经济学分析与应用 习题2

经济学分析与应用 习题2 1．已知间接效用函数2
1211
(,,)p y v p p y p p =
-， 1）请求出马歇尔需求函数112(,,)x p p y 和212(,,)x p p y ； 2）你能写出直接效用函数12(,)u x x 的形式吗？ 解答：1）
2
212112
1121211(,,)/(,,)1(,,)/y p v p p y p p y p x p p y v p p y y p p -∂∂-=-==∂∂
1221
212121
1
(,,)/(,,)11(,,)/v p p y p p x p p y v p p y y
p ∂∂=-==∂∂
2）根据马歇尔需求函数，可以写出直接效用函数：
12122(,) (1)u x x x x x =≡
效用函数形式不唯一
2．设消费者对某商品的需求函数()D p 为线性。

该商品的价格原来为0
p ，现由于对该商品征消费税（单位商品的税额为t ），而使得价格上升至1
p 。

（1）请作图并证明：开征消费税造成的无谓损失（Dead-weight Loss ）为：21
1'()2
t D p 。

（这里，1
'()D p 为需求函数在1
p 处对价格的导数）
（2）以（1）为基础，请回答：为什么中国的消费税要选择以汽车、高档化妆品、金银首饰、香烟、酒等为对象？
证明：如下图所示：
()()1
00110100110111001
211()2
1
()()
()11()()22
D D S p p x x p p t
p p p x x x D p x x D p t S p p x x t D p =
--=+-'==
'-'∴-='=
--=
如图所示，dead weight loss 为阴影三角形的面积
(2) 题中所述商品为奢侈品，商品的价格弹性较低。

这类商品提价后，消费量的减少量很小，即1()D p '很小，所以，这样在征消费税时dead-weight loss 较少。

3. 设某消费者的效用函数为22
121),(x x x x U =。

11=p ，12=p 。

收入24=y 。

现假设1p 从1上升到2，2p 不变。

请计算CS ∆、CV 与EV 。

解：由消费者最优解的条件：
⇒∂∂=∂∂2211//p x U p
x U 2
2
11212p x
p x x = 由于2p 不变，将12=p 代入上式，得到：1122x p x =。

又由于24211=+x x p ，可以得到：
11/16p x =，82=x 。

从而：2ln 1612ln 1616
)(CS 112
1
1
1111
01
-=-=-=-=∆⎰
⎰p dp p dp p D p p =-11.09。

当11=p 时，161=x ，82=x 。

所以81616),(0⨯⨯=y P v =2048。

当21=p 时，81=x ，82=x 。

所以318),(=y P v =512。

为了得到)),(,(0
1
y P v P e 和)),(,(1
y P v P e 需要解出支出函数),(u P e ：
2211m in x p x p +
s.t u x x =22
1
解之得：322
14
27),(u
p p u P e =
所以，当)1,2(1
=P 时，1.384
2048
427)),(,(3
1
=⋅⋅=y P v P e 当)1,1(0
=P 时，15.124
512
27)),(,(3
1
0=⋅=y P v P e 从而1.14241.38)),(,(0
1=-=-=y y P v P e CV
88.815.1224)),(,(10=-=-=y P v P e y EV
4. 2000年前，北京市居民用水的价格是1元/吨。

2000年起，北京市的水价上升到)1(t +元/吨，0>t 。

设一个代表性的消费者在水价调整前的用水量为01x ，在水价调整后的用水量为11x 。

请在),(21x x 的二维空间里讨论：
如果2x 的价格不变，政府将水价调高后得到的收费量（11tx ）全部返还给消
费者。

若该 消费者在水价变化前后的选择是一致的，那么，该消费者在水价调高后的生活水平是 提高了还是降低了？
解：为了表述方便，我们将其他物品2x 的价格记为1。

在水价上涨之前，消费者的预算约束为：y x x =+21 [1]
而水价上涨后，消费者得到退税，他面临的预算约束为：T y x x t +=++'')1(21 [2]
注意，在预算约束[2]中，代表性消费者选择的是等号左边的变量，他只能决定自己的选择'1x 和'2x 。

等号右边为他的收入加上政府退税T ，对于消费者来说是给定的——这取决于所有消费者的平均消费量。

我们假设代表性消费者在约束[2]下的最优选择是：),(*
2*
1x x ，那么所有消费者对水的平均消费量也必然是*
1x 。

所以在均衡的时候，政府退税*
1tx T =，代表性消费者面临的预算约束为：
*'
1*2*1)1(x t y x x t ⋅+=++ [3]
消去约束方程[3]左右两边的*1tx ，得到y x x =+**21。

这说明（*1x ，*2x ）在原
来的预算约束[1]下也是可行的，但是却没有被选择。

因此，消费者对（1x ，2x ）的偏好一定强于（*1x ，*2x ）。

换句话说，虽然政府最终退税了，但政府还是让消费者的效用降低了。

[注意] *1x 一定小于1x ，否则，无差异曲线相交。

5. 假定小玩具市场是完全竞争市场。

设小玩具的市场需求为Q D =250-5P D ，市场供给为Q S =50+15P S 。

（1）小玩具的市场均衡价格和均衡数量是多少？
（2）考虑政府对消费者征税。

假定政府对每个小玩具征收4元的税收。

消费者会支付的价
格与生产者会收到的价格各是多少？税收是怎样由买者和卖者分担的？ （3）此时的税收收入是多少？税收给小玩具市场带来的效率损失是多少？
（4）如果供给曲线变为：Q S =180+2P S ，第（1）和第（2）问的答案会发生怎样的变化？）
（5）通过第（1）、（2）和（4）问，你能得出什么结论？
Answer
1）Q=200 P=10
2）Q=185 PD=13 Ps=9 每一单位税收消费者分担0.75，生产者分担0.25.（或者每个小玩具，消费者分担税收3元，生产者分担1元）
3）此时的税收收入为740元。

税收带来的效率损失为：1/2*4*（200-185）=30.
4）每单位税收消费者分担2/7,生产者分担5/7（或者每个小玩具，消费者分担8/7元,生产者分担20/7元）
5）通过第（1），（2），（4）问可以知道，消费者和生产者的税收分担取决于两者的相对弹性大小，，在第一种情况下，供给弹性大于需求弹性，所以消费者分担的税收更多，而在第二种情况下，供给弹性小于需求弹性，所以供给者分担的税收更多。

6．日本大米的生产成本极高，这主要归因于土地的高额机会成本及不能取得规模经济效益。

试分析两种维持日本大米生产的政策： (a)发放补贴；(b)征收进口关税。

运用供求图表描
7．1983年里根执政时，推行“实物支付计划”。

我们以小麦市场为例，考察该计划如何奏效。

(a)假设需求函数为Q P =28—2P ，供给函数为Q s
=4+4P 。

试求出自由市场均衡价格和产量。

(b)假设政府向农民支付小麦，鼓励农民将部分土地退耕，使供给减少市场均衡量的1／4。

用于支付的小麦来源于政府储备，数量等于退耕土地的收获量。

农民可在市场上自由出售这些小麦。

问农民的产量为多少?政府间接供应市场多少小麦?新的市场价格是多少?农民获益多少?消费者得益还是受损?
(c)如果政府不把小麦返送给农民，小麦将积压或变质。

纳税人从该计划中受益吗?该计划存在什么潜在问题?
8.一个人只消费粮食，第一期他得到1000斤，第二期得到150斤，第一期的粮食存到第二期将有25%的损耗。

他的效用函数为：1212(,)u c c c c =⋅
1） 如果粮食不可以拿到市场上交易，最佳消费
??,21==**c c 2） 如果粮食可以拿到市场上交易，两期的价格都是p=1，利息率r=10%，问最佳消费
??,21==*
*c c
答案
1)
12
22
11max .. 11u c c c m s t c m r r
=+
=+++
221211()11m c
L c c m c r r
λ=++
--++
21... ,1f o c c c r
λ
λ==
+
12111454.5,1600,20001454.5545.5c c s m c ****===-=-=,
(2)Similarly, we can get
121416.7,1700c c **==。