人教A版数学必修四1.4.2第2课时正、余弦函数的单调性与最值能力提升(含答案解析).docx

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1．若0<α<β<π4，a ＝2sin(α＋π4)，b ＝2sin(β＋π4
)，则( ) A ．a <b B ．a >b
C ．ab <1
D ．ab > 2
解析：选A.∵0<α<β<π4，∴π4<α＋π4<β＋π4<π2. 而正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，π2
]是增函数， ∴sin(α＋π4)<sin(β＋π4
)． ∴2sin(α＋π4)<2sin(β＋π4
)，即a <b . 2．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域为________．
解析：y ＝sin 2x －cos x ＝1－cos 2x －cos x ，
令cos x ＝t ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－t ＋1.
因此y ＝－(t ＋12)2＋54
(－1≤t ≤1)． ∴当t ＝－12时，y max ＝54
；当t ＝1时，y min ＝－1， ∴函数的值域是[－1，54
]． 答案：[－1，54
] 3．求下列函数的单调递增区间：
(1)y ＝1＋2sin(π6
－x )； (2)y ＝log 12
cos x . 解：(1)y ＝1＋2sin(π6－x )＝1－2sin(x －π6
)． 令u ＝x －π6
，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，
即π2＋2k π≤x －π6≤3π2
＋2k π(k ∈Z )． 亦即23π＋2k π≤x ≤53
π＋2k π(k ∈Z )， 故函数y ＝1＋2sin(π6
－x )的单调递增区间是 [23π＋2k π，53
π＋2k π](k ∈Z )．
(2)由cos x >0，得－π2＋2k π<x <π2
＋2k π，k ∈Z . ∵12<1，∴函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间即为u ＝cos x ，x ∈(－π2＋2k π，π2＋2k π)(k ∈Z )的递减区间，
∴2k π≤x <π2
＋2k π，k ∈Z . 故函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间为[2k π，π2
＋2k π)(k ∈Z )． 4．已知：f (x )＝2sin(2x ＋π6
)＋a ＋1(a ∈R ，a 为常数)． (1)若x ∈R ，求f (x )的最小正周期；
(2)若f (x )在[－π6，π6
]上最大值与最小值之和为3，求a 的值． (3)求在(2)条件下f (x )的单调减区间．
解：(1)∵2sin[2(x ＋π)＋π6
] ＝2sin[(2x ＋π6
)＋2π] ＝2sin(2x ＋π6
)， ∴函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1的最小正周期T ＝2π2
＝π. (2)x ∈[－π6，π6]⇒2x ∈[－π3，π3
]⇒ 2x ＋π6∈[－π6，π2
]． ∴－12≤sin(2x ＋π6
)≤1. 即{ f (x )max ＝2＋a ＋1＝3＋a f (x )min ＝－1＋a ＋1＝a ，∴2a ＋3＝3⇒a ＝0.
(3)f (x )＝2sin(2x ＋π6
)＋1. 当π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2
＋2k π， 即π6＋k π≤x ≤2π3
＋k π时， f (x )＝2sin(2x ＋π6
)＋1为减函数． 即在(2)条件下f (x )的单调减区间为[π6＋k π，2π3
＋k π](k ∈Z )．。