2017-2018学年高中数学 第一章 坐标系章末小结与测评教学案 -

第一章坐标系
(1）利用问题的几何特征,建立适当坐标系,主要就是兼顾到它们的对称性,尽量使图形的对称轴（对称中心）正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)．
(2）坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．
舰A在舰B正东，距离6 km,舰C在舰B的北偏西30°，距离4 km,它们准备围捕海洋动物,某时刻A发现动物信号,4 s后，B、C同时发现这种信号,A于是发射麻醉炮弹．假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1 km/s。

空气阻力不计，求A炮击的方位角．
［解］
如图，以BA为x轴，BA的中垂线为y轴建立直角坐标系，则B（－3,0)，A（3，0)，C(－5，23)．
设动物所在位置P(x，y),P在BC中垂线上．
∵k BC＝错误!＝－错误!,BC中点M(－4，错误!)，
∴BC的中垂线方程为y－错误!＝错误!（x＋4）．
即y＝错误!(x＋7)．①
∵｜PB|－｜PA｜＝4＜｜AB|＝6，
∴P在双曲线错误!－错误!＝1 ②的右支上．
由①②得P(8,5错误!），
设∠xAP＝α，则tan α＝错误!，
∴α＝60°。

∴炮弹发射的方位角为北偏东30°。

设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ:错误!的作用下，点P（x，y)对应点P′(x′，y′）称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换错误!后,曲线C变为曲线(x′－5）2＋（y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．
[解］将错误!代入(x′－5）2＋(y′＋6）2＝1中，
得（2x－5)2＋（2y＋6）2＝1.化简，得
错误!错误!＋（y＋3)2＝错误!。

该曲线是以错误!为圆心，半径为错误!的圆.
(1）在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程F(ρ，θ)＝0，
如果曲线C是由极坐标(ρ,θ）满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ）＝0为曲线C的极坐标方程．
(2)由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．
(3)求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ、θ的关系．
△ABC 底边BC ＝10，∠A ＝错误!∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹
的极坐标方程．
[解]
如图:令A （ρ,θ），
△ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ
2
,
又|BC ｜＝10，|AB ｜＝ρ.于是由正弦定理，得错误!＝错误!，化简，得A 点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ。

(1）互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．
(2）互化公式为错误! 错误!
(3）直角坐标方程化极坐标方程可直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x ,y 代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．
把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线． (1)ρ＝2a cos θ(a ＞0)； (2）ρ＝9(sin θ＋cos θ)；
(3)ρ＝4;
（4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5。

[解］(1）ρ＝2a cos θ,两边同时乘以ρ得ρ2＝2aρcos θ，即x2＋y2＝2ax。

整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a）2＋y2＝a2。

是以（a，0)为圆心，以a为半径的圆．
(2）两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ（sin θ＋cos θ)，
即x2＋y2＝9x＋9y，
又可化为错误!错误!＋错误!错误!＝错误!，
是以错误!为圆心，以错误!为半径的圆．
(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.
是以原点为圆心，以4为半径的圆．
(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5，是一条直线.
（1）柱坐标定义：设P是空间内任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用（ρ,θ)(ρ≥0，0≤θ＜2π）来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可由有序数组（ρ，θ,z）表示，叫做点P的柱坐标．
（2)球坐标：建立空间直角坐标系O­xyz，设P是空间任意一点，连接OP，记｜OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ,设P在Oxy平面上的射影为Q.Ox轴逆时针方向旋转到OQ时，所转过的最小正角为θ,则P(r，φ，θ)为P点的球坐标．
如图，在长方体OABC­D′A′B′C′中，|OA｜＝3,｜OC｜＝3，|OD′|＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C,B′，P的柱坐标．
[解］C点的ρ、θ分别为｜OC｜及∠COA.
B′点的ρ为|OB｜＝｜OA｜2＋|AB｜2＝错误!＝3错误!;
θ＝∠BOA，而tan ∠BOA＝错误!＝1.
所以∠BOA＝错误!.
P点的ρ、θ分别为OE、∠AOE，|OE｜＝错误!｜OB|＝错误!，∠AOE＝∠AOB.
所以C点的柱坐标为错误!；
B′点的柱坐标为错误!；
P点的柱坐标为错误!。

如图，长方体OABC—D′A′B′C′中OA＝OC＝a,BB′＝错误!OA，对角线OB′与BD′相交于点P，顶点O为坐标原点；OA,OC分别在x轴，y轴的正半轴上．试写出点P 的球坐标．
［解］r＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB,
而|OP|＝a，∠D′OP＝∠OB′B，
tan ∠OB′B＝|OB|
｜BB′｜
＝1,∴∠OB′B＝错误!,
θ＝∠AOB＝错误!。

∴点P的球坐标为错误!.
一、选择题
1．点M的直角坐标是（－1，错误!),则点M的极坐标为（) A。

错误! B.错误!
C.错误!
D.错误!,(k∈Z)
解析：选D ρ2＝（－1）2＋（错误!）2＝4,∴ρ＝2.
又｛x＝ρcos θ，
y＝ρsin θ，
∴错误!
∴θ＝错误!＋2k π，k ∈Z 。

即点M 的极坐标为(2，2k π＋错误!)，（k ∈Z )．
2．化极坐标方程ρ2
cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2
＋y 2
＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2
＋y 2
＝0或x ＝1 D ．y ＝1
解析：选C ρ(ρcos θ－1）＝0，ρ＝错误!＝0，或ρcos θ＝x ＝1. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆
解析：选C ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，（ρ2
＝4ρsin θ)，则x ＝0，或x 2
＋y 2
＝4y .
4．（安徽高考）在极坐标系中,圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ )
A ．θ＝0（ρ∈R )和ρcos θ＝2
B ．θ＝错误!(ρ∈R )和ρcos θ＝2
C ．θ＝错误!（ρ∈R )和ρcos θ＝1
D ．θ＝0（ρ∈R ） 和ρcos θ＝1
解析:选B 由ρ＝2cos θ，可得圆的直角坐标方程为(x －1)2
＋y 2
＝1，所以垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝π2(ρ
∈R ）和ρcos θ＝2，故选B 。

二、填空题
5．点M 的柱坐标为错误!，则它的直角坐标为________． 解析：∵x ＝2cos 错误!＝1,y ＝2sin 错误!＝错误!，z ＝8. ∴它的直角坐标为（1，错误!，8)． 答案：(1，错误!，8)
6．点M 的球坐标为错误!,则它的直角坐标为________． 解析：x ＝6·sin 错误!·cos 错误!＝3,
y ＝6sin π2
sin 错误!＝3错误!， z ＝6cos 错误!＝0，
∴它的直角坐标为(3,3错误!，0）． 答案：（3，33，0）
7．在极坐标系中,点(1，2）到直线ρ（cos θ＋sin θ）＝2的距离为________． 解析：直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0,
d ＝错误!＝错误!。

答案：错误!
8．在极坐标系中，过点A （6，π）作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为________． 解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2
＋y 2
＝4，点(6，π)化为 (－6,0）,故切线长为42
－22
＝12＝2 3. 答案：2错误! 三、解答题
9．求由曲线4x 2
＋9y 2
＝36变成曲线x ′2
＋y ′2
＝1的伸缩变换． 解：设变换为错误!将其代入方程
x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1。

又∵4x 2
＋9y 2
＝36， 即x 2
9＋错误!＝1. ∴错误!
又∵λ>0，μ>0， ∴λ＝错误!,μ＝错误!。

∴将曲线4x 2
＋9y 2
＝36变成曲线x ′2
＋y ′2
＝1的伸缩变换为错误! 10。

如图，圆O 1和圆O 2的半径都是1，|O 1O 2｜＝4，过动点P 分别作圆O 1和圆O 2的切线PM 、
PN(M、N分别为切点)使得｜PM｜＝错误!｜PN｜,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程．
解：
如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(－2，0)，O2（2,0)．
设P(x，y)，则｜PM|2＝｜PO1｜2－|MO1｜2＝（x＋2)2＋y2－1。

同理，｜PN|2＝(x－2）2＋y2－1。

∵｜PM|＝错误!|PN|，即|PM|2＝2|PN|2。

即（x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2）2＋y2－1］．即x2－12x＋y2＋3＝0。

即动点P的轨迹方程为（x－6）2＋y2＝33.
11．在极坐标系中，已知圆C的圆心C错误!，半径为1。

Q点在圆周上运动，O为极点．（1)求圆C的极坐标方程;
(2)若P在直线OQ上运动,且满足错误!＝错误!，求动点P的轨迹方程．
解：
（1）如图所示,设M(ρ，θ）为圆C上任意一点，如图，在△OCM中，|OC｜＝3，｜OM|＝ρ，｜CM|＝1，∠COM＝错误!，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos 错误!，化简整理，
得ρ2－6·ρcos （θ－错误!）＋8＝0为圆C的轨迹方程．
（2）设Q（ρ1，θ1），则有ρ2，1－6·ρ1cos （θ1－错误!）＋8＝0.①
设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ1∶（ρ－ρ1）＝2∶3⇒ρ1＝错误!ρ，
又θ1＝θ，即错误!
代入①得4
25
ρ2－6·错误!ρcos （θ－错误!)＋8＝0,
整理得ρ2－15ρcos (θ－错误!）＋50＝0为P点的轨迹方程．
（时间：90分钟满分：120分）
一、选择题（本大题共10个小题,每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．点M的极坐标为错误!,则它的直角坐标为( ）
A．（错误!，1）B．（－1，错误!)
C．(1，3) D．（－错误!，－1)
解析：选C x＝ρcos θ＝2cos 错误!＝1，y＝ρsin θ＝2sin 错误!＝错误!。

∴它的直角坐标为（1，错误!）．
2．原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－2错误!）的极坐标是( ）A。

错误! B。

错误!
C。

错误! D。

错误!
解析：选B 由直角坐标与极坐标互化公式：ρ2＝x2＋y2，
tan θ＝错误!（x≠0)．把点(－2,－2错误!)代入即可得ρ＝4，
tan θ＝错误!，因为点（－2，－2错误!）在第三象限，
所以θ＝错误!。

3．可以将椭圆错误!＋错误!＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为（）
A。

错误! B。

错误!
C.错误!
D.错误!
解析:选D 法一：将椭圆方程错误!＋错误!＝1化为错误!＋错误!＝4，
∴（错误!）2＋（错误!）2＝4.
令错误!得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4.
∴伸缩变换错误!为所求．
法二:将x2＋y2＝4改写为x′2＋y′2＝4,
设满足题意的伸缩变换为错误!
代入x′2＋y′2＝4得λ2x2＋μ2y2＝4，即错误!＋错误!＝1。

与椭圆错误!＋错误!＝1比较系数得错误!解得错误!
∴伸缩变换为错误!即错误!
4．曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化成直角坐标方程为( )
A．x2＋（y＋2)2＝4
B．x2＋（y－2）2＝4
C．（x－2）2＋y2＝4
D．(x＋2）2＋y2＝4
解析:选B 由直角坐标和极坐标的互化公式y＝ρsin θ，
即ρ2＝x2＋y2，可得x2＋y2＝4y，整理得:x2＋(y－2)2＝4.
5．圆ρ＝错误!（cos θ＋sin θ）的圆心坐标是（）
A。

错误! B.错误!
C。

错误! D。

错误!
解析:选A 法一：∵圆ρ＝错误!（cos θ＋sin θ）＝2sin （θ＋错误!），可以看作由圆
ρ＝2sin θ顺时针旋转错误!得到．
而ρ＝2sin θ的圆心为（1，错误!),顺时针旋转错误!得到（1，错误!），
∴ρ＝2(cos θ＋sin θ）的圆心坐标为（1,错误!）．
法二：圆ρ＝2（cos θ＋sin θ）直角坐标方程为
x2＋y2－错误!x－错误!y＝0，
∴（x－错误!）2＋(y－错误!）2＝1，
圆心的直角坐标为（错误!，错误!），化为极坐标为(1，错误!)．
6．已知点P的坐标为(1,π)，则过点P且垂直极轴的直线方程是（)
A ．ρ＝1
B ．ρ＝cos θ
C ．ρ＝－错误!
D ．ρ＝错误!
解析：选C 由点P 的坐标可知,过点P 且垂直极轴的直线方程在直角坐标中为x ＝－1，即ρcos θ＝－1。

7．曲线θ＝错误!与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( )
A ．1
B 。

3
C ．3错误!
D ．6
解析：选C
极坐标方程θ＝错误!,
ρ＝6sin θ分别表示直线与圆,如图所示，圆心C (3，错误!），∠AOC ＝错误!， ∴|AO ｜＝2×3×cos 错误!＝6×错误!＝3错误!.
8．点M 错误!关于直线θ＝错误!(ρ∈R ）的对称点的极坐标为 （ )
A.错误! B 。

错误!
C.错误!
D.错误!
解析：选A 法一：点M （1，7π6
)关于直线θ＝错误!（ρ∈R ）的对称点为（1，错误!＋错误!)，即（1,错误!)．
法二:点M (1,错误!）的直角坐标为(cos 错误!，sin 错误!）＝(－错误!，－错误!)， 直线θ＝错误!(ρ∈R ），即直线y ＝x ,
点（－错误!，－错误!）关于直线y ＝x 的对称点为（－错误!,－错误!)，
再化为极坐标即（1,错误!)．
9．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ）
A 。

错误!
B 。

错误!
C．2 D．2错误!
解析:选B
圆ρ＝4cos θ的圆心C(2，0），如图,|OC|＝2，
在Rt△COD中，∠ODC＝错误!，∠COD＝错误!,∴|CD｜＝错误!。

10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2r sin错误!(r>0)的公共弦所在直线的方程为( ）
A．2ρ（sin θ＋cos θ）＝r
B．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
C.错误!ρ(sin θ＋cos θ)＝r
D。

错误!ρ（sin θ＋cos θ)＝－r
解析:选D 圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2①
圆ρ＝－2r sin （θ＋错误!）
＝－2r(sin θcos 错误!＋cos θsin 错误!)
＝－错误!r（sin θ＋cos θ)．
两边同乘以ρ得ρ2＝－2r（ρsin θ＋ρcos θ）
∵x＝ρcos θ,y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，
∴x2＋y2＋错误!rx＋错误!ry＝0。

②
①－②整理得错误!(x＋y）＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线错误!（x＋y）＝－r化为极坐标方程为2ρ（cos θ＋sin θ）＝－r。

二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为________．
解析：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0，
取θ－α＝错误!.
答案:θ＝错误!＋α
12．在极坐标系中,若过点A（4,0)的直线l与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点,则直线l的斜率的取值范围为________．
解析：
将ρ2＝4ρcos θ－3化为直角坐标方程得（x －2）2＋y 2
＝1，
如右图易得－错误!≤k ≤错误!.
答案：[－错误!，错误!］
13．已知点M 的柱坐标为错误!，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________． 解析:设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，
柱坐标为（ρ，θ，z ）,球坐标为（r ，φ，θ）,
由错误!得错误!
由错误!得错误!即错误!
∴点M 的直角坐标为（－π3
，错误!，错误!）， 球坐标为（错误!,错误!，错误!)．
答案:(－错误!，错误!，错误!) （错误!，错误!，错误!)
14．（湖南高考）在极坐标系中，曲线C 1：ρ（2cos θ＋sin θ）＝1与曲线C 2：ρ＝a （a >0）的一个交点在极轴上，则a ＝________．
解析：曲线C 1的直角坐标方程为错误!x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2,C 1与x 轴的交点坐标为(错误!,0），此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝错误!。

答案:错误!
三、解答题（本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)极坐标系中，求点错误!(m ＞0)到直线ρcos （θ－错误!)＝2的距离． 解:将直线极坐标方程化为ρ(cos θcos 错误!＋sin θsin 错误!)＝2,化为直角坐标方程为 x ＋错误!y －4＝0，点(m ，错误!)的直角坐标为(错误!m ，错误!m ），
∴点(错误!m ，错误!m )到直线x ＋错误!y －4＝0的距离为错误!＝错误!＝｜m －2｜.
16．（12分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos错误!＝1表示的两个图形的位置关系是什么？
解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ,化为普通方程为
x2＋y2＝－x，
即（x＋错误!）2＋y2＝错误!它表示圆心为（－错误!，0），半径为错误!的圆．
将ρcos （θ＋错误!)＝1化为普通方程为x－错误!y－2＝0，
∵圆心(－错误!,0）到直线的距离为错误!＝错误!＞1，
∴直线与圆相离．
17．（12分)（江苏高考）在极坐标系中，已知圆C经过点P错误!，圆心为直线ρsin错误!＝－错误!与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：
在ρsin（θ－错误!)＝－错误!中令θ＝0，
得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1，0)．
因为圆C经过点P（错误!，错误!)，
所以圆C的半径PC＝错误!＝1，于是圆C过极点，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
18．(14分）已知线段BB′＝4，直线l垂直平分BB′,交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′,使OP·OP′＝9，建立适当的坐标系,求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．
解：以O为原点，BB′为y轴,l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B（0，2)，B′（0，－2）,设P(a，0)(a≠0），则由OP·OP′＝9,得P′（错误!，0），直线BP的方程为错误!＋错误!＝1，直线B′P′的方程为错误!＋错误!＝1，
即l BP：2x＋ay－2a＝0，l B′P′:2ax－9y－18＝0.
设M（x，y),则由错误!
解得错误!（a为参数）．消去a，
可得4x2＋9y2＝36(x≠0)，
所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除去点B，B′）．
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。