2.2等差数列1
人教版高中数学必修五第二章2.2.1等差数列的概念与通项公式【教案】
2.2等差数列的概念与通项公式一、教学目标：1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力3.情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
二、教学重点：研究等差数列的概念以及通项公式的推导。
教学难点；（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。
三、学情及导入分析：高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。
本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.弄清楚等差数列与通项公式的含义以及通项公式的推导过程。
四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新1、知识链接；数列的通项公式与递推关系.学生回答，引导温故知新。
由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识创设问题情景：1.下述数列有什么共同特点？根据下述数列的共同特点，可以给出等差数列的定义吗？能将以上的文字语言转换成数学符号语言吗？[来源:学#科#网Z#X#X#K]引例1：从0开始，将5的倍数从小到大排列，得到的数列？引例2：从1开始，将自然数从小到大排列，得到的数列？引例3：为了保证考试笔试的秩序，每次放入2个人考试，依次排列下去，已经考试的人员组成一个什么数列？得出等差数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的差(公差d)为同一常数，这样的一组数列，叫做等差数列”。
高考数学必修五 第二章 2.2 第1课时等差数列的概念及通项公式
§2.2 等差数列第1课时 等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念.知识点一 等差数列的概念 思考 给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4，…； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？答案 从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.梳理 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零. 知识点二 等差中项的概念思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案 插入的数分别为3,2,0，a ＋b2.梳理 如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.知识点三 等差数列的通项公式思考 对于等差数列2,4,6,8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋2＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋2＝a 1＋3×2. 试猜想a n ＝a 1＋( )×2. 答案 n －1梳理 若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明.1.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)2.任意两个实数都有等差中项.(√)3.从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列.(√)4.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.(√)类型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n＋1－a n(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数.跟踪训练1数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 A解析∵a n＋1－a n＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{a n}是公差为2的等差数列.类型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列. 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思与感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项. 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.类型三 等差数列通项公式的求法及应用 命题角度1 基本量(a 1，d )的计算例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n . 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36.解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .反思与感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{a n}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.跟踪训练3(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项.命题角度2等差数列的实际应用例4某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，可以建立一个等差数列{a n}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.即需要支付车费23.2元.反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.跟踪训练4在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解用{a n}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴a n＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.1.下列数列不是等差数列的是( ) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D.－3，－2，－1,1,2考点 等差数列的概念 题点 等差数列概念的理解运用 答案 D2.已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3.已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 B解析 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A.52 B.62 C.－62D.－52考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 A解析 公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝－5＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 5.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A.92B.47C.46D.45考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.2.由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1.若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A.公差为1的等差数列 B.公差为13的等差数列C.公差为－13的等差数列D.不是等差数列 考点 等差数列的概念 题点 等差数列概念的理解运用 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列.2.在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A.52 B.51 C.50 D.49 考点 等差数列的概念 题点 等差数列概念的理解运用答案 A解析 因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d＝2＋100×12＝52.3.若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A.b －a B.b －a 2C.b －a 3D.b －a 4考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 C解析 由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ， 所以d ＝b －a3.4.已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A.15 B.22 C.7 D.29考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项 答案 A解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A.第7项 B.第8项 C.第9项D.第10项考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.6.若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项. ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.7.一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x 2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ， ∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A.15 B.30 C.31 D.64考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，得⎩⎨⎧a 1＝－174，d ＝74，∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15.二、填空题9.若一个等差数列的前三项为a ，2a －1，3－a ，则这个数列的通项公式为________. 考点 等差数列的通项公式题点 求通项公式答案 a n ＝n 4＋1，n ∈N * 解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54. ∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74， ∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1，n ∈N *. 10.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.考点 等差数列的应用题题点 等差数列的应用题答案 6766解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________.考点 等差数列的通项公式题点 通项公式的综合应用答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3. 三、解答题12.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，设b n ＝a n 2n －1. (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.考点 等差数列的概念题点 等差数列概念的理解运用(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝n ，又b n ＝a n 2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·2n －1. 13.已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由；(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由. 考点 等差数列的通项公式题点 通项公式的综合应用解 由题意可知，a 1＝3，d ＝4，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1.(1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34，∴135是数列{a n }的第34项.令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *，∴4m ＋19是数列{a n }的第m ＋5项.(2)∵a p ，a q 是数列{a n }中的项，∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1.∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1)＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1，其中2p ＋3q －1∈N *，∴2a p ＋3a q 是数列{a n }的第2p ＋3q －1项.四、探究与拓展14.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 10＝________. 考点 等差数列的概念题点 等差数列概念的理解运用答案 110解析 易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110. 15.已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.考点 等差数列的通项公式 题点 求通项公式解 由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项 分别构成公差为－2的等差数列. 当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数). 当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2 ＝7－2k .∴a n ＝7－n (n 为偶数).∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。
人教B版数学必修五：2.2《等差数列》学案(含答案解析)
§2.2 等差数列1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)；(4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．例如：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________． 解析 S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)， ∵{a n }是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1. 答案 －12．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 解析 由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线， ∴a m ＋n －a n (m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －m m －n＝－1，易得a m ＋n ＝0. 答案 03．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)． 当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷． 例如：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 解析 设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2) 由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ， ∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ， ∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1. ∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q ) ＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q ) ＝－(p ＋q )． 答案 －(p ＋q ) 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a m b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶．当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．解析 S 偶－S 奇＝n2d ＝5d ，∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3.答案 35．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.例如：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________．答案 2 009 4 018一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．解 {a n }是等差数列，证明如下：因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)，所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2，所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)， 即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0，所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)， 所以数列{a n }为等差数列．二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了．例2 在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解 (1)∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5. 解方程组得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44.(2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有： ⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4a (a 2－d 2)＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2. ∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2. (3)设公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51(舍去).因此，a ＝2，k ＝50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和)(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.(1)解 由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.(2)证明 ①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1.②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.四、等差数列前n 项和的最值 方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4 (1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？(2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大．(2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上．令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0；当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0， 于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |， 则由上面的求解过程知： 当1≤n ≤21，n ∈N *时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a n ＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n .当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n | ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝32n 2－1232n ＋1 260. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.当λ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1] ＝12n ＋1×2n ＋1＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1.六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．ij(1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式．解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a 2j ＝7＋5(j －1)； ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， 因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .1．审题不细心，忽略细节而致错例1 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d 的取值范围．[错解] a 10＝a 1＋9d ＝－24＋9d >0，∴d >83.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a 9≤0.[正解] 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋(9－1)d ≤0a 10＝－24＋(10－1)d >0， 解不等式得：83<d ≤3.温馨点评 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.2．忽略公式的基本特征而致错例2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值． [错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0， 则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ，所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点．[正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k＝41k ，所以a 9b 9＝8841.温馨点评 等差数列的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，是关于n 的二次函数式，且常数项为零，当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况(否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S nT n＝5n ＋32n ＋7矛盾)． 3．对数列的特点考虑不周全而致错例3 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．[错解] 设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53.∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0. ∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数， 而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.4．忽略题目中的隐含条件而致错例4 一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．[错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°.另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得：n 2－25n ＋144＝0. 所以n ＝9或n ＝16.即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15°×5°＝195°>180°应该舍掉．[正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去． 所以凸n 边形的边数为9.例 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 分析 本题可从基本方法入手，先求a 1，d ，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n 项和的性质．解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 方法二 设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法三 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ①(p ≠q )S q＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ②①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d＝－(p －q )． 又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1，∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d＝(p ＋q )(－1)， ∴S 110＝－110.方法四 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2.又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.1．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解 设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．2．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25得a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，因为d ≠0 所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数． 又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.赏析试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处．第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力．。
人教版高中数学必修五 2.2 等差数列
知识2：等差中项 问题导思：
如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么它们之间有怎样的 数量关系？ 答：因为 A－a＝b－A，所以 a＋b＝2A.
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．它 们之间的关系式是 a＋b＝2A .
4．已知等差数列{an}：－1,2,5,8，…，求公差 d 和 a10. 解：∵a1＝－1， ∴d＝a2－a1＝2－(－1)＝3， ∴a10＝a1＋(10－1)×d＝－1＋9×3＝26.
变式训练 3：《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹
子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，
下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为( )
A．1 升
B.6676升
C.4474升
D.3373升
【解析】设所构成数列为{an}，且其首项为 a1，公差为 d， 依题意得aa17＋＋aa28＋＋aa39＋＝a44，＝3， 即43aa11＋＋62d1＝d＝3，4，
2．等差数列的通项公式可以解决以下三类问题： (1)已知 an，a1，n，d 中的任意三个量，可求出第四个量； (2)已知数列{an}的通项公式，可以求出等差数列{an}中的 任一项，也可以判断某一个数是否是该数列中的项； (3)若已知{an}的通项公式是关于 n 的一次函数或常数函 数，则可判断{an}是等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)×5＝5n－4， ∴a80＝5×80－4＝396.
(2)a1＝a2－d＝12＋2＝14， ∴an＝14＋(n－1)×(－2)＝－20， ∴n＝18.
类型3：等差数列的实际应用问题 例 3：梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽 110 cm，中间还有 10 级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．
2.2等差数列(一)
思考 :
(1)1，3，6，10，15，…是等差数列吗? (2)常数列是等差数列吗?它的公差是多少?
二、新课讲解
等差中项 :
由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成最简单的 等差数列.这时, A叫做a与b的等差中项.
§ 2.2 等差数列 (一)
一、新课引入
观察以下数列 :
(1)0，5，10，15，20，25，…
(2)18，15.5，13，10.5，8，5.5. (3)10072，10144，10216，10288，10360.
问题 :
(1)三个数列各自的特点? (2)三个数列有何共同点?
二、新课讲解
等差数列 :
(1)求等差数列8，5，2，…的第20项;
(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项.
练1 、在等差数列an : 中 (1)已知a1 2, d 3, n 10, 求an ; (2)已知a1 3, an 21, d 2, 求n; (3)已知a1 12, a6 27, 求d ;
迭 代 法 )
a2 a1 d ,
an an 1 d a1 ( n 1)d .
an a1 (n 1)d
(
Hale Waihona Puke 累 a3 a2 d , 加 a4 a3 d , 法 )
an an 1 d .
(
二、新课讲解
等差数列通项公式可解决的问题 : (知三求一) 例 、解以下问题 : 1
(1) A a b A 2 A a b A
【数学】2.2 等差数列及其通项公式 课件1
所以等差数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d（n∈N*）
…
等差数列的通项公式推导2（叠加）
a2 a1 d
a4 a3 d an1 an2 d
an an1 d
叠加得
a3 a2 d
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
…
若p=q呢?
若m n 2 p, 则有am an 2ap
例题分析
练习 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，
可得a1+a20=10
小结 ★掌握等差数列的通项公式，并能运用公 式解决一些简单的问题
an=a1+(n－1)d
★ 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力
等差数列的性质
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数） 2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项 ac b 2b= a+c
am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d a p aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d
am an a p aq
2a1 ( p q 2)d mn pq
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，-3a +2， 则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2 提示1: 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6) 2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an=4 3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； d=2, (2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q
§2.2.1等差数列(一)
a n a 1 ( n 1) d
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…
用一下
§2.2.1等差数列(一) a n a1 ( n 1 )d
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
Q 解： a1 = 8 , d = 5 - 8 = - 3 , n = 20 , a 20 8 ( 20 1) ( 3 ) 49 (2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项
公式为：
an＝a1＋(n－1)d.
推导出公式：an＝am＋(n－m)d . 或an＝pn＋q (p、q是常数)
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§2.2.1等差数列(一)
有几种方法可以计算公差d:
d a n a n 1
d
d
an a1 n1
an am nm
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§2.2.1等差数列(一)
例3. 梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110，中间 还有10级，各级的宽度成等差数列. 计算中间各级的宽.
解：设 a 表示梯子自上而下各级宽度 所成的等差数列，由知己条件，可知
课堂小结
1. 等差数列定义：即an－an－1 ＝d (n≥2). 2.等差数列通项公式： an＝a1＋(n－1)d (n≥1). 推导出公式： an＝am＋(n－m)d . 或an＝pn＋q (p、q是常数)
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2.2.1等差数列
【延伸探究】
将本例2的条件改为“f(x)= 1
证明数列 {
1 } 为等差数列. a n 1
2x
”,其他条件不变,试
【证明】因为f(x)= 1 ,
1 所以 a n (n≥2), 2 a n 1
1 1 所以 a n 1 a n 1 1
2x
所以 1 为公差为-1的等差数列.
3.已知{an}为等差数列,若a1=6,a3+a5=0,则数列{an}的
通项公式为____________. 【解析】设等差数列{an}的公差为d,因为a1=6,a3+a5=0,
所以2×6+6d=0,解得d=-2.
所以an=6-2(n-1)=8-2n. 答案:an=8-2n
4.已知等差数列-5,-2,1,…,则该数列的第20项为
a1 2d 3, 所以 a1 d a1 7d 14，
解得a1=-1,d=2,
所以a10=-1+9×2=17. 答案:17
类型一
等差数列的通项公式及其应用
【典例】1.(2017·杭州高一检测)在等差数列{an}
中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为 世纪金榜导学号
解得a8=24, 所以2a10-a12=2(a1+9d)-(a1+11d)=a1+7d=a8=24.
2.在等差数列{an}中,若a2+a4+a9=12,则a3+a7=
____________.
【解析】在等差数列{an}中,a2+a4+a9=12,所以 a5+a1+a9=12=3a5,解得a5=4,则a3+a7=2a5=8.
高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念与通项公式 新人教A版必修5
• [解析] ∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)， • ∴{an}是等差数列，其首项a1＝6×1－1＝5，公差为6.
命题方向2 ⇨等差数列的证明
列．
例题 2 已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，c＋b a，a＋c b也成等差数
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
第二章
数列 2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念与通项公式
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
汉朝的天文著作《周髀算经》中有记载，大意如下：在平地
上立八尺高的土圭，日中测影，在二十四节气中，冬至影长1丈3
尺5寸，以后每一节气影长递减9寸9
• 『规律总结』 定义法是判定数列{an}是等差数列的基本 方法，其步骤为：
• (1)作差an＋1－an； • (2)对差式进行变形； • (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数
列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列 {an}不是等差数列．
• 〔跟踪练习1〕
a＋b ___2___.
1．下列数列是等差数列的是 A．13，15，17，19 C．1，－1,1，－1
B．1， 3， 5， 7 D．0,0,0,0
(D )
[解析] ∵15－13≠17－15，故排除A；∵ 3－1≠ 5－ 3，故排除B； ∵－1－1≠1－(－1)，故排除C，∴选向3 ⇨等差数列的通项公式
• 例题 3 在等差数列{an}中： • (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； • (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. • [分析] 根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，由条
2.2 等差数列
2.2 等差数列1、等差数列的概念：1 2,n n d a a n n N d -=-≥∈（）为常数（用来判断数列是否为等差数列）2、等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a ；推广：d m n a a m n )(-+=，从而mn a a d mn --=。
3、等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥⇔=+课堂训练 一.选择题。
1.2005是数列7,13,19,25,31,, 中的第（ ）项. A. 332 B. 333 C. 334 D. 3352.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（ ）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列3.若a ∈、b 、c R ，则“2b a c =+”是“a 、b 、c 成等差数列”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4.等差数列3,7,11,,--- 的一个通项公式为（ ）A. 47n -B. 47n --C. 41n +D. 41n -+5.首项为24-的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ） A. 83d >B. 3d <C. 833d ≤<D. 833d <≤ 6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++， ，32313n n n a a a --++，是（ ）A.一定不是等差数列B. 一定是递增数列C.一定是等差数列D. 一定是递减数列二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上. 7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = . 8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = .9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = .10.如果等差数列{}n a 的第5项为5，第10项为5-，则此数列的第1个负数项是第 项. 【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,--- 中的项，若是，是第几项？12.已知(1)2f =，2()1(1)()2f n f n n N +++=∈，求(101)f .同步提升例1若{a n }是等差数列,a 15＝8,a 60＝20,求a 75.【解答】设{a n }的公差为d .方法一由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.∴a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.方法二∵a 60＝a 15＋(60－15)d ,∴d ＝a 60－a 1560－15＝20－860－15＝415,∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.【总结】方法一.先求出a 1,d ,然后求a 75;方法二.应用通项公式的变形公式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解.【变式1】在等差数列{a n }中,已知a m ＝n ,a n ＝m ,求a m ＋n 的值.【变式1】在等差数列{a n }中,已知a m ＝n ,a n ＝m ,求a m ＋n 的值.【解答】方法一设公差为d ,则d ＝a m －a n m －n ＝n －mm －n＝－1, 从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ,b 为常数), 则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1,b ＝m ＋n .∴a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0. 二.等差数列的性质例2已知等差数列{a n }中,a 1＋a 4＋a 7＝15,a 2a 4a 6＝45,求此数列的通项公式. 【解答】∵a 1＋a 7＝2a 4,a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15, ∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45,∴a 2a 6＝9,即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9, (5－2d )(5＋2d )＝9,解得d ＝±2. 若d ＝2,a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3; 若d ＝－2,a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .【总结】要求通项公式,需要求出首项a 1和公差d ,由a 1＋a 4＋a 7＝15,a 2a 4a 6＝45直接求解很困难,我们可以换个思路,利用等差数列的性质,注意到a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝2a 4问题就简单了.【变式2】成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数. 【解答】设这四个数为a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d ,则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.∴这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.三.等差数列的判断例3已知数列{a n }满足a 1＝4,a n ＝4－4a n －1 (n ≥2),令b n ＝1a n －2.(1)求证:数列{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.分析计算b n ＋1－b n ＝常数,然后求出b n ,最后再由a n 与b n 的关系求出a n .(1)证明∵a n ＝4－4a n －1 (n ≥2),∴a n ＋1＝4－4a n(n ∈N *). ∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12.∴b n ＋1－b n ＝12,n ∈N *.∴{b n }是等差数列,首项为12,公差为12.(2)解b 1＝1a 1－2＝12,d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2.∴1a n －2＝n 2,∴a n ＝2＋2n. 【总结】判断一个数列{a n }是否是等差数列,关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数.【变式3】若1b ＋c , 1c ＋a , 1a ＋b 是等差数列,求证:a 2,b 2,c 2成等差数列. 证明∵1b ＋c , 1c ＋a , 1a ＋b 是等差数列,∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a .∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2∴a 2＋c 2＝2b 2,∴a 2,b 2,c 2成等差数列. 【小结】1.证明数列{a n }为等差数列的方法(1)定义法:a n ＋1－a n ＝d (d 为常数,n ≥1)⇔{a n }为等差数列或a n －a n －1＝d (d 为常数, n ≥2)⇔{a n }为等差数列.(2)等差中项法: 2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列.(3)通项法:a n ＝pn ＋q (p 、q ∈R )⇔{a n }是等差数列,只要说明a n 为n 的一次函数, 就可下结论说{a n }是等差数列.2.三个数成等差数列可设为:a －d ,a ,a ＋d 或a ,a ＋d ,a ＋2d ;四个数成等差数列可设为: a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d 或a ,a ＋d ,a ＋2d ,a ＋3d . 一.选择题1.在等差数列{a n }中,a 1＋3a 8＋a 15＝120,则2a 9－a 10的值为( ) A.24 B.22 C.20 D.－8 【解答】A2.已知等差数列{a n }中,a 2＝－9, a 3a 2＝－23,则a n 为( )A.14n ＋3B.16n －4C.15n －39D.15n ＋8 【解答】C解析∵a 2＝－9, a 3a 2＝－23,∴a 3＝－23×(－9)＝6,∴d ＝a 3－a 2＝15,∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝－9＋(n －2)·15＝15n －39.3.等差数列{a n }的公差d <0,且a 2·a 4＝12,a 2＋a 4＝8,则数列{a n }的通项公式是( )A.a n ＝2n －2 (n ∈N *)B.a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)C.a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)D.a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *) 【解答】D解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ,即a n ＝8＋(n －1)(－2),得a n ＝－2n ＋10.4.等差数列{a n }中,若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450,则a 2＋a 8等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300 【解答】C解析方法一设{a n }首项为a 1,公差为d ,a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＋a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝5a 1＋20d 即5a 1＋20d ＝450,a 1＋4d ＝90,∴a 2＋a 8＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋8d ＝180.方法二∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8,∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝52(a 2＋a 8)＝450,∴a 2＋a 8＝180.5.一个等差数列的首项为a 1＝1,末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数,那么项数n 的取值个数是( )A.6B.7C.8D.不确定 【解答】B解析由a n ＝a 1＋(n －1)d ,得41＝1＋(n －1)d ,d ＝40n －1为整数.则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个.二.填空题6.若m ≠n ,两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差分别为d 1和d 2,则d 1d 2的值为______.【解答】43解析n －m ＝3d 1,d 1＝13(n －m ).又n －m ＝4d 2,d 2＝14(n －m ).∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43.7.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,且a 4＝6,a 6＝4,则a 10＝______.【解答】125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ,即d ＝124.∴1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512,∴a 10＝125. 8.已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m －n |＝______.【解答】12解析由题意设这4个根为14, 14＋d , 14＋2d , 14＋3d .则14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋3d ＝2,∴d ＝12,∴这4个根依次为14, 34, 54, 74, ∴n ＝14×74＝716,m ＝34×54＝1516或n ＝1516,m ＝716,∴|m －n |＝12.三.解答题9.等差数列{a n }的公差d ≠0,试比较a 4a 9与a 6a 7的大小. 【解答】设a n ＝a 1＋(n －1)d ,则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11da 1＋30d 2)＝－6d 2<0,∴a 4a 9<a 6a 7.10.已知数列{a n }满足a 1＝15,且当n >1,n ∈N *时,有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ,设b n ＝1a n,n ∈N *.(1)求证:数列{b n }为等差数列.(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.(1)证明当n >1,n ∈N *时, a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4,且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.∴a n ＝1b n＝14n ＋1,n ∈N *. ∵a 1＝15,a 2＝19,∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145,∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11,∴a 1a 2是数列{a n }中的项,是第11项.2.2 等差数列课堂训练参考答案：1.C2.A3.C4.D5.D6.C7.108.219.23n - 10.811.由题意知27n a n =-,由2752n -=,得29.5n N *=∉,∴52不是该数列中的项. 又由2727n k -=+解得7n k N *=+∈,∴27k +是数列{}n a 中的第7k +项.12.∵(1)2f =，2()1(1)2f n f n ++=，∴1(1)()2f n f n +-=，∴{}()f n 是以2为首项，12为公差的等差数列，∴13()22f n n =+，∴(101)52f =.。
2.2等差数列1
8844.43米
减少6.5
9 -24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
我国现行储蓄制度规定银行支付利息方式为单 利,即不把利息加入本金计算下一期的利息.按 照单利计算本利和的公式是: 本利和=本金×(1+利率×存期)
x, 3x, 5 x, 7 x, 9 x, … 公差 d= 2x
探究1
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列： （1）2 ，( 3 ) ， 4 (3)a , ( ab ) , b
2
（2）-12，( -6 ) ，0
2.等差中项:
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b 成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项
P45 作业本
a2 4 1 3
1，4，7，10，13，16，…
等差数列的通项公式 如果一个数列 a1 , a 2 , a3 , …，an , …
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d
47 7 20 0 (n 1) n (舍) 7 2
练一练
4. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19, 求a1与d.
a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a9 3，求a12
a1 11, d 1
a12 0
( 3 ) 10072，10144，10216，10288，10360
教学设计1：2.2.1 等差数列（一）
同学甲回答
【解析】(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，
得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49；
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通
项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
通过对等差数列通项公式的推导，培养学生的观察能力及归纳推理能力.
情感、态度
与价值观
通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力及积极思维，追求新知的创新意识．
教
材
分
析
重点
1.理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；
2.体会等差数列与一次函数的联系.
难点
概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.
小组讨论，展示成果.
【解析】方法1）归纳法
根据等差数列的定义， ， ， ，….
∴ ， ， ，…，
方法2）累加法
根据等差数列的定义， ， ， ，…， ，将以上 个等式相加，得
即 ，即 .
方法3）迭代法
根据等差数列的定义，
获取新知：等差数列的通项公式
教学过程设计
教学
环节
教师活动
学生活动
(二)新知探究
例3．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
课时数
1
教法
教学手段
教学过程设计
教学
环节
教师活动
学生活动
(一)知识链接
什么是递推法和递推公式？
复习总结
答：通过给出数列任意相邻两项之间的数量关系给出数列的方法叫做递推法，其中任意相邻两项之间的数量关系式 递推公式.
2.2等差数列(一)
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定顺序排成的一列数叫做数列。 一般写成a1,a2,a3,…,an,…简记为{an}。 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来 表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一 个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
分析：由a, A, b成等差数列得：
ab A a b A, A . 2 ab 反之，若 A , 即A a b A, 2 即a, A, b成等差数列. ab A a , A, b 成等差数列. 2
等差中项：
由三个数a，A，b组成的等差数列可 以看成最简单的等差数列，这时，A叫做 a与b的等差中项.
思考:
观察一下面的这四个数列： 0, 5, 10, 15, 20 …… 48, 53, 58, 63 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5 10 072, 10 144, 10 216, 10 288, 10 360 这些数列有什么共同特点呢？ ① ② ③ ④
思考:
观察一下上面的这四个数列： 0, 5, 10, 15, 20 …… 48, 53, 58, 63 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5 10 072, 10 144, 10 216, 10 288, 10 360 这些数列有什么共同特点呢？ 以上四个数列从第2项起，每一项与 前一项的差都等于同一个常数. ① ② ③ ④
练习：
教材P 39练习第1、2、4题.
课堂小结
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2.等差数列通项公式：
高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和(一)课
以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三
求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体
求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
11
预课当跟习堂踪导讲检演学义测练1 在等差数列{a栏n}中目.索引 CONTENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
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[学习目标]
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由
其中三个求另外两个.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
2
预课当习堂导讲检学义测
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(1)a1＝65，an＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d.
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
解 由题意，得 Sn＝na1＋ 2 an＝n56－ 2 23＝－5，
解得n＝15.
又 a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－61.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
12
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(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
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解 由已知，得 S8＝8a1＋2 a8＝84＋2 a8＝172，解得 a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
13
高中数学 第二章 2.2(一)等差数列(一)课件 新人教A版必修5
第十六页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高
效 例2
已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，a＋b c，a＋c b也
成等差数列．
证明 ∵1a，1b，1c成等差数列，
本
∴2b＝1a＋1c，即 2ac＝b(a＋c)．
讲 栏 目
∵b＋a c＋a＋c b＝cb＋c＋acaa＋b＝c2＋a2＋acba＋c
开 关
(5)1,2,5,8,11，….
第七页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
解 (1)是等差数列，a1＝4，d＝3；
(2)是等差数列，a1＝31，d＝－6；
本 讲
(3)是等差数列，a1＝0，d＝0；
栏 目
(4)是等差数列，a1＝a，d＝－b；
开 关
(5)不是等差数列，a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴a2－a1≠a3－a2.
高效 探究 若数列{an}满足：an＋1＝an＋2an＋2，求证：{an}是等差
数列．
证明 ∵an＋1＝an＋2an＋2
本
⇔2an＋1＝an＋an＋2
讲 栏
⇔an＋2－an＋1＝an＋1－an
目
开 关
∴an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1(常数)．
∴{an}是等差数列．
第十三页，共25页。
跟踪训练 2 已知 a，b，c 成等差数列，那么 a2(b＋c)，b2(c
＋a)，c2(a＋b)是否能构成等差数列？
证明 ∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b.
本 ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b
讲 栏
＝(a2b＋c2b)＋(a2c＋c2a)＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)
2.2等差数列(1)
这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为A=
探究任务二：等差数列的通项公式
问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
若一等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得：
，即：
，即：
，即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项 和公差d，便可求得其通项 .
1.理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；
2.探索并掌握等差数列的通项公式；
3.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
2学习指导
阅读教材,回答下面问题：
新知：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示.
3自学检测
（1）⑴求等差数列8，5，2…的第20项；
⑵－401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
二.合作交流
1等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.
2.在等差数列 的首项是 ，求数列的首项与公差.
三.拓展延伸
1、一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.
年级：高二学科：数学
安阳县实验中学“四步教学法”导学案
Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：2.2等差数列（1）
§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和
20×(20 −1) S= ×20 = 3 800(m). 2
答 植树工人共走了3 800m路程 路程. 植树工人共走了3 800m路程.
九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达 后有一洪峰到达. 例11 九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达. 为确保安全， 为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第 二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车， 20台同型号翻斗车 二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆 工作24h后方可筑成第二道防线. 24h后方可筑成第二道防线 工作24h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施 其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min 20min能有 工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min能有 一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h 25辆车 24h内能 一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h内能 否构筑成第二道防线？ 否构筑成第二道防线？ 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位： 解 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位： h)依次设为 依次设为： h)依次设为：
∵a1 =1 a120 =120, n =120 ,
120×(1+120) ∴S120 = = 7 260 支） （ . 2
支铅笔. 答：V形架上共放着7 260支铅笔. 形架上共放着7 260支铅笔
1.回顾从特殊到一般的研究方法; 1.回顾从特殊到一般的研究方法; 回顾从特殊到一般的研究方法 2.倒序相加的算法及数形结合的数学思想; 2.倒序相加的算法及数形结合的数学思想; 倒序相加的算法及数形结合的数学思想 3.掌握等差数列的两个求和公式及简单应用， 3.掌握等差数列的两个求和公式及简单应用，及函数与方 掌握等差数列的两个求和公式及简单应用 程的思想. 程的思想.
1819 第2章 2.2 2.2.1 2.2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式
双 基
量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．
合 作 探 究 • 攻 重
2．已知数列的其中两项，求公差 d，或已知一项、公差和其中一项的序 号，求序号的对应项时，通常应用变形 an＝am＋(n－m)d.
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
[跟踪训练]
双
知
基
2．已知递减等差数列{an}前三项的和为 18，前三项的积为 66.求该数列
• 固
新
双
知
合 作 探 究 • 攻 重
可知aa11＋ ＋411dd＝＝1301，， 解得ad＝1＝3－，2， ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
基
课
(2)由 an＝13，得 3n－5＝13，解得 n＝6.
时 分
层
作
业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习 •
[规律方法]
标 •
探
固
新 知
1．从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d 中包含了四个
合 作
的通项公式，并判断－34 是该数列的项吗？
探
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预 习 • 探
[解] 依题意得aa11＋ a2aa32＝＋6a63＝ ，18，
达 标 • 固
新
双
知 合
∴3aa1·1＋a1＋3d＝ d·1a8， 1＋2d＝66，
等差数列ppt课件
(4)通项公式可变形为an=dn+(a1-d)，当d≠0时可把an 看作自变量为n的一次函数.
2.等差数列的通项公式常用的推导方法： (1)方法一(叠加法)：因为{an}是等差数列， 所以an-an-1=d，an-1-an-2=d， an-2-an-3=d，…， a3-a2=d，a2-a1=d. 将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d， 所以an=a1+(n-1)d.
2.2 等差数列 第1课时 等差数列
【知识提炼】
1.等差数列的定义 (1)从第_2_项起
条件 (2)每一项与它的_前__一__项__的差等于_同__一__个__常__数__ 结论 这个数列就叫做等差数列 有关 这个常数叫做等差数列的_公__差__，通常用字母_d_ 概念 表示
2.等差中项
(1)条件：三个数a，A，b成等差数列.
2.已知实数m是1和5的等差中项，则m等于( )
A. 5
B.± 5
C.3
D.±3
【解析】选C.由题意得2m=1+5，解得m=3.
3.等差数列{an}中，a2=-4，d=3，则a1为( )
A.-9
B.-8
C.-7
D.-4
【解析】选C.由题意得，a2=a1+d， 所以a1=a2-d=-4-3=-7.
(2)结论：A叫做a，b的等差中项. (3)关系：_A___a_2_b_.
3.等差数列的通项公式
(1)条件：等差数列{an}的首项为a1，公差为d. (2)通项公式：an=_a_1+_(_n_-_1_)_d_.
【即时小测】 1.判断 (1)常数列是等差数列.( ) (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常 数，则这个数列是等差数列.( )
第二章 2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式
§2.2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．知识点二等差中项的概念如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2. 思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b .答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b 2. 知识点三 等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( )2．数列3,2,1是等差数列．( )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( ) 4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( )题型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a ，a ，a ，a ，a ，….跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列题型二 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．反思感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．题型三 等差数列通项公式的求法及应用例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n .反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项．(2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)．(1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求{a n }的通项公式．[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( )A ．1,1,1,1,1B ．4,7,10,13,16C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,22．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－33．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于() A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( )A ．公差为1的等差数列B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列 D ．不是等差数列5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A ．92B ．47C ．46D ．451．判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n}(n∈N*)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于() A．4 B．3 C．2 D．12．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为()A．52 B．62 C．－62 D．－523．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为()A．52 B．51 C．50 D．494．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为()A．26 B．29 C．39 D．525．已知在等差数列{a n}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于()A．15 B．22 C．7 D．296．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b等于( ) A.14 B.12 C.13 D.238．(2018·天津市南开中学检测)在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( ) A.12 B.13 C.14 D.16二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为 ．10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升．11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 ．三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式．13．(2018·辽宁省东北育才中学月考)已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．14．已知数列{a n}中，a1＝1，a n－1－a n＝a n a n－1(n≥2，n∈N*)，则a10＝. 15．已知数列{a n}满足：a1＝10，a2＝5，a n－a n＋2＝2(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式．。
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知识加深
1.已知a、b、c的倒数成等差数列，如果a、b、c
b D. c 2.已知等差数列{an}的公差d＝1，且a1+a2+a3+· · · +a98=137 ,那么a2+a4+a6+· · · +a98的值等于 （C ）
A.97 B.95 C.93 D.91
互不相等，则 a b 为 bc c a A. a B. b
…
…
9 -24
(3) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
等差数列的定义
• 一般地，如果一个数列{an},从第2项起每 一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数 叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。
符号表示:an - an-1=d(n≥2,n∈N*),
求a12,a3n. d 1, a 0, a 12 3n 12 3n
课堂练习
练2.已知三个数成等差数列，其和15，其平方和
为83，求此三个数.
3，5，7或7，5，3.
变式：四数成等差数列，它们的和为26，第二个数与 第三个数的积为40，求这四个数.
2，5，8，11或11，8，5，2
答：需要支付车费23.2元。
例题讲解：
已知数列 {an }的通项公式为 an pn q ，其 中p,q为常数，且 p 0 ，那么这个数列一定是等 差数列吗？
例3
解：取数列 {an } 中的任意相邻两项 an与an1 (n 1)
求差得
an an1 ( pn q) [ p(n 1) q] pn q ( pn p q) p
作业
P40 1.
a C. c
（ C）
3. 若ap=q，aq=p (p≠q)，求ap+q；
ap+q =0来自课时小结1.通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义 及数学表达式： an+1-an=d(n≥1且n∈N*); 2.其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n≥1) . 3.本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任 意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。最后， 还要注意一重要关系式，an=am+(n-m)d的理解与应用。
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上， 女子举重被正式列为比赛项目。该项目共 设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重 组成数列（单位：kg）： （1）48 ，53，58，63.
在过去的三百 多年里，人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星：
相差76
（2）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062 ）
你能预测出下一次 的大致时间吗？
天文学家陈丹说: 2062年左右。
通常情况下，从地面 到10公里的高空，气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律， 请你根据下表估计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。
高度(km) 温度(℃) 1 28 2 21.5 3 15 4 8.5 5 2
8844.43米
减少6.5
在数列（ ）， 1 1 1 11 (5)1, , , , , 不是 如何求 a ？ 2 3 41005
（6）15，12，10，8，6，…
不是
通项公式的推导
设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d, 则通项公式是：
an=a1
变形
* +(n-1)d（n∈N ）
an=am +(n-m)d (n,m∈N*)
它是一个与n无关的数，所以{an }是等差数列
课堂练习
练1：在等差数列{an}中，已知a5=10,
a12=31,求首项a1与公差d . a1＝-2，d =3
小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公 差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有 其它方法吗？
变式： 已知等差数列{an}中a3=9,a9=3,
例题讲解：
例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 , -13…的项?如果是，是第几项， 如果不是，说明理由。
例题讲解：
例2
某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为 10元，即最初的4千米（不含4千米）计费10元。如果 某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一 路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
这就是数列的递推公式。
an+1-an=d (n∈N*)
练 习 一
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理 由。
（1）1，3，5，7，… 是
a1=1,d=2
（2）9，6，3，0，-3…是
（4）3，3，3，3，… 是
a1=9,d=-3 a1=3,d=0
解： 根据题意，当该市的出租车的行程大于或等 于4千米时，每增加1千米，乘客需要支付1.2元。所 以，我们可以建立一个等差数列 {an }来计算车费。 令 a1 11.2，表示4千米处的车费，公差d=1.2，那 么，当出租车行至14千米处时，n=11,此时需要支付 车费
a11 11.2 (111) 1.2 23.2（元）