人教A版2020高中数学必修四导学案第一章三角函数121任意角的三角函数二 含答案

1.2.1 任意角的三角函数(二)
学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
知识点一三角函数的定义域
πyxxxkk∈Z?，π∈R且思考正切函数＋＝tan ≠为什么规定2πxkkxyPy)，因时，角(0的终边在答案当，＝，π＋轴上，此时任取终边上一点∈Z P2y P kxxxyx＋∈R的正切值不存在.所以对正切函数且＝tan π，必须要求≠为无意义，因而0πk. ，Z∈2yyxyx tan ＝的定义域是R；余弦函数R＝cos 正弦函数梳理；正切函数＝sin 的定义域是πkxkxxx}. ，ZR且∈≠π的定义域是{|＋∈ 2 三角函数线知识点二xPMPP轴，过，过点⊥的终边与单位圆交于点思考1 在平面直角坐标系中，任意角α作TA，如图所示，结合三角函数的(1,0)作单位圆的切线，交α点的终边或其反向延长线于点ATMPOM tan α，α与，，的关系吗？，定义，
你能得到sin αcos
MPOMAT. α＝α＝，tan 答案 sin α＝，cos
思考2 三角函数线的方向是如何规定的？
xy轴的正方向一致的为正值，反之，为负值轴或. 答案方向与思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？
答案长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.
梳
理．
图示
PPPMx轴，有向，过点垂直于作角α的终边与单位圆交于点正弦线MP即为正弦线线段
OM即为余弦线有向线段余弦线
Ay轴，设它与(1,0)作单位圆的切线，过点这条切线必然平行于正切线TAT即为正切线的终边或其反向延长线相交于点，有向线段α
类型一三角函数线
5π例1 作出－的正弦线、余弦线和正切线.
8解如图所示，
5π????MP－，＝ sin??85π????OM－，cos ＝??85π????AT－. ＝tan??8反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.
作AT，引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点(1,0)作正切线时，应从点(2)．AT.
即可得到正切线1跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合.
2111????yMPP，0，过这点所以在已知角α的正弦值，可知轴上取点＝，则点纵坐标为.解??222xPPOPOP是角α的终边，因而角作，轴的平行线，交单位圆于α，的取值集两点，则2112π5πkkk∈Z}.
π＋π＋或α＝2合为{α|α＝2，66
类型二利用三角函数线比较大小
2π4π2π4π2π4π例2 利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小.
3535352π2π2π4π4πMPOMATMPOM′，cossin解如图，′＝，tan＝′，，sin＝＝，cos＝
333554πAT′. ＝ tan5
MPMP′|，符号皆正，|>| 显然|′2π4π∴sin>sin；352π4πOMOM′|，符号皆负，∴cos>cos|；|<| 352π4πATAT′|，符号皆负，∴tan<tan|>|.
|35反思与感悟利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负.
跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小.
解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.
MPMP.
sin 146°的正弦线如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和，
2211．
PMPM∵>，且符号皆正，2211∴sin 1 155°>sin(－1 654°).) 利用三角函数线解不等式(组类型三利用三角函数线解不等式?组?命题角度1
. α的终边的范围，并由此写出角α的集合例3 在单位圆中画出适合下列条件的角13. ≤－(1)sin α≥(2)cos α；223yOBOAOBOAAB＝(1)作直线(交单位圆于围成的区域，如图两点，连接(1)，解，则与2.
的终边的范围)，即为角α所示的阴影部分，包括边界
π2πkkk}.
Z≤2∈π＋，故满足要求的角α的集合为{α|2≤π＋α331ODOCOCODxCD所如图交单位圆于(2)，与两点，连接围成的区域与(作直线(2)，则＝－ 2.
α的终边的范围示的阴影部分，包括边界)，即为角ππ42kkk}.
，＋Zπ＋≤α≤2∈故满足条件的角α的集合为{α|2π33 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：反思与感悟
的范围，然后再加上周期；内满足条件的角θ2(1)先找到“正值”区间，即0～π.
注意区间是开区间还是闭区间(2)31<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θθ已知－≤cos 的取值范围.
跟踪训练3 22解图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即
2ππ2kkkkk∈Z}.
，<π＋θ≤2π＋π或－θπ－θ{|2π≤<2π23663命题角度2 利用三角函数线
求三角函数的定义域
.
求下列函数的定义域4 例
xy－(1)3；＝2sin
2xyx. ＝lg(sin 1＋(2)－－2cos )2xx－2sin 解 (1)自变量3≥0，应满足
3x. sin ≥即2π2πkxkxkx}.
∈π＋≤Z≤2，图中阴影部分就是满足条件的角的范围，即{π|2＋33
?x，x≥0，2cos 1－???x由题意知，自变量应满足不等式组(2)2x，>0－sin ??21
cos ≤?2?即2?x?.sin >2 )所示，则不等式组的解的集合如图(阴影部分
ππ3kkxkx }.
∈<2，π＋∴{|2＋π≤Z43求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过(1) 反思与感悟解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限.
制要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固(2). 定的集合写成若干个固定集合再求交集xxf.
的定义域1－2sin ＝)(求函数4 跟踪训练．
fxx－1≥0， )解要使函数有意义，必须使(2sin
1x≥.
则sin 21xy＝，轴的平行直线如图，画出单位圆，作2
PPOPOP，交单位圆于点，，，连接2211PPx轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，作分别过点，易知这两条正弦线的长度都等于.
211
2π5π1在[0,2π)内，sin＝sin＝.
6621xx的终边在图中阴影部分内(包括边界)sin 因为，≥，所以满足条件的角2π5πfxxkxkk ∈Z2}.
π{|＋2，π≤≤所以函数＋()的定义域为66
1.下列四个命题中：
①当α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②在单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上.
则错误命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案 B
解析由三角函数线的定义知①③④正确，②不正确.
2.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
PMAT′′，正切线为正弦线为A.
TAMP′，正切线为B.正弦线为′ATMP，正切线为C.正弦线为ATPM，正切线为D.正弦线为C 答案
ππ2π22cab)
tan，则，( ＝cos，设3.＝＝sin777bccaab B.<<A. < <cabcab D.< < <<C.D
答案
ππ22ππ2π2π2πATMPOM，，tansin＝，cos＝＝解析∵<<，作的三角函数线，则
7727747
ATMPOM <<∴，cab D.
，故选<∴<xy . 2cos 的定义域为4.函数－1＝ππ??kk??kπ＋2，π＋2－∈Z答案，??33 α的集合：5.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角α的区域，并写出角132≤；(3)|sin αα(1)cos (2)tan ＞－α|≤. ；2323π3πkkk∈Z}.
＜2，π＋|2解 (1){α＜π－α44ππkkk∈Z，＋α－|(2){απ<≤π}.
62．
111(3)|sin |，即≤sin α≤，222
ππkkk∈Z，α≤}.
π|{α＋π－≤66
1.三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线yx轴一致，向右为正，向左为负轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同的方向同.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.
2.三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画PMTMPOMAT.
，，点，再画出法，即先找到，，注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.
3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了.
课时作业
一、选择题
1.下列说法不正确的是( )
x的正切线是一个点α轴上时，角的终边在α当角A.
y的正切线不存在轴上时，角当角α的终边在αB. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化C. 余弦线和正切线的始点都是原点D.D
答案不正确，因为余弦线的始点在原是正确的，只有D、B、C解析根据三角函数线的概念，A x. 轴正半轴的交点上点，而正切线的始点在单位圆与) ( sin 1.2，sin 1.5的大小关系是2.利用
正弦线比较sin 1，A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5
B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2
C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1
D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5
C
答案
ππ????????，，00的增大而逐渐增大，∴sin
均在内随内，正弦线在α解析∵1,1.2,1.5????221.5>sin 1.2>sin 1.
31，cos α>，则角α的取值范围是( 3.若0<α<2π，且sin α) <22πππ????????，－，0 A.B.????333π5π5π????????????π2，20，π，∪ D.C. ??????333答案 D
解析角α的取值范围为图中阴影部分，
π5π????????，0，2π∪. 即????33
4.若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
yx轴上轴上 A.B.yxyx上＝－C.直线直线＝上 D.B
答案
x B. ，即＝α由题意得解析 |cos |1cos 故选.轴上α＝±1，则角α的终边在)
( 在下列各组的大小比较中，正确的是5.
ππ54ππ B.cos >cosA.sin>sin7577ππ9ππ9 D.sin>tanC.tan>tan 5875B
答案
ππ5π4ππ5π的余弦的正切线相同；③6.有三个命题：①和和的正弦线长度相等；②和
434663.
线长度相等) 其中正确说法的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.0
C 答案
π54πππ5ππy的和解析轴对称，长度相等；和和的正弦线关于两角的正切线相同；
446336C.
故①②③都正确，故选余弦线长度相等.P) 所在的象限为( cos 3，sin 3＋7.点cos 3)(sin 3
－ B. 第二象限A.第一象限第三象限 D.第四象限C.D
答案5.
＜解析因为π3＜π，作出单位圆如图所示6
bOMaMP. 分别为，设，ba，＝＜＝0＞0，cos 3sin 30. ＞sin 3－cos 3所以baMPOM，|||＜因为|||＜||，即ba0.
cos 3＋＝＜＋所以sin 3P. cos 3)在第四象限，sin 3＋故点(sin 3－cos 3 二、填空题3>0的解集是＋ . 8.不等式tan α3ππkkk∈Z}
α<<＋π，－|{答案απ62 ，)阴影部分(不等式的解集如图所示解
析．
ππ??kkk Z∈π＋π<α<，α|∴. ??26??555π .
由小到大排列为，tanπ，sinπ，cosπ9.把sin1271212
555πππ<tan<sin答案 cosπ<sin1212712 由图可知，解析
πPM，sin＝>011125PM＝sinπ>0，22125AT >0tanπ＝，125OM<0. ＝cosπATPPMM而0<<<，211255π.
37
ππ<tan∴0<sin<sin121212555π5.
<tanπ<sin<sinπ，∴cos而cosπ<0π1212771222xxxf . cossin－10.函数(的定义域为)＝ππkkk∈Z，＋－答案[π，π]44.
如图所示解析．
11.使得lg sin α有意义的角α是第象限角.
答案一或二
解析要使原式有意义，必须sin α>0，
所以α是第一或第二象限角.
sin α|sin α|xy＝0上，则＋α的终边落在直线＝＋ .
若角12.ααcos ||cos
答案 0
三、解答题
13.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.
23(1)sin α＝；(2)cos α＝－.
352yPQ两点，，＝交单位圆于 (1)解作直线3OPOQ为角α则的终边，如图甲，.
3xMN两点，，＝－交单位圆于(2)作直线5OMON为角α，的终边，如图乙则.
四、探究与拓展
yx ＋1)的定义域为 . 14.函数log ＝(2cos x sin
ππ2xkxkkxkk ∈Z ，<}
<2ππ答案 {|2＋π<<2＋π或2π＋ 223解析 由题意可知，要使函数有意义，
xx ≠1，>0且sin sin ?? 则需?x ，2cos ＋1>0??y .
即为所求)轴不含边界与(如图所示，阴影部分．
所以所求函数的定义域为2ππkkxkkxxk }.
，Z ＋<<2{|2∈π<π<2＋π＋或ππ 32222
xxx －α＝＋cos θα若，β是关于0的一元二次方程的两实根，且＋2(cos θ＋1)|15.. θβ的范围|≤22，求 ∵方程有两实根，解22
1)
－4cos θ≥0，∴Δ＝4(cos θ＋1 ① ∴cos θ≥－. 22
|≤22，∴(α＋β)－∵|α－β4αβ≤8. 由根与系数的关系，得
2
θ，αβ＝cos ＋β＝－2(cos θ＋1)，α22
4cos θ≤8，∴4(cos θ＋1)－1 ② θ≤.
cos 即 211 ，由①②得－≤cos θ≤ 22ππ2π4π5kkkk ＋θ≤＋利用单位圆中的三角函数线可知＋2π≤θ≤2，π或∈Z ＋2π≤ 3333kk . Z ∈，2πππ2kkk . ∴＋π∈，＋≤≤θπZ
33。