2021届湖南省浏阳、醴陵、攸县三校高三联考理科数学试卷

2021年湖南省浏阳、醴陵、攸县三校高三联考理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知，则复数a +b i 是虚数的充分必要条件是 （ ）A ．ab ≠0B ．a ≠0C ．b ≠0D ．a =0且b ≠0 2．函数f(x)=√−x 2+3x +4+lg(x −1)的定义域是（ ） A ．[-1，4] B ．(−1,4] C ．[1，4] D ．(1,4]3．已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A∩B 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．55．已知函数()f x 是R 上的奇函数,且在区间[0,)+∞上单调递增,若255(sin),(cos ),(tan )777a fb fc f πππ===,则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c << 6．由直线1,22y y ==，曲线1y x =及y 轴所围成的封闭图形的面积是( )A ．2ln 2B ．2ln 21-C ．1ln 22D ．547．已知点分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱的中点，点分别在线段上．以为顶点的三棱锥P MNQ -的俯视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．运行如图所示的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是 （ ）A ．120B ．720C ．1440D ．50409．函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，则f （x ）的递增区间是（ ）A ．[6K-1，6K+2]（K ∈Z ） B.[6k-4,6k-1] （K ∈Z ） C ．[3k-1,3k+2] （K ∈Z ） D ．[3k-4,3k-1] （K ∈Z ）10．已知()1,0A ，曲线:C e axy =恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ⋅的最小值为2，则a =（ ）．A ．2-B ．-1C ．2D ．1二、填空题11．已知各项均为正数的等比数列中，则．12．若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足2131+=，则•= ． 13．在ABC ∆中，若()ac B b c a ⋅=⋅-+3tan 222，则角B= .14．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x ∈[a ，a+2]，不等式f （x+a ）≥f（3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．15．对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P.（1）下列函数中具有性质P 的有①()2f x x =-+②()sin f x x =([0,2])x π∈ ③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞ （2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是 .三、解答题16．（本题满分12分）在△ABC 中，已知A=4π，cos B =．（I ）求cosC 的值；（Ⅱ）若D 为AB 的中点，求CD 的长．17．在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x ，y ，设Ο为坐标原点，点Ρ的坐标为(x −2,x −y)，记ξ=|ΟΡ⃗⃗⃗⃗⃗ |2． （1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．18．（本题满分12分）如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直， AB BC ⊥，//,2AF AC AF CE ⊥，G 是线段BF 上一点，2AB AF BC ===.（Ⅰ）当GB GF =时，求证：//EG 平面ABC ； （Ⅱ）求二面角E BF A --的正弦值；（Ⅲ）是否存在点G 满足BF ⊥平面AEG ？并说明理由.19．（本题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为且过点31(,)22A . （1）求椭圆的方程；（2）已知:1l y kx =-，是否存在k 使得点A 关于l 的对称点B （不同于点A ）在椭圆C 上？若存在求出此时直线l 的方程，若不存在说明理由.20．（本题满分13分）已知函数()ln ()f x x x mx m R =+∈的图象在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2. （Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）设()()1f x xg x x -=-,讨论()g x 的单调性;（Ⅲ）已知*,m n N ∈且1m n >>,证明n m>. 21．已知函数2()sin f x x x =，各项均不相等的有限项数列{}n x 的各项i x 满足1i x ≤.令11()()n niii i F n x f x ===⋅∑∑，3n ≥且n ∈N ，例如：123123(3)()(()()())F x x x f x f x f x =++⋅++.（Ⅰ）若，数列的前n 项和为S n ，求S 19的值；（Ⅱ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由.①存在数列{}n x 使得()0F n =；②如果数列{}n x 是等差数列，则()0F n >； ③如果数列{}n x 是等比数列，则()0F n >.参考答案1．C 【解析】试题分析：由复数的分类可得b≠0，表示虚数，故选C 考点：本题考查充分条件、必要条件、充要条件 点评：解决本题的关键是掌握虚数的定义 2．D 【解析】试题分析：由题意可知{−x 2+3x +4≥0x −1>0，解得1<x ≤4，故函数的定义域为（1,4]考点：本题考查函数的定义域点评：解决本题的关键是掌握常见函数的定义域，二次根式则被开方数大于等于0，对数函数，则真数大于0 3．C 【解析】试题分析：由题意可知B={0,2,4,6}，则A∩B={0,2}，则A∩B 中有2个元素 考点：本题考查集合的交集运算，元素和集合关系 点评：解决本题的关键是求出集合B 4．A 【解析】试题分析：由题意可知a 3−a 1=2d =4⇒d =2⇒a n =2n −1,S k+2−S k =a k+1+a k+2=36， ∴，解得k=8考点：本题考查等差数列的通项公式点评：解决本题的关键是由S k+2−S k =36，得出a k+1+a k+2=36 5．B 【解析】试题分析：由题设得，()f x 在区间R 上单调递增.因为55351cos0,tan tan 1,sin 07747ππππ-<<<=->，所以c b a <<，选B. 考点：1、函数的单调性奇偶性；2、三角函数.6．A 【解析】根据题意可知面积为：21211ln 2ln 2ln 22S dx x==-=⎰ 7．C 【解析】试题分析：如下图（1），俯视图即为A 、B.如下图（2），俯视图即为D.不管P 、Q 、M 、N 在什么位置，俯视图都不可能是一个正三角形，故选C.考点：三视图. 8．B 【解析】试题分析：这是一个“当型”循环结构，循环的结果依次为：1,2;122,3;6,4;24,5;120,6;720,7p k p k p k p k p k p k ===⨯==========.最后输出720，选B. 考点：程序框图. 9．B 【解析】试题分析：由勾股定理可得，A 点的横坐标为－1，所以周期6,3T πω==.将A 点的坐标代入得：52sin() 2.0,36ππϕϕπϕ-+=≤≤∴=.由5222362k x k ππππππ-≤+≤+得：6461()k x k k Z -≤≤-∈，所以选B.考点：正弦型函数的图象及其单调性. 10．D【解析】试题分析：由题意可知，因为01e =，所以B （0，1），因为2AB =由AB AP⋅的几何意义，以及AB AP ⋅的最小值为2，可得AP 在AB，所以此时P ，B 重合．这说明曲线C ： axy e=在点B （0，1）处的切线与AB 垂直，∴()()00ax f x y ae f a e '''==⇒=⋅，所以01a e ⋅=，所以a=1考点：本题考查指数函数的图像与性质；平面向量数量积的运算 点评：解决本题的关键是熟练掌握两个向量的数量积的定义以及几何意义 11．27 【解析】试题分析：由题意，a 1+a 2=1,a 3+a 4=9，所以a 2=a 3+a4a 1+a 2=9，q =3，a 1+a 2=a 1+3a 1=1，所以a 1=14，a 4+a 5=a 1q 3+a 1q 4=14×33+14×34=27．考点：等比数列的通项公式． 12．92-【解析】 试题分析：11111121()()()()()()23232332MA MB CA CM CB CM CA CA CB CB CA CB CA CB CB CA ⋅=-⋅-=--⋅--=-⋅-221121112123496649129CA CB CA CB CB CA =⋅--+⋅=--+=-.考点：向量的基本运算. 13．3π或23π【解析】试题分析：2cos tan sinac B B B B⨯=⇒=∴=3π或23π.考点：解三角形.14．(]5,-∞-【解析】试题分析：易知()f x单调递增，所以31,21x a x a x+≥+≥+恒成立.因为[,2]x a a∈+，所以212(2)125,25,5x a a a a a+≤++=+∴≥+≤-.考点：函数的单调性奇偶性；不等式恒成立问题.15．（1）①②；（2）0a>或a e≤-.【解析】试题分析：（1）①对()2f x x=-+(212x x x-+=⇒=，所以具有P 性质；②对()sinf x x=([0,2])xπ∈，()f x与1yx=有交点，故具有P性质；对③1()f x xx=+，((0,))x∈+∞由11xx x+=得0x=，但是(0,)x∈+∞，所以不具有P性质.（2）由ln1ax x=得1lnx xa=，令()lng x x x=，则1()ln ln1g x x x xx⨯='=++，由此可得，()lng x x x=在1(0,)e内单调递减，在1(,)e+∞内单调递增.所以1111()(),g x g a ee e a e≥=-∴≥-⇒≤-或0a>.考点：1、函数的零点；2导数的应用.16．（Ⅰ）cos10C=-；（Ⅱ）5=CD.【解析】试题分析：（Ⅰ）在三角形中，)43cos()cos(cos BBAC-=--=ππ，再求出sin B，代入即得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得10103)1010(1cos1sin22=--=-=CC，再由正弦定理得sin sin =BCABA C，解得6=AB ．在∆BCD 中，用余弦定理可求得5=CD .试题解析：（Ⅰ）552cos =B 且(0,180)B ∈，∴55cos 1sin 2=-=B B 2分 )43cos()cos(cos B B A C -=--=ππ 4分 1010552255222sin 43sin cos 43cos-=⋅+⋅-=+=B B ππ 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得10103)1010(1cos 1sin 22=--=-=C C 8分由正弦定理得sin sin =BCABA C，即101032252AB =，解得6=AB ． 10分在∆BCD 中，55252323)52(222⨯⨯⨯-+=CD 5=，所以5=CD 12分 考点：1、三角恒等变换；2、解三角形. 17．（1）P(ξ=5)=29； （2）则随机变量的分布列为：Eξ=2【解析】试题分析：（I ）∵x,y 可能的取值为1、2、3， 1分 ∴|x −2|≤1，|y −x|≤2，∴ξ=(x −2)2+(x −y)2≤1，且当x =1,y =3或x =3,y =1时，ξ=5． 因此，随机变量ξ的最大值为5 3分∵有放回摸两球的所有情况有3×3=9种∴P(ξ=5)=296分（2）ξ的所有取值为0,1,2,5∵ξ=0时，只有x =2,y =2这一种情况．ξ=1时，有x =1,y =1或x =2,y =1或x =2,y =3或x =3,y =3四种情况， ξ=2时，有x =1,y =2或x =3,y =2两种情况． ∴P(ξ=0)=19，P(ξ=1)=49，P(ξ=2)=298分 则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望Eξ=0×19+1×49+2×29+5×29=212分考点：本题考查离散型随机变量及其分布列点评：解决本题关键是理解题意，根据题意求出ξ取不同值是的概率，写出分布列，求期望18．（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）二面角E BF A --的正弦值为322.（Ⅲ）不存在点G 满足BF ⊥平面AEG . 【解析】试题分析：（Ⅰ）取AB 中点D ，易得四边形GDCE 是平行四边形，从而//CD EG .由线面平行的判定定理可得//EG 平面ABC .（Ⅱ）因为平面ABC ⊥平面ACEF ，平面ABC平面ACEF =AC ，且AF AC ⊥，所以AF ⊥平面ABC ，以A 为原点，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -.利用空间向量可求出二面角E BF A --的余弦值，从而求出二面角E BF A --的正弦值.（Ⅲ）利用向量可证明BF 与AE 不垂直，所以不存在点G 满足BF ⊥平面AEG . 试题解析：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接,GD CD ， 1分又GB GF =，所以//2AF GD . 因为//2AF CE ，所以//GD CE , 四边形GDCE 是平行四边形， 2分 所以//CD EG因为EG ⊄平面ABC ，CD ⊂平面ABC所以//EG 平面ABC . 4分（Ⅱ）因为平面ABC ⊥平面ACEF ，平面ABC平面ACEF =AC ，且AF AC ⊥，所以AF ⊥平面ABC ，所以AF AB ⊥，AF BC ⊥ 5分因为BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABF .如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 则(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(2,2,1)F B C E ， 6分(0,2,0)BC =是平面ABF 的一个法向量.设平面BEF 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0.BE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20,220.y z x z +=⎧⎨-+=⎩ 令1y =，则2,2z x =-=-，所以(2,1,2)=--n , 所以1cos ,3||||BC BC BC ⋅<>==n n n ， 8分故二面角E BF A --的正弦值为322。