广东省惠州市2016高三第二次调研考试数学(文科)答案

惠州市2016届第二次调研考试文数命题细目表
惠州市2016届高三第二次调研考试
文科数学参考解答：
一、选择题（每小题5分，满分60分） 1、【解析】{{2=0x
A y y y y ==>,{31
B x x x =><-或,所以{3A
B x x =
>,故选C.
2、
【解析】
111122
i i
i i i -++=
+=+，选A. 3、【解析】(2)(2)16,(2)26f f f +-=-=-,选A. 4、【解析】在△OAC 中，M 为AC 中点，根据平行四边形法则，有2OC OM +=OA ，同理有2OB OM +=OD ，故
4OA OC OB OC OM +++=,选D.
5、【解析】选D.
6、【解析】因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点, 选C.
7、【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d ，半径r =，所以最后弦
长为4=.故选Ｃ.
8、【解析】根据几何体的三视图确定几何体的形状，并画出几何体的直观图，标示已知线段的长度，最后求各个面的面积确定最大值．将三视图还原成几何体的直观图，如图所示．由三视图可知，四面体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,8,10,62，所以面积最大的是10, 选
B.
9、【解析】
11
11(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+⋅⋅=≥--两边取倒数可得：111111n n n n
a a a a -+-=-,所以1n a ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
是等差数列,首项1112a =,公差d =11122-=,所以()1001001111
1001502250
a a =+-=⇒=
,故选D. 10、【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出i 值．
解：根据题意，本程序框图中循环体为“直到型”循环结构
第1次循环：S=0+1=1，i=2，a=1×2+1=3； 第2次循环：S=1+3=4，i=3，a=3×3+4=13； 第3次循环：S=4+13=17，i=4，a=13×4+17=69； 第4次循环：S=17+69=86，i=5，a=69×5+86=431； 第5次循环：S=86+431=517，i=6，a=431×6+517≥500； 跳出循环，输出i=6．故选B ． 11、【解析】120AC =，60sin 75AB =
，sin 30sin 45
AB BC
=，
所以sin 45120(1)sin 30sin(3045)
AB BC =
==-+.选A
12、【解析】由题意,A B 两点为(，因此
ABC
S ∆==22(4)
22
b b +-≤
=，当且仅当224b b =-，即b =时等号成立．故最大值为2，选B ． 13、答案：1-=x y
【解析】（1）求切点：把1x =带入原函数，解得y=0，所以切点为(1,0) （2）求斜率：1
'(),'(1)1,f x f x
==根据点斜式写出方程： 1y x =- 14、答案：45
-
【解析】tan 2α=，222
20152sin cos 2tan 4
cos(2)sin 22sin cos 1tan 5
παααααααα--=-==-=-++ 15、答案：13
[,]42
【解析】根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，即ABC ∆的边界及其内部，因为
1
2
y x ++表示可行域内一点(),x y 和点()2,1P --
连线的斜率，由图可知1
2
PB PC y k k x +≤≤+，根据原不等式组解得()()2,0,0,2B C , 所以
01121113
22202422
y y x x ++++≤≤⇒≤≤++++.
16、答案：
324ππ+
【解析】如图，集合A 表示的点集是圆O
界），集合B 表示的点集是直线AB 2416S ππ=⨯=圆，
31
164412842S ππ=⨯+⨯⨯=+弓，12832
164P ππππ
++=
=
．
17、（本小题满分12分） （I ）6条道路的平均得分为
5.7)1098765(61
=+++++
…………3分 ∴该市的总体交通状况等级为合格. …………5分
（II ）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过5.0”. …………7分 从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：
)6,5(,)7,5(,)8,5(,)9,5(,)10,5(,)7,6(,)8,6(,)9,6(,)10,6(,)8,7(,)9,7(,)10,7(,)9,8(,)10,8(,)10,9(,共15个基本事件 …………9分
事件A 包括)9,5(,)10,5(,)8,6(,)9,6(,)10,6(,)8,7(,)9,7(共7个基本事件,………10分 ∴15
7
)(=
A P ． ……………………………………11分 答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过5.0的概率为15
7
.…………12分 18. （本小题满分12分）
解：（I ）过C 作AB CM ⊥，垂足为M ，因为,DC AD ⊥所以四边形ADCM 为矩
形．…………2分
所以2==MB AM ，又因为4,2==AB AD 所以22=AC ，2=CM ，22=BC 所以222AB BC AC =+，所以BC AC ⊥；…………4分
因为AF ⊥平面ABCD ，,//BE AF 所以BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥，……6分 又因为⊂BE 平面BCE ，⊂BC 平面BCE ，B BC BE =⋂
所以⊥AC 平面BCE ．…………………………………………………………8分 （II ）因为AF ⊥平面ABCD ，所以CM AF ⊥，
又因为AB CM ⊥，⊂AF 平面ABEF ，⊂AB 平面ABEF ，A AB AF =⋂
所以⊥CM 平面ABEF ．……10分
E BC
F C BEF V V --=3824261213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--CM EF BE CM S V V BEF BEF C BCF E ……………………12分 19、（本小题满分12分）
（I ）解析：当111,12n a a =+=时，解得11a =………1分
2n n S n a +=，① 当2,n ≥时11(1)2n n S n a --+-=②
①-②得1122n n n a a a -+=-即121n n a a -=+………………………………………3分 即112(1)(2)n n a a n -+=+≥又112a +=
所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列……………………………4分 即12n n a +=故21n n a =-（*n N ∈）…………………………………5分 （II ）(21)2n n n b n n n =-=⨯-…………6分
设23122232......2n n K n =⨯+⨯+⨯++⨯………………………①
23121222......2n n K n +=⨯+⨯++⨯………………………………②……7分
①-②得231222......22n n n K n +-=++++-⨯
1(1)22n n K n +=-⨯+………………………………………………………………9分
即1(1)22n n K n +=-⨯+， ∴1(1)
(1)222
n n n n T n ++=-⨯+-
，……………………………10分 21(1)22201582
n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，……………………11分
∴满足条件的最小正整数8n =…………………………………………12分．
20、解：（I ）由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F ∆的面积取最大值……1分
此时 12121
,2
PF F S F F OP bc bc ∆==∴= ……2分
1
,42
e b a ===……3分
所以椭圆方程为
22
11612
x y +=……4分 （II ）由（I ）得，则1F 的坐标为2,0-（）
…… 5分 因为0AC BD =,所以AC BD ⊥
①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得6814AC BD +=+= ……6分
②当直线AC 斜率0k k ≠存在且时，其方程为(2)y k x =+，设112,2(,)()A x y C x y ，
则点A 、C 的坐标是方程组22(2)11612
y k x x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩的解，
2222(34)1616480k x k x k +++-=…………7分
22121222
161648
,3434k k x x x x k k --+==++ ……………………8分 22224(1)
134k AC x k +=+=
+
此时直线BD 的方程为1
(2)y x k
=-
+…………………………………………………9分 同理由22
1(2)1
1612
y x k
x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2224(1)43k BD k +=+ 2222
222224(1)24(1)168(1)4334(43)(34)k k k AC BD k k k k ++++=+=++++……………………10分
令21t k =+，则 2
168
(1)112AC BD t t t +=
>-+…………………………11分
2
111,04t t t -><
≤，216896
[,14)1712AC BD t t
+=∈-+ 综上，AC BD +的取值范围是96
[,14]7
…………………………12分 21.解:（I ）()()
()()ab x a x b f x x a b x x
--'=-++
=
………2分 ()0f e '=，a e ≠ b e ∴=………3分
（II ）由（I ）得21()()ln 2
f x x a e x ae x =-++，()()
()x a x e f x x --'=
①当1a e
≤
时，由()>0f x '得x e >；由()0f x '<得1
x e e <<…………………4分
此时()f x 在1
(,)e e
上单调递减，在()e +∞，上单调递增.
2211
()()ln 022
f e e a e e ae e e =-++=-<，
242221112
()()2(2)(2)(2)()0222f e e a e e ae e e e a e e e e
=
-++=--≥-->……5分 （或当x →+∞时，()0f x >亦可）∴要使得()f x 在1
[,)e
+∞上有且只有两个零点，
则只需2111()ln 2a e f ae e e e e
+=-+222(12)2(1)02e e e a
e --+=
≥，即22122(1+)e a e e -≤…6分 ②当
1a e e
<<时，
由()>0f x '得1
x a e <<或x e >；由()0f x '<得a x e <<.此时()f x 在(,)a e 上单调递减，在1
(,)a e
和()e +∞，上单调递增. ……………………7分
此时2221
11()ln ln 0222
f a a ae ae a a ae ae e a =--+<--+=-<，∴此时()f x 在[)e +∞，至多只有一个零点，不合题意………8分 ③当a e >时，由()0f x '>得
1
x e e
<<或>x a ，由()0f x '<得e x a <<，………9分 ()f x 在1(,)e e 和()a +∞，上单调递增，在(,)e a 上单调递减，且21
()02f e e =-<，…10分
∴()f x 在1
[,)e
+∞至多只有一个零点，不合题意………………………11分
综上所述， a 的取值范围为2
212(]2(1+)
e e e --∞,
………12分 22.（本小题满分10分）
解：（I ）连结OE .∵点D 是BC 的中点，点O 是AB 的中点， ∴AC OD 2
1
//=
，∴A BOD ∠=∠，AEO EOD ∠=∠. ∵OE OA =，∴AEO A ∠=∠，
∴EOD BOD ∠=∠.在EOD ∆和BOD ∆中， ∵OE OB =，EOD BOD ∴∆≅∆， ∴90OED OBD ∠=∠=，即OE ED ⊥.
∵E 是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线. ……5分
（II ）延长DO 交圆O 于点F .∵EOD ∆≌BOD ∆，∴DB DE =. ∵点D 是BC 的中点，∴DB BC 2=.
∵,DE DB 是圆O 的切线，∴DE DB =.∴222DE DB DE BC DE =⋅=⋅. ∵OF AB OD AC 2,2==，
A
E
M
O
∴DF DM OF OD DM AB AC DM AB DM AC DM ⋅=+⋅=+⋅=⋅+⋅2)22()(. ∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线，
∴DF DM DE ⋅=2
，∴AB DM AC DM BC DE ⋅+⋅=⋅……10分
23．解析：（I ）将直线:
l 122x t y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数t
，化为普通方程0y --=，……………………2分
将cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩
0y --=
cos sin 0θρθ--=.…………4分
（II ）方法一：C 的普通方程为2240x y x +-=.………………6分
由22
40
y x y x --=+-=⎪⎩
解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩8分
所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,
)3π
，)6
π
.………………10分
方法二：由cos sin 0
4cos θρθρθ--==⎪⎩
，……………6分
得：sin(2)03
π
θ-
=，又因为0,02ρθπ≥≤<………………8分
所以2
53ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
或6ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,
)3π
，)6
π
.………………10分 24．解析：（I ）当1a =时，|21||21|2x x x -++≤+
1242
x x x ⎧
≤-⎪
⇒⎨
⎪-≤+⎩无解，111022222+x x x ⎧-<<⎪⇒≤<⎨⎪≤⎩，11222342x x x x ⎧≥⎪⇒≤≤⎨⎪≤+⎩……3分 综上，不等式的解集为2
{0}3
x x ≤≤.………………5分
（II ）|2||21|2x a x x -++≥+，转化为|2||21|20x a x x -++--≥ 令()|2||21|2h x x a x x =-++--，
因为a>0,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧
-+-≤-⎪⎪
⎪
=-+--<<⎨⎪
⎪
--≥⎪⎩
，………8分
在a>0下易得min ()12a h x =-,令10,2
a
-≥a
得 2.a ≥a ………………10分。