2019-2020人教A版数学选修2-2 第1章 1.2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2课件PPT
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1．已知函数 f(x)＝cos x＋ln x，则 f′(1)的值为( )
A．1－sin 1
B．1＋sin 1
C．sin 1－1
D．－sin 1
A [因为 f′(x)＝－sin x＋1x， 所以 f′(1)＝－sin 1＋11＝1－sin 1.故选 A.]
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2．函数 y＝sin x·cos x 的导数是( )
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1．解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合 而成．
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2．复合函数求导的步骤
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1．求下列函数的导数．
(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；
(3)y＝2sin3x－π6；(4)y＝
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(3)函数 y＝5log2(1－x)可看作函数 y＝5log2u 和 u＝1－x 的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝u－ln52＝x－15ln 2. (4)函数 y＝sin3x 可看作函数 y＝u3 和 u＝sin x 的复合函数，函数 y＝sin 3x 可看作函数 y＝sin v 和 v＝3x 的复合函数． ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
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复合函数与导数的运算法则的综合应用
【例 2】 求下列函数的导数． (1)y＝lne3x x； (2)y＝x 1＋x2； (3)y＝xcos2x＋π2sin2x＋π2.
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[解] (1)∵(ln 3x)′＝31x×(3x′)＝1x，
∴y′＝ln
3x′ex－ln ex2
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合作探究 提素养
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复合函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝2x－1 13； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.
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[解] (1)函数 y＝e2x＋1可看作函数 y＝eu 和 u＝2x＋1 的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数 y＝2x－1 13可看作函数 y＝u－3 和 u＝2x－1 的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4 ＝－6(2x－1)－4＝－2x－6 14.
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(3)设 y＝2sin u，u＝3x－π6， 则 y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos3x－π6. (4)设 y＝u－12，u＝1－2x， 则 y′x＝y′u·u′x＝u－12′·(1－2x)′ ＝－12u－32×(－2)＝(1－2x)－32.
3xex′
＝1x－elnx
3x＝1－xxelnx
3x .
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(2)y′＝(x 1＋x2)′＝x′ 1＋x2＋x( 1＋x2)′
＝
1＋x2＋
x2 1＋x2
＝1＋21x＋2 x21＋x2.
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(3)∵y＝xcos2x＋π2sin2x＋π2 ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－12xsin 4x， ∴y′＝－12xsin 4x′＝－12sin 4x－2xcos 4x·4 ＝－12sin 4x－2xcos 4x.
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1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣 求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可 适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
第一章 导数及其应用
1.2 导数的计算 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的
运算法则(二)
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学习目标
核心素养 1．通过复合函数求导公式的学习，
1．了解复合函数的概念(易混点)．培养学生的数学抽象、逻辑推理的
2．理解复合函数的求导法则，并 核心素养．
能求简单的复合函数的导数 (重 2．借助复合函数求导及导数运算
A．y′＝cos2x＋sin2x
B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cosx·sinx
D．y′＝cosx·sinx
B [y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.]
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3．函数 y＝3x－1 12的导数是(
)
6 A.3x－13
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思考：函数 y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ [提示] 函数 y＝log2(x＋1)是由 y＝log2u 及 u＝x＋1 两个函数复 合而成的．
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2．复合函数的求导法则 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关 系为 y′x＝ y′u·u′x ，即 y 对 x 的导数等于_y_对__u_的__导__数__与__u_对__x_的__导__数__ __的__乘__积____．
点、易错点).
法则的综合应用，提升学生的数学
运算的核
1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复 合函数，记作 y＝f(g(x)) ．
1 1－2x.
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[解] (1)令 u＝3x－2， 则 y＝10u， 所以 y′x＝y′u·ux′＝10uln 10·(3x－2)′ ＝3×103x－2ln 10. (2)令 u＝ex＋x2，则 y＝ln u， 所以 y′x＝y′u·u′x＝1u·(ex＋x2)′＝ex＋1 x2·(ex＋2x)＝eexx＋＋2xx2 .
6 B.3x－12
C．－3x－6 13
D．－3x－6 12
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C [∵y＝3x－1 12， ∴y′＝－2×3x－1 13×(3x－1)′ ＝－3x－6 13.]
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4．函数 y＝ sin2x＋1是由________三个函数复合而成的． [答案] y＝ u，u＝v2＋1，v＝sin x
1．已知函数 f(x)＝cos x＋ln x，则 f′(1)的值为( )
A．1－sin 1
B．1＋sin 1
C．sin 1－1
D．－sin 1
A [因为 f′(x)＝－sin x＋1x， 所以 f′(1)＝－sin 1＋11＝1－sin 1.故选 A.]
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2．函数 y＝sin x·cos x 的导数是( )
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1．解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合 而成．
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2．复合函数求导的步骤
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1．求下列函数的导数．
(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；
(3)y＝2sin3x－π6；(4)y＝
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(3)函数 y＝5log2(1－x)可看作函数 y＝5log2u 和 u＝1－x 的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝u－ln52＝x－15ln 2. (4)函数 y＝sin3x 可看作函数 y＝u3 和 u＝sin x 的复合函数，函数 y＝sin 3x 可看作函数 y＝sin v 和 v＝3x 的复合函数． ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
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复合函数与导数的运算法则的综合应用
【例 2】 求下列函数的导数． (1)y＝lne3x x； (2)y＝x 1＋x2； (3)y＝xcos2x＋π2sin2x＋π2.
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[解] (1)∵(ln 3x)′＝31x×(3x′)＝1x，
∴y′＝ln
3x′ex－ln ex2
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合作探究 提素养
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复合函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝2x－1 13； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.
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[解] (1)函数 y＝e2x＋1可看作函数 y＝eu 和 u＝2x＋1 的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数 y＝2x－1 13可看作函数 y＝u－3 和 u＝2x－1 的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4 ＝－6(2x－1)－4＝－2x－6 14.
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(3)设 y＝2sin u，u＝3x－π6， 则 y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos3x－π6. (4)设 y＝u－12，u＝1－2x， 则 y′x＝y′u·u′x＝u－12′·(1－2x)′ ＝－12u－32×(－2)＝(1－2x)－32.
3xex′
＝1x－elnx
3x＝1－xxelnx
3x .
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(2)y′＝(x 1＋x2)′＝x′ 1＋x2＋x( 1＋x2)′
＝
1＋x2＋
x2 1＋x2
＝1＋21x＋2 x21＋x2.
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(3)∵y＝xcos2x＋π2sin2x＋π2 ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－12xsin 4x， ∴y′＝－12xsin 4x′＝－12sin 4x－2xcos 4x·4 ＝－12sin 4x－2xcos 4x.
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1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣 求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可 适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
第一章 导数及其应用
1.2 导数的计算 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的
运算法则(二)
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学习目标
核心素养 1．通过复合函数求导公式的学习，
1．了解复合函数的概念(易混点)．培养学生的数学抽象、逻辑推理的
2．理解复合函数的求导法则，并 核心素养．
能求简单的复合函数的导数 (重 2．借助复合函数求导及导数运算
A．y′＝cos2x＋sin2x
B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cosx·sinx
D．y′＝cosx·sinx
B [y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.]
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3．函数 y＝3x－1 12的导数是(
)
6 A.3x－13
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思考：函数 y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ [提示] 函数 y＝log2(x＋1)是由 y＝log2u 及 u＝x＋1 两个函数复 合而成的．
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2．复合函数的求导法则 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关 系为 y′x＝ y′u·u′x ，即 y 对 x 的导数等于_y_对__u_的__导__数__与__u_对__x_的__导__数__ __的__乘__积____．
点、易错点).
法则的综合应用，提升学生的数学
运算的核
1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复 合函数，记作 y＝f(g(x)) ．
1 1－2x.
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[解] (1)令 u＝3x－2， 则 y＝10u， 所以 y′x＝y′u·ux′＝10uln 10·(3x－2)′ ＝3×103x－2ln 10. (2)令 u＝ex＋x2，则 y＝ln u， 所以 y′x＝y′u·u′x＝1u·(ex＋x2)′＝ex＋1 x2·(ex＋2x)＝eexx＋＋2xx2 .
6 B.3x－12
C．－3x－6 13
D．－3x－6 12
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C [∵y＝3x－1 12， ∴y′＝－2×3x－1 13×(3x－1)′ ＝－3x－6 13.]
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4．函数 y＝ sin2x＋1是由________三个函数复合而成的． [答案] y＝ u，u＝v2＋1，v＝sin x