结构力学之能量原理

几何可能位移
如果变形体的应变、、与位移u、v、满足几何方
程，而且在结点处满足位移连接条件，在边界上能与约束 几何相容。则此种位移称为几何可能位移。
在变形体上，这种几何可能位移有无穷组，但只有同 时能满足静力平衡条件的那一组才是真实的解答。
结构的总势能是一个泛函，对于稳定的平衡问题而言， 按位移法求解时，就归结为求泛函的极值问题。瑞利—里 兹法就是建立在泛函求极值基础之上的一种求近似解的方 法。下面举例说明。
1 应变能密度和应变余能密度
1.1 应变能密度
应变能密度定义 :单位体积内的应变能称为应变能密度 例如简单拉伸杆件，取出dx微段，其拉伸曲线如图(a)
所示
FN
dx
应变能U为
U W FN d
（12-1）
C
A
d 图(a)简单拉伸曲线
O d
B
根据应变能密度的定义，则应变能密度为 图(b) 应力 应变曲线
3势能驻值原理应用 3.1 利用势能驻值原理推导位移法典型方程 设：位移法的基本未知量向量为{Z} ={Z1 Z2 …… Zn}T 在位移法基本结构中，各杆任一截面的位移方程可表示为
n
v vi Zi v p i 1
上式中，vi 为基本结构由于Zi=1时引起的各杆任一截面的
位移方程。vp为基本结构在荷载作用下任一截面的位移方 程。
根据虚功方程U ij =W ij得
rij EI vi v jdx e
或 n
j1 e
EI
vi
v
jdx
Z
j
e
EI vi vpdx Fpi 0
p
又因为 vp p 为单独在荷载作用下的基本结构的变形 （曲率）。
EI vi vpdx Mi pdx U pi 代表了当Zi=1时基本结构的
uQ d ; uM d
0
0
定义：单位杆长上的应变能为杆件的应变能密度，
用u1表示。
则当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应 变能密度为
u1
d
A
d
A
d
dA
0
0
A 0
即 u1 FN d FQ d M d
0
0
0
（12-6）
对于线弹性材料，有FN=EA. ， FQ=GA. /k（k为截面形状 系数），M=EI . 。则
j1 e
EI
vi
v
jdx
Z
j
e
EI vi vpdx Fpi 0
p
当Zi=1时的基本结构外力，在基本结构单独在荷载作用下 的变形上所做得的虚功为0，而在基本结构单独在荷载作
用下的外力在Zi=1时的基本结构的变形上所做的虚功为
Rip 1 Fp i
p
根据功的互等定理有 Rip Fpi 0
例1 用瑞利—里兹法求图示简支梁的挠度和弯矩。
该题材料力学已有精确 解，在梁中点挠度
Fp x
vmax
Fpl 3 48 EI
0.02083
Fpl 3 EI
l/2
l/2
y
中点弯矩
M max
Fpl 4
0.25 Fp l
Fp x
l/2
l/2
y
解：设该简支梁的挠曲线（几何可能位移）为
v
1,3,5
ai
sin
与广义荷载Fp相应的广义位移也可表示为
n
i Zi p i 1
n
i Zi p i 1
上式中， i为基本结构由于Zi=1时引起的与广义荷载相应
的广义位移。△p为基本结构在荷载作用下引起的与广义
荷载相应的广义位移。
则结构的势能为
Ep e
1 2
EI
n i1
vi
Zi
vp
2
2
1 2
GA k
dv dx
2
1 2
EI
d
dx
2
（12-10）
一根杆的应变能为
U
u1dx
1 2
EA
du
2
GA
dv
2
EI
d
2
dx（12-11）
dx k dx
dx
当忽略较小的剪切变形后,
0
,
dv dx
,
则
U
u1dx
1 2
EA
du dx
2
EI
U *
e
1 2
FN2 EA
k
FQ2 GA
M2 EI
dx
（12-20）
E*C为结构的支座位移余能，或称给定边界位移余能， 即在支座位移c上相应支座反力R所做的虚功总和的负值。
EC* R c
c
2 余能驻值原理
（12-21）
超静定杆件结构的余能驻值原理可表述如下：在所有静力 可能内力中，真实的内力应使结构的余能为驻值。
ix
l
这个函数不仅满足简支梁的两端的位移边界条件，而
且满足两端力的边界条件：
v(0) v(l) 0; v(0) v(l) 0
(1)仅取级数的首项，则
v
a1
sin x
l
∵
U
l 0
EI 2
v2 dx
EIa2 2
l 0
l
2 2
2
sin 2
x
l
dx
4EI
4l 3
a12
E
* p
Fp v x l
3 余能驻值原理应用
3.1 利用余能驻值原理推导力法典型方程
设力法基本未知量向量为{X}={X1 X2 … … Xn}T ，在力法 基本结构中，各杆任一截面的内力可表示为
FN
n
FN
i
Xi
FNp
i 1
n
FQ FQ i X i FQp
(a)
i 1
n
M M i X i M p
u
* N
U* V
1 A dx
dFN
d
（12-4）
即应力 应变曲线中OAC所围的面积。
C
A
d
O
B
图(b) 应力 应变曲线
对于线弹性材料，=E.有，则
uN
0
d
1 E 2 2
12 2E
u
* N
（12-5）
2 杆件的应变能和应变余能
象纯拉伸一样，当杆件处于纯剪切和纯弯曲时，其应 变能密度分别为
U
1 e2
EI
d2 dx
v
2
2
dx
（12-17）
上式中e为结构中杆件的排序号。E*p为结构的荷载势能，
通常以结构未变形前的荷载位置为起始位置，则
E
* p
Fp
（12-18）
p
上式中p为荷载的序号，为Fp方向上的位移。
2 势能驻值原理 势能驻值原理：在所有几何可能的位移状态中，真实的 位移应使结构势能为驻值。
这一能量原理说明，如果位移满足全部的变形协调条件， 而且还能使势能为驻值，则与此位移相应的内力必然满 足全部的静力平衡条件。即说明势能驻值条件与平衡条 件是等价的。
可以证明，在小变形、线弹性的稳定平衡问题中， 满足几何方程、物理方程和静力平衡方程的解是唯一的。 此时真实的位移不仅使势能取得极值，而且该极值为极 小值。这就是最小势能原理。
结构力学
第12章 能量原理
主要内容
1 杆件的应变能及应变余能计算 2 结构势能定义及势能原理 3 结构余能定义及余能原理
能量的概念大家早已了解，在第六章分析静定结构 的位移计算中，曾介绍了虚功方程的两种应用：虚设单 位力求位移和虚设单位位移求未知力。在本章中将介绍 基于能量原理基础上的解题方法。
§12.1 杆件的应变能及应变余能计算
该原理说明，如果内力满足全部的静力平衡条件， 而且还能使结构的余能为驻值，则与此内力相应的变形必 然满足变形协调条件，即余能驻值条件与变形协调条件是 等价的。
可以证明：超静定结构中，在同时满足静力平衡方 程、几何方程和物理方程的解具有唯一性的情况下，结构 的真实内力不仅使余能为驻值，而且该驻值一定为极小值。 这就是最小余能原理。
l
2 2
x
a1 sin l
32 2
l2
sin
2
3x
l
dx
l
∵
sin 2
ix dx
l
(i 1,2 )
0
l
2
l sin ix sin jx dx 0 (i j)
0
l
l
∴
U
l
0
EI 2
v2
dx
4EI
4l 3
a12 81a32
E
* p
Fp v xl
Fp
a1 a3
2
由势能驻值条件 Ep 0 i 1,3 得
d 2v dx2
2
dx
（12-12）
定义：单位杆长上的应变余能为杆件的应变余能密度， 用u*1表示。
当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应
变余能密度为
FN
FQ
M
u1* dFN dFQ dM
0
0
0
（12-13）
对于线弹性材料，用类似的方法，可以得
u1*
2
1 E
A
FN2
Fp a1
2
∴
Ep
U
E
* p
4 EI
4l 3
a12
Fp a1
由势能驻值条件 E p 0 得
4 EI
a1
2l 3 a1 Fp 0
即
a1
2Fpl 3
4 EI
则 v 2Fpl 3 sin x 0.02053 Fpl 3 sin x
4 EI
l
EI
l
vmax
0.02053
Fpl 3 EI
v j j 为Zj=1时的基本结构变形（曲率）。则
EI vivjdx Uij 为基本结构Zi=1时的内力（弯矩）
在eZj=1时的变形（曲率）上所做的内力虚功（虚应变能）。 而当Zi=1时基本结构的外力（r1i、 r2i …… rni ）在Zj=1时的 位移上所做的外力虚功为W ij=rij1=rij。
在介绍瑞利—里兹法之前，先介绍两个基本概念：
静力可能内力 对于变形体而言，如果它的内力与外力满足全部
的静力平衡条件，即满足杆件的平衡微分方程，而且 在边界上和结点处满足力的平衡条件，则此种内力称 为静力可能内力。
对于静定结构而言，静力可能的内力是唯一的， 而对于超静定结构而言，静力可能的内力不是唯一的。
u1
1 2
EA
2
1 2GA k2源自1 2EI2
（12-7）
显然有
u1
EA
FN
u1
GA
k
FQ
u1
EA
M
（12-8）
设：杆截面形心的轴向位移为u，横向位移为v，截面的转
角为。则几何方程为
du
dx
dv dx
d
dx
将上式代入（12-7）式得
（12-9）
u1
1 2
EA
du dx
ai
4EI
2l 3
a1
Fp
0
81 4 EI
2l 3
a3
Fp
0
解之得
a1
2 Fpl 3
4EI
,
a3
2Fpl3
81 4 EI
则
v
2Fpl 3
81 4 EI
81sin
x
l
sin
3x
l
M
(x)
EIv
2Fpl
9 2
9 s in
x
l
sin
3x
l
vmax
0.02078
Fpl 3 EI
，比精确解少0.24%
p
即 Rip Fp i
p n
由上述讨论可得 rij Z j Rip 0 j 1
这就是杆系结构的位移法典型方程。
多提意见与建议
谢谢！
作业：
3.2瑞利—里兹法(Rayleigh-Ritz Method)
建立在能量原理基础之上的解题方法是一种精确方法， 但在精确解难以求得或不能求得的许多工程实际问题中， 能量原理又能为我们提供一种求近似解的有效途径。瑞 利—里兹法就是其中之一。
M max 0.225 Fpl ，比精确解少10%
误差仍较大，但位移和弯矩的精度均有所提高，随 着级数项数增加，位移和弯矩都将趋于精确解。
§12.3余能原理
1 余能的定义 ：杆件结构的余能EC定义为
EC U * EC*
（12-19）
上式中，U*为杆件结构的应变余能，对于线弹性材料而 言，杆件结构的应变余能为
dx
p
Fp n i Zi p
i1
根据势能驻值条件得
Ep 0 (i 1,2 n) Z i
n
即 EI v j Z j vp vidx Fp i 0
e
j1
p
或
n
j1 e
EI
vi
v
jdx
Z
j
e
EI vi vpdx Fpi 0
p
因为，EI vi M i为Zi=1时的基本结构的内力（弯矩），
e
e
内力（弯矩）在单独在荷载作用下基本结构的变形（曲率）
上所做的内力虚功。
而当Zi=1时基本结构的外力（r1i、 r2i …… rni ）在单独在 荷载作用下基本结构的变形上所做的外力虚功为0。所以
根据虚功方程得
EI vi vpdx Mi pdx U pi Wpi 0
e
e
或 n
uN
U V
1 A dx
FN d
d
（12-2）
即应力 应变曲线中OAB所围的面积。
1.2 应变余能密度
应变余能密度定义 :单位体积内 dFN 的应变余能称为应变余能密度。
仍以简单拉伸杆件为例，应变余能为
U * W * dFN
（12-3）
FN dx
图(a)简单拉伸曲线
根据应变余能密度的定义，则应变余能密度u*N为
，比精确解少1.44%，
M max 0.2026 Fpl ，比精确解少19%。
(2)仅取级数的前两项 ，则
v
a1
sin
x
l
a3
sin
3x
l
上式中没有取
a2
sin
2x
l
项，是因为在Fp的作用下，
内力和变形都是对称的，而此项在中点处v=0，变形
是反对称的。
U
l 0
EI 2
v2 dx
EIa2 2
l 0
k 2GA
FQ2
1 2EI
M
2
（12-14）
一根杆的应变余能为
U *
u1*dx
1 2
1 EA
FN2
k GA
FQ2
1 EI
M
2
dx
（12-15）
§12.2势能原理
1 势能的定义
杆件结构的势能Ep定义为
Ep U E*p
（12-16）
上式中，U为杆件结构的应变能，对于刚架而言，通常仅
考虑弯曲应变能，则