陕西省渭南市瑞泉中学2021-2022学年高三上学期第一次质量检测数学试题

由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由 可得点 ,
转换目标函数 为 ，
上下平移直线 ，数形结合可得当直线过点 时, 取最小值，
此时 .故选：C.
6.为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的 ， 两点为平行四边形 一组相对的顶点，当平行四边形 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（）
（2）由于 是 的极值点，所以 ，从而可求出 的值，则可得 ，然后求导，求出单调区间可求得极值
解：（1）即 ， ；
则 ， ，
故所求切线方程为 ，即 .
（2） ，由题知 ，
解得 ，经检验 符合题意
则 ， ，
因为当 时 ，当 时
所以当 时， 取极小值 .
21.已知函数 ，（ ， ）的图象过点 ，且对 ， 恒成立.
，
将全称命题 量词改变，结论否定可得出全称命题的否定.
由题意可知，命题“ ， ”的否定为“ ， ”.
故答案为： ， .
本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.
16.若x满足不等式 ，则函数 的最大值为________.
2
根据对数函数的单调性和对数的定义即可得到关于 的不等式组，从而可得x的范围，根据对数的运算性质得到 ，再利用换元法，和二次函数的性质即可求出答案．
的导数为 ，由于直线 是曲线 的切线，设切点为 ，则 ，
∴ ，又 ，∴ （ ）， ，
当 时， ，函数b递增，当 时， ，函数b递减，
∴ 为极小值点，也为最小值点，∴b的最小值为 .
故答案为： ．
本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．在求切线方程时要注意“在”某点处的切线与“过”某点的切线．如果是过某点的切线可设切点坐标为 ，利用导数几何意义求出切点坐标．
时， , 为偶函数；
为偶函数时， 对任意的 恒成立，
，得 对任意的 恒成立，从而 .从而“ ”是“ 为偶函数”的充分必要条件，故选C.
本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
5.若 满足约束条件 则 的最小值为（）
A. 18B. 10C. 6D. 4
C
由题意作出可行域，变换目标函数为 ，数形结合即可得解.
8.已知 是定义在R上的奇函数， ，恒有 ，且当 时， 1，则 （）
A.1B.-1C.0D.2
B
首先判断 的最小正周期为 ，然后求得 ，进而求得正确选项.
因为 ，所以 的最小正周期是8，
因为 ，
， ， ，
，又 是周期为8的周期函数，
所以 ，
，所以 .故选：B
9.已知函数 的导函数为 ，且 对任意的 恒成立，则（）
解：不等式 ，
，解得 ，
，
设 ，则 ，
，其对称轴为 ，
在 ， 上单调递减，
，
所以函数的最大值为2.
故答案为：2.
17.若直线 是曲线 的切线，且 ，则实数b的最小值是______.
求出 的导数，设切线为 ，由切点处的导数值为切线斜率求出 ，再由切点坐标可把 表示为 的函数，再利用导数可求得 的最小值．
②当 或 时， 有且仅有 个零点，
③当 时， 有两个零点.
考点：导数的运用.
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
（1） 或 ；（2） .
（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到 ，由此构造不等式求得结果.
（1）当 时， .
①当 时， 无零点，②当 或 时，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有且仅有 个零点，
③当 时， 有两个零点.
试题解析：（1）当 时， ，其定义域为 ，
，
令 ， ，
极小值
故当 时， 取得极小值 ；
（2） ，其定义域为 ，
令 ，得 ，
设 ，其定义域为 .则 的零点为 与 的交点，
，
极大值
故当 时， 取得最大值
作出 的图象，可得
①当 时， 无零点，
对于选项C,由于函数在 是增函数，在 是增函数，且f(0)=0,所以函数在 上有且仅有1个零点，所以选项C错误.
对于选项D,函数的值域为R，所以选项D正确故选:C.
11.已知函数 ，若曲线 在点 处的切线经过原点，则 的值为（）
A.-2B.3
C.-1D.-3
B
求得导数 ，得到 及 ，求得曲线的切线方程，结合切线经过原点，列出方程，即可求解．
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
（1） ； ；（2） .
（1）分别消去参数 和 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
∵f（x）的定义域为R，
∴不等式kx2﹣6kx+k+8≥0的解集为R.
①k＝0时，8 0恒成立，满足题意；
②k≠0时，则 ，
解得0＜k≤1.
综上，实数k的取值范围为[0，1].
20.已知函数 .
（1）当 时，求 的图象在点 处的切线方程；
（2）设 是 的极值点，求 的极小值.
（1） ；（2） .
（1）由导数的几何意义求解即可；
当x→＋∞时，y→＋∞，排除B.故选：D.
本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.
4.设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
C
根据定义域为R的函数 为偶函数等价于 进行判断.
故 ，
解得 ，
所以 ；
（2）令 ，
由 ，则 ，
不等式 ，即 ，
可得 在 上恒成立，
由勾形函数性质知函数 在 时取到最小值，
所以 ，
故 的取值范围是 ，
所以实数 的最小值为 .
22.设函数 ， .
（1）当 （ 为自然对数的底数）时，求 的极小值；
（2）讨论函数 零点的个数.
（1）极小值 ；
（2）①当 时， 无零点，
1
结合分段函数的表达式，先求出 ，进而可求出 .
由题意， ，则 ，
所以 .
故答案为： .
14.如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于___________．
试题分析：此点取自阴影部分的概率为： .
考点：1、几何概型；2、定积分.
15.命题“ ， ”的否定为________．
（1）求函数 的解析式；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的最小值.
（1） ；（2）最小值为 .
（1）由对数轴和所过点列方程组求得 得解析式；
（2）令 ，求出 的范围，题设不等式化简后用分离参数法变形，然后求新函数的最值可得．
解：（1）因为 为二次函数，且 ，
所以 的图象的对称轴方程为 ，
又 的图象过点 ，
（1）由 得 的普通方程为： ；
由 得： ，两式作差可得 的普通方程为： .
（2）由 得： ，即 ；
设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ，
则 ，解得： ， 所求圆的半径 ，
所求圆的直角坐标方程为： ，即 ，
所求圆的极坐标方程为 .
本题考查极坐标与参数方程 综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.
本题主要考查了解三角形中的余弦定理以及基本不等式的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
7.已知 满足对任意 ，都有 成立，那么 的取值范围是
A. (1，2)B.
C. D.
C
由题意知函数为增函数，所以有 ，从而得解.
由已知条件得 为增函数，
所以 解得： ，
所以a的取值范围是 ，故选：C.
本题主要考查了分段函数的单调性，忽视断点处的不等关系是本题的易错点，属于基础题.
A.6B.12
C.18D.24
D
由题意可得出 ，在三角形 中，使用余弦定理可得 的关系式，再利用基本不等式可求出 的最小值，从而可求出 的最大值，进而求解．
设 ， ，则由已知可得 ，
在 中， ，
由余弦定理可得： ，
当且仅当 时等号成立，
此时 ， ，
所以 ，
所以四边形 的最大面积为 ，
此时四边形 是边长为5的菱形，故选：D
由题意，函数 ，则 ，
所以 ，又由 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为切线经过原点，可得 ，解得 ．故选：B.
易错警示：注意理解导数 几何意义：函数 在 处的导数就是曲线 在点 处的切线的斜率．
12.设函数 ，则不等式 的解集为（）
A.(0，2]B.
C.[2，＋∞)D. ∪[2，＋∞)
B
由题意得到函数 为 的偶函数，且在 上为单调递减函数，令 ，化简不等式为 ，结合函数的单调性和奇偶性，得的 ，即 ，即可求解.
四、解答题(共70分)
18.计算：（1） ；
（2）
（1） ；（2） .
（1）结合指数运算化简求得所求表达式的值.
（2）结合对数运算化简求得所求表达式的值.
（1）原式
.
（2）原式
19.若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围.
.
由f（x）的定义域为R，转化为不等式kx2﹣6kx+k+8≥0， 恒成立，利用判别式法求解.
由题意，函数 的定义域为 ，
且 ，
所以函数 为 的偶函数，且在 上为单调递减函数，
令 ，可得 ，
则不等式 可化为 ，
即 ，即 ，
又因为 ，且 在 上单调递减，在 为偶函数，
所以 ，即 ，解得 ，
所以不等式 解集为 .故选：B.
第II卷（非选择题）
三、填空题(共20分)
13.已知函数 ，则 ______．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
D
根据给定不等式构造函数 ，探讨函数 的单调性，由此判断函数值大小得解.
依题意，令 ，则 ，
于是得函数 在 上单调递减，则有 ， ，
即 ， ，
所以 ， .故选：D
10.关于函数 ,下列说法错误的是
A. 是奇函数
B. 不是 的极值点
C. 在 上有且仅有3个零点
D. 的值域是
C
分析：利用函数的奇偶性、极值、零点、值域分析每一个选项得解.
详解：对于选项A,f(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-sinx+xcosx=-(sinx-xcosx)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数，所以选项A是正确的.
对于选项B, ，可以得到函数f(x)在 是增函数，在 也是增函数，所以0不是函数的极值点，所以选项B正确.
因为函数f(x)的定义域为 ，
所以 ，解得 ，
所以函数 的定义域是 故选：A.
本题考查抽象函数的定义域及其求法，一般采用整体代换法求解．
3.函数y＝1＋x＋ 的部分图象大致为（）
A. B. C. D.
D
由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.
当x＝1时，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C；
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2） （当且仅当 时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
24.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1： （θ为参数），C2： （t为参数）.
②当 或 时， 有且仅有 个零点，
③当 时， 有两个零点.
试题分析：（1）要求 的极小值，可以通过判断其单调性从而求得其极小值，对 求导，可知 ，再通过列表即可得当 时， 取得极小值 ；（2）令 ，可得 ，因此要判断函数 的零点个数，可通过画出函数 的草图来判断，同样可以通过求导判断函数 的单调性来画出函数图象的草图： ，通过列表可得到 的单调性，作出 的图象，进而可得
陕西省渭南市瑞泉中学2021-2022学年度高三年级第一次质量检测数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题
1.设集合 ， ．若 ，则 ( )
A. B. C. D.
C
∵集合 ， ，
∴ 是方程 的解，即
∴
∴ ，故选C
2.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（）
A. B. C. D.
A
由函数 的定义域为 ，列出 ，解出 的范围即可.