北京四中学九年级数学第一学期期中试卷(无答案)

北京四中2013～2014学年度第一学期期中考试九年数学试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
姓名： 班级： 成绩: ____________
一．选择题（每题4分，共32分） 1.抛物线y =(x +1)2
-4的顶点坐标是（ ）
A ．（1,4） B.(-1,4) C.(1,-4) D.(-1,-4) 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=
5
4
，则cosB 的值等于（ ） A ．53 B.
54 C. 4
3
D. 55
3.如图，在ψABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ， 且AE 、BD 交于点F ，DE ：EC=2:3，则S △DEF :S △ABF =（ ） A. 2：3 B. 4：9 C. 2：5 D. 4：25
4.在平面直角坐标系中，已知点E （﹣4，2），F （﹣2，﹣2），以原点O 为位似 中心，相似比为2，把△EFO 放大，则点E 的对应点E′的坐标是（ ） A.(-2,1) B.(-8,4) C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)
5.二次函数y=ax 2
+bx +c （a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y
12
5
﹣3
﹣4
﹣3
5
12
给出了结论：
（1）二次函数y=ax 2
+bx +c 有最小值，最小值为﹣3； （2）当
时，y ＜0；
（3）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ． 3个
D ．0个 6.如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB=4，AD=2． ∠DAC=∠B，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ） A ．a B ．
12a C ．13a D ．2
3
a 7.若定义变换：(,)(,)f a
b a b =-，(,)(,)g m n m n =-，如：(1,2)(1,2)f =-，(4,5)(4,5)g --=-，
则((2,3))g f -=（ ）
A ．(2,3)-
B ．(2,3)-
C ．(2,3)
D ．(2,3)--
8.小明从如图所示的二次函数y=ax 2
+bx +c （a ≠0）的图象中， 观察得出了下面五条信息：
①ab ＞0；②a +b +c ＜0；③b +2c ＞0；④a ﹣2b +4c ＞0；⑤．
你认为其中正确信息的个数有（ ） A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二．填空题（每题4分共16分） 9.在△ABC 中，∠C =90°，3
cos ,3B a =
= ，则b= ． 10.已知(-3，m ）、(1，m )是抛物线y=2x 2
+bx +3的两点，则b =____. 11.如图，是二次函数y 1＝ax 2
＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，
观察图象写出y 2>y 1时，x 的取值范围__________．
12. 已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图象的一部分如图，则a 的取值范围是____ __． 三．解答题（本题共30分） 13.计算：.
14.如图，正△ABC 中，∠A DE=60°，
(1)求证：△ABD ∽△DCE ；（2）若BD=2，CD=4，求AE 的长．
x
y
O
15.如图，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30°，沿CB 方向前进（9m 到达D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，求该建筑物AB 的高度
16. 已知抛物线y ＝x 2
－2kx ＋3k ＋4．
(1)顶点在y 轴上时，k 的值为_________. (2)顶点在x 轴上时，k 的值为_________. (3)抛物线经过原点时，k 的值为_______.
17.已知二次函数y =- 12x 2 - x + 3
2
.
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x 的取值范围； （3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，
请写出平移后图象所对应的函数关系式．
18.已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC ＝14，AD ＝12，⋅=5
4sin B 求：(1)线段DC 的长；
(2)tan ∠EDC 的值．
四、解答题（本题共20分，19、20每小题5分21题6分22题4分） 19.如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =5
sin 5
B =
，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ．
（1）求AC 、BC 的长；
（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大并求出最大值．
20.如图，直线y ＝3x 和y ＝2x 分别与直线x ＝2相交于点A 、B ，将抛物线y ＝x 2
沿线段OB 移动，使其顶点始终在线段OB 上，抛物线与直线x ＝2相交于点C ，设△AOC 的面积为S ，求S 的取值范围．
21.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．
设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
22、当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化. 例如：
由抛物线y=x2－2mx+m2+2m－1①有y=(x－m)2+2m－1②，
所以抛物线顶点坐标为（m，2m－1），即x = m③, y = 2m－1④.
当m的值变化时，x，y的值也随之变化，因而y的值也随x值的变化而变化.
将③代入④，得y=2x－1⑤. 可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式：y=2x－1；
(1)根据上述阅读材料提供的方法，确定点（－2m, m－1）满足的函数关系式
为_______.
(2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式.
五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题7分，第25题9分） 23. 已知二次函数22
-++=a ax x y
（1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点．
（2）设a <0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式．
（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△PAB 的面积为2
13
3，若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由。

24. 已知：∠ACD=90°，MN 是过点A 的直线，AC=DC ，D B⊥MN 于点B ，如图（1）． 易证BD+AB=
CB ，过程如下：
过点C 作CE⊥CB 于点C ，与MN 交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE． ∵四边形ACDB 内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°． ∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB ，∴△ECB 为等腰直角三角形，∴BE=CB ．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=
CB ．
(1)当MN 绕A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变，则BD 、AB 、CB 满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明． (2)MN 在绕点A 旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=
时，则CB=__________．
25.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）
2013—2014学年度第一学期期中考试初三数学答题卡
班级学号姓名分数
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
9、. 10、.
11、. 12、.
三、解答题（请在各题的答题区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！）
13. 计算：.
14.
15.
四、解答题（请在各题的答题区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！）
五、解答题（请在各题的答题区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！）
24.
（1）猜想：图（2）中_____________;图（3）中_______________; 证明：
（2）_____________________.
25.解：。