二次型及其矩阵

第五章 二次型
在解析几何中，为了便于研究二次曲线
122=++cy bxy ax 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换
⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθ
c o s s i n s i n c o s y x y y x x
把方程化为标准形式
122='+'y c x m .
这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题.
第一节 二次型及其矩阵
内容分布图示
★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 线性变换
★
例6
★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1 ★
返回
内容要点：
一、二次型的概念
定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数
n
n n n n n n n n
nn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122
222221112122222),,,(--+++++++++++=
称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.
只含有平方项的二次型 2
222211n
n y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式).
二、二次型的矩阵
取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是
∑==
++++++++++++=n
j i j
i ij n
nn n n n n n
n n
n n x x a
x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1
,22211222
22212211121122
11121),,,(
)
()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++=
.
),,,(),,,(212
122221
112
1121221122
22121121211121AX X x x x a a a
a a a
a a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=
其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=nn n n n n n a a a a a a a a a A x x x X 21222211121121,
.
称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是，二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系.
三、线性变换
定义2 关系式
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧+++=+++=+++=n
nn n n n n
n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111
称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=nn n n n n c c c
c c c c c c C
2
12222111211 称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时，称该线性变换为可逆线性变换.
对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是：寻求可逆的线性变换CY X =将二次型
化为标准型，将其代入得
AX X X f T =)(Y AC C Y CY A CY T T T )()()(==
这里，Y AC C Y T T )(为关于n y y y ,,,21 的二次型，对应的矩阵为AC C T .
注: 要Y AC C Y T T )(为标准型，即要AC C T 为对角矩阵。

由上章实对称矩阵对角化的方法，可取C 为正交变换矩阵P .
对于简单的二次型，也可以用用配方法解之.
四、矩阵的合同
定义3 设A ,B 为两个n 阶方矩阵,如果存在n 阶非奇异矩阵C ,使得,B AC C T =则称矩阵A 合同于矩阵B ,或A 与B 合同,记为.B A ≅
;02/32/12/322/12/12/10
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A
反之, 对称矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=02/32/12/322
/12/12/10
A 所对应的二次型是 .3202/32/12/322/12/12/10
),,(322
23121321321x x x x x x x x x x x x x Ax x T -++=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
例5 (讲义例2) 求二次型2
3
223121213216224),,(x x x x x x x x x x f +-+-=的秩. 例6 设二次型3231213211042),,(x x x x x x x x x f +-=, 且 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=--=.
,2,
533
32123211y x y y y x y y y x (1)
求经过上述线性变换后新的二次型.
例3 (讲义例3) 将2
3
32222121214222x x x x x x x x x +++++化为标准形. 第二节 化二次型为标准形
若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式
,2
222211n n y b y b y b +++
则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形.
由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为
.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,2
222211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵.
内容分布图示
★ 二次型的标准性
★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形
★ 例5
★ 例6 ★ 定理2 -3 ★ 用正交变换化二次型为标准形
★ 例7
★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形
★ 例9
★ 例10
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★
习题5-2 ★ 返回
内容要点：
一、用配方法化二次型为标准形.
定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤:
(1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;
(2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ≠≠,则先作可逆变换
),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x k
k j i j j i i ≠=⎪
⎩⎪
⎨⎧=+=-=且
化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方.
注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得:
定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使=B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.
二、用初等变换化二次为标准型
设有可逆线性变换为CY X =，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T =. 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ，使 s P P P C 21=, 于是
s P P EP C 21=
Λ==s T
T T s T P P AP P P P AC C 2112.
由此可见, 对n n ⨯2矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛E A 施以相应于右乘s P P P
21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘T
s T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可逆矩阵C .
三、用正交变换化二次型为标准形
定理 2 若A 为对称矩阵，C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T =,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r =
注: (1) 二次型经可逆变换CY X =后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T = (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X =变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即
.),,,(2
222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y +++=⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
定理3 任给二次型),(1,ij ji n
j i j i ij a a x x a f ==∑= 总有正交变换,PY X = 使f 化为标准形
,2222211n n y y y f λλλ+++=
其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值.
用正交变换化二次型为标准形
(1) 将二次型表成矩阵形式,AX X f T = 求出A ;
(2) 求出A 的所有特征值 n λλλ,,,21 ;
(3) 求出对应于特征值的特征向量 n ξξξ,,,21 ;
(4) 将特征向量n ξξξ,,,21 正交化, 单位化, 得n ηηη,,,21 , 记);,,,(21n C ηηη =
课堂练习
1. 求一正交变换,将二次型
3231212
32221321662355),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=
化为标准型, 并指出1),,(321=x x x f 表示何种二次曲面.
第三节 正定二次型
内容分布图示
★ 二次型有定性的概念 ★
例1-3 ★ 正定矩阵的判定 ★ 定理6 ★ 矩阵的主子式
★ 定理7 ★ 例4 ★
例5 ★ 例6
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-3 ★
返回
内容要点:
一、二次型有定性的概念
定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T = (1) 如果对任何非零向量X , 都有
0>AX X T （或0<AX X T ）
成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.
(2) 如果对任何非零向量X , 都有
0≥AX X T （或0≤AX X T ） 成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.
二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
二、正定矩阵的判别法
定理1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵.
定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是),,2,1(0n i d i =>. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =
定理4 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使C C A T =.即E A 与合同。

推论1 若A 为正定矩阵, 则0||>A .
定理6 秩为r 的n 元实二次型AX X f T =, 设其规范形为
2
2122221r p p z z z z z ---++++
则
(1) f 负定的充分必要条件是,0=p 且.n r = (即负定二次型,其规范形为
例4 (讲义例4) 当λ取何值时, 二次型),,(321x x x f 为正定.
2
3
32223121213216242),,(x x x x x x x x x x x x f λ+++++=. 例5 (讲义例5) 判别二次型),,(z y x f 为负定.
xz xy z y x z y x f 44665),,(222++---=.
例6 (讲义例6) 证明: 如果A 为正定矩阵, 则1-A 也是正定矩阵.
课堂练习
1.设二次型,222),,(31212
32221321x x x tx x x x x x x f -+++= 试确定当t 取何值时, ),,(321x x x f 为正定二次型.
2.判别二次型312
322213214542),,(x x x x x x x x f -++=是否正定.
3.设A ,B 分别为m 阶,n 阶正定矩阵, 试判定分块矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=B A C 00是否为正定矩阵.。