湖南省高三数学理科六校联考试卷 新课标 人教版

湖南省高三数学理科六校联考试卷 新课标 人教版
2007.3
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
两部分，共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷
一、 选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1、已知集合U R =，集合A ={x |x
y 1
1-
=}，则A C U =（ ） A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜-1或x ≥1} C ．{x |x ≥1} D ．{x |x ＜0}
2、已知随机变量ξ~B (n ，p)，且12=ξE ，4.2=ξD ，则n 与p 的值分别是（ ） A ．16与0.8 B ．20与0.4 C ．12与0.6
D ．15与0.8
3、已知向量)15sin ,15(cos ︒︒=a ，)15cos ,15sin (︒-︒-=b ，则||b a +的值为（ ）
A ．1
B ．
2
3
C ．2
D ．3
4、1112
除以100的余数是 （ ） A ．1 B ．10 C ．11 D ．21
5、如图，南北方向的公路l ，A 地在公路的正东2 km 处，B 地在A 地北偏东60°方向32km 处，河流沿岸PQ （曲线）上任意一点到公路l 和到A 地距离相等，现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向A 、B 两地运送货物，经测算从M 到A ，M 到B 修建公路的费用均为a 万元/km ，则修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A ．a )32(+万元
B ．2a )13(+万元
C ．5a 万元
D ．6a 万元
6、将语、数、外、理、化、生六本课外辅导读物赠送给某希望工程学校的四名
学生阅读，每人至少1本，至多2本，则恰好有一人同时获得到理、化两本书的概率是（ ）
A ．
30
1
B ．
15
1 C ．
15
2 D ．
15
4 7、若数列{n a }满足112(0)2
121(1)
2
n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若761=a ，则20a 的值为（ ）
A ．
7
6
B ．
7
5
C ．
7
3
D ．
7
1 8、正四面体A —BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得
)0(>==λλFD
CF
EB AE ，
设()f λλλαβ=+，λα与λβ分别表示EF 与AC ，BD 所成的角，则（ ）
A M
Q
l
B
P
A ．)(λf 是（0，+∞）上的增函数
B ．)(λf 是（0，+∞）上的减函数
C ．)(λf 在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减
D ．)(λf 是（0，+∞）上的常数函数
9、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且c =4，a +b =5， tanA+tanB+3=3tanAtanB ，则△ABC 的面积为（ ）
A ．
32
3
B ．
34
3
C ．
2
3
D ．33
10、设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四个不同的点，且满足
AB AC AD AC ⋅=⋅=0AB AD ⋅=，用S △ABC 、S △ABD 、S △ACD 分别表示△ABC 、△ABD 、△ACD 的面
积，则S △ABC +S △ABD +S △ACD 的最大值是（ ）
A ．16
B ．4
C ．2
D ．8
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上.
11、定义运算c a d
b =ad b
c -，则满足1z 1
zi
-= 4+2i 的复数z =____________.
12、若指数函数()x
f x a =
(x ∈R)的部分对应值如下表：
x
－2 0 2 ()f x
0.694
1
1.44
则a 的取值范围为____________，且不等式1
(|1|)f x --＜0的解集为_____________.
13、已知()f x 的导函数()f x '为奇函数，且0
(1)(1)
lim
x f x f x
→+-= 4-，则曲线()y f x =在
(1-，2 ) 处的切线方程是_________________.
14、已知1F 、2F 是两个定点，椭圆1C 和等轴双曲线2C 都以1F 、2F 为焦点，点P 是1C 与2C 的一个交点，且
9021=∠PF F ，那么椭圆1C 的离心率是 .
15、如图，重量为W 的物体放在一摩擦系数为μ的水平面上，加力F 使它恰好能够移动，则作用力F 与平面所成之角θ为____________时，用力最省. 三、解答题（本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知函数44()sin 23sin cos cos 1f x x x x x =+-+ ⑴ 求)(x f 的最小正周期和值域； ⑵ 将)(x f 的图像先向右平移
6
π
个单位，再向下平移1个单位后得到函数)(x g 的图像，求
)(x g 在],0[π上的单调递增区间.
F
D
F E C S
A
B 17．（本题满分12分） 如图，在三棱锥中AB
C S -中，SC ⊥底面ABC ，且
3,4,5,6====AC BC AB SC ，D 、E 分别是SA 、BC 的中点，点F 在AB 上，AB BF 3
1
=
⑴ 求证：CD ∥平面SEF ；
⑵ 求二面角B EF S --的大小.
18．（本题满分14分）某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O 处（如图），一条海岸线AO 在城市O 的正东方向，另一条海岸线OB 在城市O 北偏东)3
1
(tan =θθ方向，位于城市O 北偏东
3
(cos )25
π
αα-=方向15km 的P 处有一个美丽的小岛. 旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O 出发沿海岸线OA 到达C 处，再从海面直线航行，途经小岛P 到达海岸线OB 的D 处，然后返回城市O. 为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C 处地应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积.
19．（本题满分14分）设不等式组 003(*)x y y n nx n N >⎧⎪
>⎨⎪≤-∈⎩
所表示的平面区域为n D ，记n D 内
的整点个数为 n a ,（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
⑴ 求数列}{n a 的通项公式； ⑵ 设数列}{n a 的前n
项和为n S ，),,3,2,1(n k
a C
b k k
n k ⋅⋅⋅==，∑==
n
k k
n b
T 1
，若对于一切正
整数n ，m T nS n
n
≤恒成立，求实数m 的起值范围。

A
C
P
B D
O
北
20．（本题满分14分）
如图，在△OSF 中，c OF a OS OSF ==︒=∠,,90（c a ,均为正常数），E 、P 是平面OSF
内的动点，且满足0=⋅OF SE ，),(R OF PE ∈=λλ向量PE c PF a +与PE c PF a -垂 直。

设动点P 的轨迹为曲线M .
⑴ 说明曲线M 是何种曲线，为什么？
⑵ 设b SF =， 若c b a ,,成等差数列，且△OSF 的面积为6， 试建立适当的坐标系，求曲线M 的方程；
⑶ 在⑵的条件下，是否存在过点)1,1(A 的直线m ，
使m 与曲线M 交于不同的两点C B ,，且0
=+AC AB .
如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由.
21．（本题满分14分） 已知函数(1)[1ln(1)]
()x x f x x
+++=
.
⑴ 设2
'
()(),(0)g x x f x x =⋅>.试证明()g x 在区间 (0,)+∞ 内是增函数； ⑵ 若存在唯一实数(,1)a m m ∈+使得()0g a =成立，求正整数m 的值； ⑶ 若0>x 时，()f x n >恒成立，求正整数n 的最大值.
S
F
P
O
E
[参考答案]
A
D
A
D
C
C
B
D
B
D
11. 3-i 12 . 1(0,1)(1,2)a >⋃
13.46y x =+6
arctan μ 三、（本大题六小题，共80分） 16．解：（1）()2sin(2)16
f x x π
=-
+ …………4分
[],()1,3T f x π∴=∈- …………6分 （2）依题意，平移后的函数2[2()]112cos 266
y sin x x π
π
=-
-+-=- …………10分
所以 )x (g 在[]π,0上的递增区间是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡π2,0 …………12分
17．证明：（1） 取AF 的中点Q ，连CQ 、DQ 易证面CDQ// 面SEF
∴ CD// 平面SEF ………… 5分
（由)SEF //CD ES 2
1
EF 23CD 也行面⇒+=
解：（2） 作CK ⊥EF 于K ，连SK
据三垂线定理知SK ⊥EF
∴∠SKC 为二面角S-EF-C 的平面角 ………… 8分 易求得：CK =
13
6 ，∠SKC = 13arctan ……………11分
∴ 二面角S-EF-C 的大小为：13arctan -π ……………12分 （用向量法求得：14
14
arccos
-π也对） 18．解：以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系.
据题意，直线OB 的倾斜角为 θπ
-2
，
从
而
直
线
OB
的
方
程
为
y=3x. ………….2分 由已知α=∠POC ，|OP|=15，5
3
cos =
α，得点P 的坐标为（9，12）. 设点C 的坐标为 (t ，0)， 则直线PC 的方程为 ：)9()(912
≠--=
t t x t
y ， …………6分
联立y=3x ，得5
12)3
(912-=
∴--=t t
y t y
t y D ， ∴t ＞5. …………8分 ∴5
651221||212-=-⋅=⋅=∆t t t t t y OC S D OCD
=
]105
25
)5(2[6]10525)5[(65]5)5[(62+-⋅-⋅≥+-+-=-+-t t t t t t =120.
上式当且仅当05
25
5>-=
-t t ，即t=10时取等号. …………12分 而当9=t 时，1202
24327921>=⨯⨯=
∆OCD S ∴当t=10时，S △OCD 取最小值120.
答：当C 地处于城市O 正东方向10km 处时，能使三角形区域面积最小，其最小面积为
120(km)2
. …………14分
19．解：（1） 由0nx n 3y ,0x >-=>，得3x 0<<, 当1x =时，n 2y 1=，2x =时，n y 2= ∴ n n 2a n +=即 n 3a n = )N n (*∈ …………6分. （2） 易求 2
)
1n (n 3S n +=
,由（1）知k n k C k 3b ⨯= )n ,...2,1k (，= ∴ )C n ...C 2C 1(3T n n 2n 1n n ⋅++⋅+⋅= 1
n 1n 1n 11n 01n 2
n 3C ...C C (n 3-----=+++= ………9分 ∴
m 2)
1n (n T nS n
n n ≤+=恒成立 (也可以用倒序相加法求和) 记 n
n 2)1n (n R +=
，则1
n n 1n 2)
n 2)(1n (R R +--+=- ∴ 123R R R >=
3n ≥时，0R R n 1n <-+，而...R R R 543>>> ∴23R R 23=
=为最大， 故m 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,23。

……………14分 20．解：（1）由0OF SE =⋅及)R (OF PE ∈=λλ知
点E 的轨迹是过S 点且与OF 垂直的直线L ，且PE ⊥L ……2分 又由0)PE c PF a ()PE c PF a (=-⋅+
得：
PF c
a
PE
=
，为大于1的常数。

据双曲线定义知：曲线M 是以F 为焦点，L 为相应准线的双曲线。

……5分 （2）设L 交OF 于D ，则由OF OD OS 2
⋅=得，c
a OD 2
=
以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系， 则)0,c (F ，L 的方程为：c
a x 2
=
∴ 曲线M 的方程为
1b
y a x 22
22=- ………….8分 由 2
22b a c 6ab 2
1
c a b 2+==+= 解得：16b ,9a 22==
故所求曲线M 的方程为：116
y 9x 2
2=- …………………..10分
（3）假设存在满足条件的直线m ，设)y ,x (C ),y ,x (B 2211
m 的方程为： 1)1x (k y +-=， （斜率不存在时，直线m 与曲线M 不相交）
代入116
y 9x 2
2=-，得：
0169)k 1(9x )k 1(k 18x )k 916(222=⨯------ ………… ① ∵ O AC AB =+ ∴ 点A 是线段BC 的中点 ∴ 9
16
k 2k 916)k 1(k 18x x 2
21=
⇒=--=+ ………… 13分 而方程的判别式
[]
)1728(163616)1(9)916(4)1(18222222-+⨯-=+-⋅-+-=∆k k k k k k
当9
16
k =
时，0<∆ ∴ 不存在满足条件的直线m. ………………14分 21．证明： （1） []
(1)1ln(1)(),(0)x x f x x x
+++=
>2
1ln(1)
'()x x f x x --+=
….3分
∴ ()1ln(1),(0)g x x x x =--+> , 则'()01
x
g x x =>+ ∴ ()g x 在),0(+∞内单调递 增 ….5分
解：（2） ∵(2)1ln 30g =-<，(3)2(1ln 2)0g =->,∴由（1）可得()g x 在),0(+∞内单调递增即()0g x =存在唯一根)3,2(a ∈ ∴ 2m = ………9分
解：(3) 由()f x n >得()n f x <且 ),0(x +∞∈恒成立,由（2）知存在唯一实数)3,2(a ∈, 使()0g a =且当a x 0<<时，()0g x < ，∴ '
()0f x <，当a x >时，()0g x >,∴ '
()0f x >. ∴ 当a x =时,()f x 取得最小值
(1)[1ln(1)]
()a a f a a
+++=
………12分
∵ ()0g a =, ∴ a )1a ln(10)1a ln(1a =++⇒=+--. 于是，() 1.f a a =+ ∵ )3,2(a ∈, ∴()(3,4)f a ∈ ∴3n ≤ ,故正整数n 的最大值为3. ……14分。