2020_2021学年高考数学一轮复习专题2.6对数与对数函数知识点讲解理科版含解析

对数与对数函数
【核心素养分析】
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；
2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1
2的对数函
数的图象；
3.体会对数函数是一类重要的函数模型；
4.了解指数函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 5.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。

【重点知识梳理】 知识点一 对数的概念
如果a x
＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
知识点二 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a
N
＝N ；②log a a b
＝b (a >0，且a ≠1).
(2)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；
②log a M N
＝log a M －log a N ； ③log a M n
＝n log a M (n ∈R)；
④log a m M n ＝n m
log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).
(3)换底公式：log b N ＝log a N
log a b (a ，b 均大于零且不等于1).
知识点三 对数函数及其性质
(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质
知识点四 反函数
指数函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.
【特别提醒】
1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝
1log b a ；(2)log a m b n
＝n m
log a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
，－1，函数图象只在第
一、四象限.
【典型题分析】
高频考点一 对数的化简与求值
例1．【2020·全国Ⅲ卷理数】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则 A ．a <b <c B ．b <a <c
C ．b <c <a
D ．c <a <b
【答案】A
【解析】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，
()22
2
528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫
++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，a b ∴<；
由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45
b <
； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45
c >. 综上所述，a b c <<.
【变式探究】（2020·广东中山中学模拟）计算：⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 14－lg 25÷100－
1
2＝________.
【答案】－20
【解析】原式＝(lg 2－2
－lg 52
)×1001
2＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
【方法技巧】
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.a b
＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【变式探究】（2020·河南洛阳一中质检）计算：（1－log 63）2
＋log 62·log 618
log 64＝________．
【答案】1
【解析】原式＝1－2log 63＋（log 63）2
＋log 663
·log 6（6×3）
log 64
＝1－2log 63＋（log 63）2
＋1－（log 63）2
log 64
＝
2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62
log 62
＝1.
高频考点二 对数函数图象及其应用
例2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a (x ＋1
2)(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是
( )
A B
C D 【答案】D
【解析】对于函数y ＝log a (x ＋12)，当y ＝0时，有x ＋12＝1，得x ＝12，即y ＝log a (x ＋1
2)的图象恒过定
点(12，0)，排除选项A 、C ；函数y ＝1a x 与y ＝log a (x ＋1
2
)在各自定义域上单调性相反，排除选项B ，故选D 。

【方法技巧】
(1)识别对数函数图象时，要注意底数a 以1为分界：当a ＞1时，是增函数；当0＜a ＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y 轴为渐近线．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式探究】（2020·四川绵阳中学模拟）设方程10x
＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2＞1 D ．0＜x 1x 2＜1
【答案】D
【解析】作出y ＝10x
与y ＝|lg(－x )|的大致图象，如图．
显然x 1＜0，x 2＜0.
不妨令x 1＜x 2，则x 1＜－1＜x 2＜0， 所以10x 1＝lg(－x 1)，10x 2＝－lg(－x 2)， 此时10x 1＜10x 2， 即lg(－x 1)＜－lg(－x 2)， 由此得lg(x 1x 2)＜0， 所以0＜x 1x 2＜1，故选D. 高频考点三 比较对数值的大小
例3．【2020·全国Ⅱ卷】若2x
−2y
<3−x
−3−y
，则
A ．ln(y −x +1)>0
B ．ln(y −x +1)<0
C ．ln|x −y |>0
D ．ln|x −y |<0
【答案】A
【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令
()23t t f t -=-，
2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，
x y ∴<，
0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；
x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.
故选：A ．
【举一反三】【2019·天津卷】已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2
，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
【答案】A
【解析】因为a ＝log 52＜log 5
5＝12，b ＝log 0.50.2＞log 0.50.5＝1，c ＝0.50.2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121
5＞12，0.50.2＜1，所
以a ＜c ＜b ，故选A 。

【方法技巧】
（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较 （2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较 （3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较
【变式探究】【2019·全国Ⅰ卷】已知0.20.32
log 0.220.2a b c ===，，，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<
D ．b c a <<
【答案】B
【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.2
02
21,b =>=
0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<
则a c b <<．
故选B ．
高频考点四 解简单的对数不等式
例4.（2020·山东淄博一中模拟） 设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
log 2x ，x ＞0，
log 0.5(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a
的取值范围是( )
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(－1,0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(0,1)
【答案】C
【解析】由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＞0，
log 2a ＞－log 2a
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0，
－log 2(－a )＞log 2(－a )，
解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C.
【方法技巧】解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数a 的值．
【变式探究】（2020·广东湛江一中模拟） 若log a (a 2
＋1)＜log a 2a ＜0，则a 的取值范围是________． 【答案】(1
2
，1)
【解析】由题意得a ＞0且a ≠1，故必有a 2
＋1＞2a ， 又log a (a 2
＋1)＜log a 2a ＜0，所以0＜a ＜1， 同时2a ＞1，所以a ＞12.综上，a ∈(1
2，1)．
高频考点五 对数函数的综合应用
例5.（2020·河北衡水一中调研）已知函数f(x)＝lg(x ＋1)． (1)若0<f(1－2x)－f(x)<1，求实数x 的取值范围；
(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，当x ∈[1,2]时，求函数y ＝g(x)的解析式．
【答案】(1)21
33
x -<<；(2)()lg 3y x =- 【解析】 (1)由
得－1<x<1.
由0<lg(2－2x)－lg(x ＋1)＝lg <1，
得1<
<10.因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x<10x ＋10，解得－<x<.
由得－<x<.
(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g(x)＝g(x －2)＝g(2－x)＝f(2－x)＝lg(3－x)． 【方法技巧】解决此类问题有以下三个步骤： (1)求出函数的定义域；
(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；
(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性 【变式探究】（2020·湖南长郡中学模拟）已知函数f (x )＝log a (3－ax ). (1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由。

【解析】 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，
x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，
当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <3
2
.
又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.
∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，
∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧3－2a >0，
log a
（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1。