2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1课件：第三章 圆锥曲线与方程 模块复习3

点.P为双曲线上一点,且∠F1PF2=60°,
,求双曲线的
标准方程.
思维点拨:要求双曲线的标准方程,可设出方程
.关键是
求a,b的值,在△PF1F2中,可由余弦定理和三角形面积公式列出方程
组,从而求出a,b的值.
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由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c. 在△PF1F2中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60° =(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos 60°),
即4c2=c2+|PF1||PF2|.①
即|PF1||PF2|=48.② 由①②,得c2=16,所以c=4,则a=2.所以b2=c2-a2=12.
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反思感悟对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线的定义解 题的意识,“回归定义”是一种重要的解题策略.如:(1)在求轨迹时,若 所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程写出所 求的轨迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三 角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决.
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思维点拨:要求 的值,可考虑利用椭圆的定义和△PF1F2为直 角三角形的条件,求出|PF1|与|PF2|的值.但Rt△PF1F2的直角顶点不 确定,故需要分类讨论.
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(2)若∠F1PF2为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, 即20=|PF1|2+(6-|PF1|)2,解得|PF1|=4,|PF2|=2,
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变式训练3已知双曲线的渐近线方程为y=± x,则双曲线的离心 率为( )
答案:D
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思维点拨:利用椭圆的定义及余弦定理,转化为有关a,c的不等式, 即可求解.
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专题一 圆锥曲线的统一定义与标准方程
【例1】 F1,F2是椭圆
(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任一
点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的
轨迹为( )
A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线
解析:延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A,如图所示,则△APF体验
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专题二 圆锥曲线的几何性质
【例4】 已知椭圆的左焦点为F1,右焦点为F2.若椭圆上存在一点 P,满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段PF2的
中点,则该椭圆的离心率为( )
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【例3】 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的 两个动点,且满足∠AFB=120°,过弦AB的中点M作抛物线准线
的垂线MN,垂足为N,求 的最大值. 思维点拨:弦AB的长度可在△AFB中由余弦定理表示,而|MN|的
长度须由抛物线的定义进行转化.
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反思感悟在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的 距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用几何意义去解决.
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变式训练2已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上 一个动点,则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”. (1)椭圆中过焦点的最短弦长为 . ( √ ) (2)抛物线的通径是焦点弦的最小值,为2p. ( √ )
(3)设AB为抛物线的焦点弦,A,B在准线上的射影分别是A1,B1,若P
为A1B1的中点,则PA⊥PB. ( √ )
解析:如图,设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点,连 接OM.
∵M,O分别是PF2,F1F2的中点, ∴MO∥PF1,且|PF1|=2|MO|=2b. ∵OM⊥PF2,∴PF1⊥PF2.
答案:D
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反思感悟圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲 线的方程研究其几何性质;已知圆锥曲线的性质求其方程.重在考 查基础知识,其中对离心率的考查是重点.
等腰三角形,∴|PF1|=|AP|,从而|AF2|=|AP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a. ∵O是F1F2的中点,Q是AF1的中点,连接OQ, ∴|OQ|= |AF2|=a. ∴Q点的轨迹是以原点O为圆心,半径为a的圆.
答案:A
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【例2】 已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为2,F1,F2为左、右焦
第3课时 圆锥曲线的方程、性质
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圆锥曲线几何性质的异同: 1.它们都是轴对称图形,但椭圆和双曲线又是中心对称图形. 2.顶点个数不同:椭圆有四个顶点,所以由一个顶点坐标不能确定 焦点的位置;双曲线有两个顶点,且顶点与焦点在同一个坐标轴上; 抛物线有一个顶点. 3.焦点个数不同:椭圆和双曲线有两个焦点,抛物线只有一个焦点. 4.离心率的取值范围不同:椭圆的离心率0<e<1,双曲线的离心率 e>1,抛物线的离心率e=1. 5.椭圆是封闭曲线,双曲线和抛物线都是非封闭曲线,由于抛物线 没有渐近线,因此在画抛物线时,切忌将其画成双曲线.
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解:设|AF|=a,|BF|=b,作AQ垂直于准线于点Q,作BP垂直于准线于 点P,
由抛物线定义知|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,
在△AFB中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2ab·cos 120° =a2+b2+ab=(a+b)2-ab.
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