建立如图所示空间直角坐标系，
则
,(0,0,
(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),S O A Q P 所以,
(0,0,(2,1,SO PQ =-=-
设异面直线PQ 与SO 所成角为，
α则
cos cos ,SO PQ α=< 所以异面直线PO 与SO 所成角为
（3）将该圆锥的侧面夹在母线的部分展开，如图，,SQ SA 连接，
PQ 因为，，
12ππ4AQ r =⨯= π4AQ ASQ SA ∠==所以中，由余弦定理可得，
SPQ
222
2cos 20PQ SP SQ SP SQ ASQ =+-⋅∠=-
.
2.95m
≈20．(1)3m =
(2)3a =【分析】（1）利用椭圆参数的几何意义，再由直线过右顶点，即可求出；,,a b c m （2）由椭圆焦半径三角形，结合已知两角和焦距，即可解得；a （3）用几何意义得到的最小值，从而得到的关系，再结合已知条件去解出的范
2
QF ,a m
m 围，即可求解问题.
【详解】（
1）由得：，所以右顶点，
b c 222639a b c =+=+
=()30
A ，得.
y -=03m =⇒=（2）
15
/ 18
当时, 直线l
经过焦点，m =30y --=2F 点P 是上一点且P 同时是l 上一点，则如图可知：
，
Γ1
2π
6F PF ∠=
又因为直线l ，2π
3PF A ∠=
用三角形的外角等于不相邻的两内角和可知：，
12πππ366PF
F =
-=
∠即，再由余弦定理得：
，
212==2PF F F 2
2
2
121221212=+2cos 36
PF PF F F PF F
F F F P
-∠=即
，
1=6
PF 由椭圆的定义得
.12263a PF PF a =+=
+⇒=（3
）
由几何性质可知
的最小值是点到直线l 的距离，
2
QF 2
F 0y -=即
d 由，即
21
||2QF a ≥2a 3a ≤-因为任意满足
的实数a ，都有
成立，223(1)4a m ≤
+21||2QF a ≥即任意满足
的实数a ，都有
22
3(1)4a m ≤
+3
a ≤-则，即：，
()
22
3(1)34m +≤2
3110m -+≥
解得：
或，
m ≤
m ≥
所以当m 变化时， 或31≥31≤-
即
或
31
-3-而
的最小值为
2
QF
所以.
2||QF 关键点点睛：对任意满足
的实数a ，都有
成立的充要条件是223(1)4a m ≤
+21
||2QF a ≥
，从而问题得以求解.
()
22
3(1)34m +≤21．（1）第一个数列具有性质，第二个数列不具有性质；理由见解析；（2）
p p ；（3）答案见解析.
(]()
,20,q ∈-∞-+∞ 【分析】（1）结合题设中的定义可判断给定的两个数列是否具有性质；
p （2）等比数列具有性质等价于
对任意的恒成立，
p ()1
1(1)120n n q q
q q --⎡⎤-+-≥⎣⎦,2n N n ∈≥就分类讨论后可得的取值范围.1,01,10,1q q q q ≥<<-≤<<-q
（3）设
，先考虑
均不存在具有性质的数列，再分别考虑
1=a p
{}
3,4,3,2p m m ∈--…,p 时具有性质的数列，从而得到所求的数列.
1,2,,1p m m =-p 【详解】（1）对于第一个数列有，满足题意，该数列满足性质|23|1,|53|2,|13|2-=-=-=p 对于第二个数列有不满足题意，该数列不满足性质.|34|1,|24|2,|54|1-=-=-=p （2）由题意可得，
{}
111,2,3,...,9n n q q n --≥-∈两边平方得： 222
1212+1n n n n q q q
q ---+≥-整理得：
()11
(1)120
n n q q q q --⎡⎤-+-≥⎣⎦当时，得
， 此时关于恒成立，1q ≥1
(1)20n q q -+-≥2n ≥所以等价于时，所以，2n =(1)20q q +-≥(2)(1)0q q +-≥所以或者，所以取.
2q ≤-1q ≥1q ≥
17 / 18
当时，得
， 此时关于恒成立，01q <<1
(1)20n q q -+-≤n 所以等价于时，所以，
2n =(1)20q q +-≤(2)(1)0q q +-≤所以，所以取.21q -≤≤
01q <≤当时，得
.
10q -≤<1
1(1)20n n q q q --⎡⎤+-≤⎣⎦当为奇数的时候，得， 很明显成立，n 1
(1)20n q q -+-≤当为偶数的时候，得， 很明显不成立，
n 1
(1)20n q
q -+-≥故当时，矛盾，舍去.10q -≤<当时，得
.
1q <-1
1(1)20n n q
q q --⎡⎤+-≤⎣⎦当为奇数的时候，得， 很明显成立，
n 1
(1)20n q
q -+-≤当为偶数的时候，要使恒成立，
n 1
(1)20n q q -+-≥所以等价于时，所以，
2n =(1)20q q +-≥()()021q q +-≥所以或者，所以取.2q ≤-1q ≥2q ≤-综上可得，.
(]()
,20,q ∈-∞-+∞ （3）设
，
，
1=a p
{}
3,4,3,2p m m ∈--…,因为， 故，12131||||||m a a a a a a -≤-≤≤- 12||1a a -=所以可以取或者，2a 1p -1p +若，，则，
1a p =21a p =-31a p =+故
或
（舍，因为
），
42
a p =+42
a p =-3242
a a a a ->-所以（舍，因为
）.
52
a p =-3252
a a a a ->-若，，则，
1a p =21a p =+31a p =-故
（舍，因为
），或42
a p =+3242
a a a a ->-42
a p =-所以（舍，因为
）.
52
a p =+3252
a a a a ->-所以
均不能同时使
，都具有性质.
{}
3,4,3,2p m m ∈--…,{}n a {}n b p
当时，即有，1p =21311m a a a a a a -≤-≤≤- 故，故， 23m a a a ≤≤≤ 232,3,,m a a a m === 故有数列
：满足题意.
{}n a 1,2,3,1,m m -…
,当时，则且，故，2p =21a =3122m a a ≤-≤≤- 33,,m a a m == 故有数列
：满足题意.
{}n a 2,1,3,1,m m -…
,当时，，
p m =12131m a a a a a a -≤-≤≤- 故，故， 23m a a a ≥≥≥ 231,2,,1m a m a m a =-=-= 故有数列
：满足题意.
{}n a ,1,321m m -…
,,,当时，则且，1p m =-2a m =3111m m a m a ≤--≤≤-- 故，32,,1m a m a =-= 故有数列
：满足题意.
{}n a 1,,2,3,321m m m m ---…
,,,故满足题意的数列只有上面四种.
本题为新定义背景下的数列存在性问题，先确定
时均不存在具有性质
{}
3,4,3,2p m m ∈--…,的数列是关键，依据定义枚举再依据定义舍弃是核心，本题属于难题.
p。