高中数学人教A版选修2-1高二上学期期中考试(数学理).docx

广东省汕头市金山中学2011-2012学年高二上学期期中考试
理科数学试题 2011.10
考试范围：必修5除基本不等式外的内容。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是最佳答案）． 1、
111
242
n +++=L （ ▲ ） A 、1212--
n B 、n 212- C 、1211--n D 、n
21
1-
2、不等式0322
≥-+x x 的解集为（ ▲ ）
A 、}13|{-≤≥x x x 或
B 、}31|{≤≤-x x
C 、}31|{-≤≥x x x 或
D 、}13|{≤≤-x x
3、已知n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，a S n
n +=3，则=1a （ ▲ ）（选择最佳答案）
A 、a +3
B 、1-
C 、2
D 、1
4、设等差数列}{n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ▲ ） A 、12 B 、20 C 、40 D 、100
5、已知等差数列}{n a 和等比数列}{n b ，它们的首项是一个相等的正数，且第3项也是相等的正数，则2a 与2b 的大小关系为（ ▲ ）
A 、22b a ≤
B 、22b a ≥
C 、22b a <
D 、22b a >
6、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，并且a ＝1，b ＝3，A ＝30°， 则c 的值为（ ▲ ）。

A 、2
B 、1
C 、1或2
D 、3或2 7、下面结论正确的是（ ▲ ） A 、若b a >，则有
b
a 1
1<， B 、若b a >，则有||||c b c a >， C 、若b a >，则有b a >||， D 、若b a >，则有
1>b
a。

8、设平面内有n 条直线（3≥n ），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f = ▲；当4>n 时， )(n f = ▲. A ．4，2)2)(1(-+n n B ．4，2
)
1)(1(-+n n
C ．5，
2)1)(1(-+n n D ．5， 2
)
2)(1(-+n n
9、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且BD BC BD AB AD AB 2,32,==
=，则
C sin 的值为（ ▲ ）
A ．
33 B ．63 C ．3
6 D ．
6
6
10、设单调递增的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若104≥S ，
155≤S ，则4a 的取值范围是（ ▲ ）
A 、
4254≤<a B 、4254<≤a C 、4254<<a D 、42
5
4≤≤a 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．
11、设R 为平面上以)0,0(O ,)2,0(-A ,)2,4(B 为顶点的三角形区域（包括边界），则在区域R 上 y x +2 的最大值为 ▲ 。

12、某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30o
，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为 ▲ 。

13、已知ABC ∆的一个内角为︒120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为 ▲ 。

14、如图，在面积为1的正111A B C ∆内作正222A B C ∆，使12212A A A B =u u u u r u u u u r
，12212B B B C =u u u u r u u u u r ，12212C C C A =u u u u u r u u u u r
，依此类推， 在正222A B C ∆内再作正
333C B A ∆，……。

记正i i i C B A ∆的面积为(1,2,,)i a i n =L L ，
则a 1＋a 2＋……＋a n ＝ ▲ 。

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15．（本题12分） 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1
cos 4
B =． ⑴求b 的值；
⑵求sin C 的值． 16、（本小题满分12分）
已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项a a =1（R a ∈）,设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1a 、2a 、4a 恰为等比数列}{n b 的前三项。

⑴求数列}{n a 的通项公式及n S ； ⑵当2≥n 时，比较n
n S S S A 1
1121+++=
Λ与n n b b b B 11121+++=Λ的大小．（可使用结论：2≥n 时，12+>n n
） 17．（本题满分14分）
C 3
A 3
B 3
A 2
C 2
B 2
A 1
B 1
C 1
第14题
某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。

该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形） 18.（本题满分14分）
设数列{}n a 满足a a =1，c ca a n n -+=+11，+
∈N n ，其中,a c 为实数，且0c ≠
⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设11
,22
a c =
=，*(1),n n b n a n N =-∈,求数列{}n b 的前n 项和n S 。

19.（本小题14分）
已知关于x 的不等式0)]4()2)[(2(>----a x a x 的解集为A ，且3A ∉． ⑴求实数a 的取值范围；
⑵求集合A 。

20．（本小题14分）
已知R ∈βα,且0≠αβ，数列{}n x 满足βα+=1x ，2
2
2βαβα++=x ，
n n n x x x ⋅-+=++αββα12)(（N n n ∈≥,1），令n n n x x b α-=+1。

⑴求证： }{n b 是等比数列；
⑵求数列{}n x 的通项公式；（不能直接使用竞赛书上的结论，要有推导过程） ⑶若2
1
=
=βα，求{}n x 的前n 项和n S ．
高二理科数学期中考试试题参考答案
一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C
C B
B C
C D
D A
二、填空题
题号
11 12 13
14
答案
10
700米
315
)3
11(23n - 16、（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项a a =1（R a ∈）,设数列
}{n a 的前n 项和为n S ，且1a 、2a 、4a 恰为等比数列}{n b 的前三项。

（1）求数列}{n a 的通项公式及n S ；
（2）已知2≥n 时，12+>n n
，比较n
n S S S A 1
1121+++=
Λ与n n b b b B 11121+++=
Λ（2≥n ）的大小．
（I ）解：设等差数列}{n a 的公差为d ，由412
2a a a =， …………………………1分
得)3()(112
1d a a d a +=+ …………………………2分
17．解： 设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，
则有：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+>>18
3213300y x y x y x
目标函数y x z 35+=……………………………………５分
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：………9分 作直线l ：035=+y x ，平移，观察知，；当l 经过点M 时，z 取到最大值
解方程组⎩
⎨⎧=+=+1832133y x y x 得M 的坐标为)4,3(M
2735max =+=y x Z …………………………………………………………………13分 答：生产甲、乙两种产品各3吨和4吨，能够产生最大利润27万元。

……………14分
18.（本题满分14分）设数列{}n a 满足a a =1，c ca a n n -+=+11，+
∈N n ，其中,a c 为
实数，且0c ≠
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵设11
,22
a c =
=，*(1),n n b n a n N =-∈,求数列{}n b 的前n 项和n S 。

18．解 (1) 方法一： 11(1)n n a c a +-=-∵
∴当1a ≠时，{}1n a -是首项为1a -，公比为c 的等比数列。

11(1)n n a a c --=-∴，即 1
(1)1n n a a c -=-+。

当1a =时，1n a =仍满足上式。

M （3，4）
O
y
9
13
a 时，集合A为空集；当0
当0a <时，集合4
|
22a A x x a -⎧⎫
=<<⎨⎬-⎩⎭
． ………………………14分 综上所述，⎪⎩
⎪
⎨⎧=+≠--=+++)(,)1()(,11
1βααβαβαβαn n n n n x …………………………………………………10分
（3）因为1
2
==
αβ，由⑵可得 n n n x )2
1
()1(⋅+=
23231111111()()()...()()2()3()...()22
22222n n n S n ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g g n n )21()21(3)21(221132⨯++⨯+⨯+⨯Λ11111111()()...()()2()3()...()22222222n n n S n ⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g g 11111
1()2()()3(3)()2222
n n n n n n -=-+--=-+(使用第18题结论)
…………………………………………………………………14分。