你认为的数字e

数字e
e一直困扰着我——不是字母，而是数学常数。

它的真正含义是什么？
数学书籍，甚至我心爱的百度百科都使用钝的术语来描述e：
●数学常数e 是自然对数的底数。

当您查找自然对数时，您会得到：
●自然对数，以前称为双曲对数，是以 e 为底的对数，其中 e 是一个约等于
2.718281828459 的无理常数。

那里有很好的循环引用。

这就像一本用拜占庭定义迷宫的字典：它是正确的，但没有帮助。

像“复杂”这样的日常用语有什么问题？
我不是在选择维基百科——许多数学解释在追求严谨性方面是枯燥而正式的。

但这并不能帮助初学者尝试掌握一个主题（而且我们曾经都是初学者）。

不再！今天，我将分享我对 e 是什么以及它为何如此受欢迎的直观、高层次的见解。

再次保存您严谨的数学书。

e 不仅仅是一个数字
将 e 描述为“一个大约为 2.71828……的常数”就像将π称为“一个无理数，大约等于3.1415……”。

当然，这是真的，但你完全没有抓住重点。

π是所有圆共享的周长和直径之比。

它是所有圆固有的基本比率，因此会影响圆、球、圆柱等的周长、面积、体积和表面积的任何计算。

π很重要，它表明所有圆都是相关的，更不用说从圆（sin、cos、tan）导出的三角函数了。

e 是所有持续增长的过程共享的基本增长率。

e 让您采用简单的增长率（所有变化都发生在年底）并找出复合持续增长的影响，其中每一纳秒（或更快）您只增长一点点。

每当系统呈指数和持续增长时，e 就会出现：人口、放射性衰变、利息计算等等。

即使是不平滑增长的锯齿状系统也可以用e 来近似。

就像每个数字都可以被认为是1（基本单位）的缩放版本，每个圆都可以被认为是单位圆（半径1）的缩放版本，每个增长率都可以被认为是e（单位）的缩放版本。

增长，完美复合）。

所以e并不是一个晦涩的、看似随机的数字。

e 代表这样一种想法，即所有不断增长的系统都是通用速率的缩放版本。

理解指数增长
让我们先看看一个基本系统，它在一段时间后翻倍。

例如，
● 细菌可以每 24 小时分裂和“翻倍”
● 当我们把它们对折时，我们得到两倍的面条。

● 如果您获得 100% 的回报，您的钱每年都会翻倍（幸运！） 它看起来像这样：
一分为二或加倍是一种非常常见的进展。

当然，我们可以三倍或四倍，但加倍很方便，所以和我一起在这里。

在数学上，如果我们有 x 次分裂，那么我们得到
x
2
是我们开始时的两倍。

通过 1 次拆
分，我们有12或 2 倍。

我们有 4 次拆分1624=倍。

作为一个通用公式：
增长 =x
2
换句话说，翻倍就是 100% 的增长。

我们可以像这样重写我们的公式：
增长 =x
%)1001(+
这是相同的等式，但我们将 2 分为实际值：原始值 (1) 加上 100%。

聪明，嗯？
当然，我们可以用任何数字（50%、25%、200%）代替 100%，并得到新利率的增长公式。

所以 x 期回报的一般公式是：
x
1(+
=
growth)
retoun
这只是意味着我们使用我们的回报率，（1 + 回报），“x”次。

近距离观察
我们的公式假设增长以离散的步骤发生。

我们的细菌在等待，等待，然后繁荣，它们在最后一刻翻倍。

我们的利息收入神奇地出现在1 年标记处。

根据上面的公式，增长是间断的并立即发生。

绿点突然出现。

世界并不总是这样。

如果我们放大，我们会看到我们的细菌朋友随着时间的推移而分裂：
格林先生不只是出现：他慢慢地从蓝色先生身上长出来。

经过1 个单位的时间（在我们的例子中为24 小时），格林先生完成了。

然后他变成一个成熟的蓝色细胞，并可以创造自己的新绿色细胞。

这些信息会改变我们的方程式吗？
不。

在细菌的情况下，半形成的绿色细胞在它们完全生长并与它们的蓝色亲本分离之前仍然不能做任何事情。

等式仍然成立。

金钱改变一切
但是钱就不一样了。

只要我们赚到一分钱利息，那一分钱就可以开始赚取自己的微分钱。

我们不需要等到我们赚到一美元的利息——新的钱不需要成熟。

根据我们的旧公式，利息增长如下所示：
但同样，这不太正确：所有的兴趣都出现在最后一天。

让我们放大并将年份分成两部分。

我们每年赚取100% 的利息，或每6 个月赚取50%。

所以，我们前6 个月赚50 美分，下半年再赚50 美分：
但这仍然不对！当然，我们最初的一美元（蓝色先生）在一年的时间里赚了一美元。

但6 个月后，我们有一块50 美分的硬币，准备好了，我们忽略了！那50 美分本可以靠自己赚钱：
因为我们的利率是每半年50%，那50 美分就可以赚25 美分（50% 乘以50 美分）。

在1 年结束时，我们将有
●我们的原币（蓝先生）
●蓝先生赚的钱（格林先生）
●格林先生制作的25 美分（红色先生）
总共给了我们2.25美元。

我们从最初的美元中获得了1.25 美元，甚至比翻倍还要好！
让我们把我们的回报变成一个公式。

50% 的两个半周期的增长为：
1(2=
+
=
100
growth
25
.2
)2/
%
深入研究复合增长
是时候把它提升一个档次了。

与其将增长分为两个增长50% 的时期，不如将其分为 3 个增长33% 的部分。

谁说我们必须等待 6 个月才能开始获得兴趣？让我们在计数时更加细化。

绘制我们3 个复合时期的增长图表给出了一个有趣的画面：
把每种颜色想象成向其他颜色（它的孩子）铲钱，每期33%：
●第0 个月：我们从蓝色先生开始，价格为1美元。

●第4 个月：Blue 先生自己赚了1/3 美元，并创造了Green 先生，同时赚了33 美
分。

●第8 个月：Blue 先生又赚了33 美分，并将其交给了Green 先生，使Green 先生
的收入达到66 美分。

格林先生实际上赚了他之前价值的33%，创造了11 美分（33% * 33 美分）。

这11 美分变成了红色先生。

●第12 个月：事情变得有点疯狂。

蓝先生又赚了33 美分，然后把它铲给了格林先生，
让格林先生赚了1 美元。

格林先生的第8 个月价值（66 美分）的回报率为33%，即
22 美分。

这22 美分加到Red 先生身上，他现在总共有33 美分。

而以11 美分起
步的Red 先生，自己赚了4 美分（33% * 0.11），创造了紫色先生。

呼！12 个月后的最终值是：1 + 1 + .33 + .04 或约2.37。

花一些时间来真正了解这种增长发生了什么：
●每种颜色都会引起自己的兴趣，然后将其交给另一种颜色。

新创造出来的钱可以自己赚
钱，循环往复。

●我喜欢认为原始数量（蓝色先生）永远不会改变。

蓝先生花钱创造了格林先生，自从蓝
色先生没有改变以来，每4 个月稳定33 次。

在图中，Blue 先生有一个蓝色箭头，显示他如何喂养Green 先生。

●格林先生恰好创造并喂养了红色先生（绿色箭头），但蓝色先生并不知道这一点。

●随着格林先生随着时间的推移不断成长（被蓝色先生不断喂养），他对红色先生的贡献
越来越大。

在第4-8 个月之间，Green 先生给了Red 先生11 美分。

在第8 个月到第12 个月之间，格林先生给了红先生22 美分，因为格林先生在第8 个月的收入为
66 美分。

如果我们扩大图表，格林先生会给红先生33 美分，因为格林先生到第12 个
月达到了整整一美元。

有道理？一开始很难——我什至在整理图表时让自己有点困惑。

但是请注意，每一美元都会创造出很少的帮手，而帮手又会创造出帮手，依此类推。

我们通过在增长方程中使用 3 个时期得到一个公式：
1(3=
+
=
growth
100
37037
.2
)3/
%
我们赚了1.37美元，甚至比我们上次得到的1.25美元还要好！
我们可以获得无限的金钱吗？
为什么不花更短的时间呢？每月、每天、每小时甚至纳秒怎么样？我们的回报会飙升吗？
我们的回报变得更好，但只是在一定程度上。

尝试在我们的魔术公式中使用不同数量的n 来查看我们的总回报：
n (1 + 1/n)^n
-----------------------
1 2
2 2.25
3 2.37
5 2.488
10 2.5937
100 2.7048
1,000 2.7169
10,000 2.71814
100,000 2.718268
1,000,000 2.7182804
...
数字变大并在 2.718 附近收敛。

嘿……等一下……看起来像e ！
约扎。

在极客数学术语中，e 被定义为增长率，如果我们在越来越小的时间段内不断复合 100% 的回报：
完美复合增长= e =n n n
)11(lim +∞→
此限制出现收敛，并有是 证明该效果。

但正如您所看到的，随着我们采用更精细的时间段，总回报保持在 2.718 左右。

但这一切意味着什么？
数字 e (2.718…) 是在一个时期内复合 100% 增长时的最大可能结果。

当然，您一开始期望从 1 增长到 2（这是 100% 的增长，对吧？）。

但每向前迈出一小步，你就会创造一点红利，红利开始自行增长。

当一切都说了又做了，你在 1 个时间段结束时得到 e (2.718…)，而不是 2。

e 是最大值，当我们尽可能地复合 100% 时会发生什么。

因此，如果我们从1.00美元开始并以 100% 的回报连续复合，我们将得到 1e 。

如果我们从$ 2.00开始，我们会得到 2e 。

如果我们从11.79美元开始，我们会得到 11.79e 。

e 就像一个速度限制（如 c ，光速），表示使用连续过程可以增长多快。

您可能不会总是达到速度限制，但这是一个参考点：您可以根据这个通用常数来写出每个增长率。

（旁白：小心将增长与最终结果分开。

1 变成 e (2.718…) 是增长（增长率）171.8%。

e 本身是考虑所有增长后观察到的最终结果（原始+增加））。

不同的费率呢？
好问题。

如果我们每年增长 50% 而不是 100% 会怎样？我们还能用e 吗？
让我们来看看。

50% 的复合增长率如下所示：
n
n n
)50.1(lim +∞→ 嗯。

我们可以在这里做什么？请记住，50% 是总回报，n 是将增长划分为复利的时期数。

如果我们选择 n=50，我们可以将我们的增长分成 50 个 1% 的部分：
5050)01.1()%1001(+=+n
当然，它不是无穷大，但它非常细化。

现在想象一下，我们还将 100% 的常规比率划分为 1% 的块：
100100
)01.1()100
00.11(+=+≈e
啊，这里出现了一些东西。

在我们的常规案例中，我们有 100 个累积变化，每个变化为 1%。

在 50% 的情况下，我们有 50 个累积变化，每个变化 1%。

这两个数字有什么区别？嗯，这只是更改数量的一半：
2/12/11002/10050))01.1(()01.1()01.1(e =+=+=+
这很有趣。

50 / 100 = .5，这是我们提高 e 的指数。

这通常有效：如果我们有 300% 的增长
率，我们可以将其分成 300 个 1% 的增长块。

这将是净利率正常金额的三倍3e .
尽管增长看起来像是加法 (+1%)，但我们需要记住它实际上是乘法 (x 1.01)。

这就是为什么
我们使用指数（重复乘法）和平方根（2/1e 表示变化次数的“一半”，即乘法次数的一半）。

尽管我们选择了 1%，但我们也可以选择任何小的增长单位（0.1%、0.0001%，甚至是无穷小的数量！）。

关键是对于我们选择的任何速率，它只是 e 上的一个新指数：
rate
e
growth=
不同的时间呢？
假设我们在2 年内有300% 的增长。

我们将乘以一年的增长（）通过它自己：
6
2
3)
(e
e
growth=
=
一般来说：
tim e
rate
tim e
rate e
e
growth•
=
=)
(
由于指数的魔力，我们可以避免使用两个幂，而只需将速率和时间乘以一个指数即可。

大秘密：e 合并了速率和时间。

这是野生的！可能意味着两件事：
●x 是我们乘以增长率的次数：3 年100% 的增长是
3 e
●x 是增长率本身：一年300% 的增长率是
3 e
这种重叠不会混淆吗？我们的公式会被打破，世界会走到尽头吗？
一切顺利。

当我们写，变量是速率和时间的组合。

X=rate*time
让我解释。

在处理持续复合增长时，10 年3% 的增长与 1 年30% 的增长（之后没有增长）具有相同的总体影响。

●10 年3% 的增长意味着30 次1% 的变化。

这些变化发生在10 年以上，因此您每年
以3% 的速度持续增长。

● 1 个30% 的增长期意味着30 次1% 的变化，但发生在一年内。

所以你每年增长30%
然后停止。

在每种情况下都会发生相同的“1% 的30 次变化”。

您的比率(30%) 越快，达到相同效果（1 年）所需的时间就越短。

您的增长率(3%) 越慢，您增长所需的时间就越长（10 年）。

但在这两种情况下，增长都是
35
.1
30=
e到底。

我们不耐烦，更喜欢大的、快速的增
长，而不是缓慢、长期的增长，但e 表明它们具有相同的净效应。

所以，我们的通用公式变为：
rt x e e growth ==
如果我们在t 时间段有r 的回报，我们的净复合增长率为rt e . 顺便说一下，这甚至适用于
负回报和分数回报。

示范时间！
例子让一切变得更有趣。

快速说明：我们已经习惯了这样的公式以及很容易混淆的常规复利（包括我自己）。

阅读更多关于简单、复合和持续增长的信息。

这些例子侧重于平稳、持续的增长，而不是每年发生的跳跃式增长。

有多种方法可以在它们之间进行转换，但我们会将其保存到另一篇文章中。

示例 1：生长晶体
假设我有 300 公斤的魔晶。

它们之所以神奇，是因为它们全天都在生长：我看着一颗水晶，在 24 小时内，它在水晶中摆脱了自身的重量。

（婴儿晶体立即以相同的速度开始生长，但我无法追踪——我正在观察原始棚子的数量）。

10 天后我会有多少？
好吧，由于晶体立即开始生长，我们希望持续生长。

我们的比率是每 24 小时 100%，因此 10 天后我们得到：million e 6.630010
1=•• KG 我们的魔法宝石。

这可能很棘手：注意输入速率和总输出速率之间的差异。

“输入”率是单晶的变化量：24 小时内 100%。

净产出率为 e (2.718x)，因为婴儿晶体会自行生长。

在这种情况下，我们有输入速率（一个晶体的生长速度），并希望得到复合后的总结果（由于小晶体，整个组的生长速度）。

如果我们有总生长率并想要单晶的生长率，我们可以反向计算并使用自然对数。

示例 2：最高利率
假设我的账户中有 120美元，利息为 5%。

我的银行很慷慨，给了我最大可能的复利。

10年后我会有多少？
我们的利率是 5%，我们很幸运能够连续复利。

10年后，我们得到
85.1971201005.=••e . 当然，大多数银行都不够好，无法为您提供最佳利率。

你的
实际回报和连续回报之间的区别在于他们不喜欢你的程度。

示例 3：放射性衰变
我有 10 公斤放射性物质，它似乎以每年 100% 的速度不断衰减。

3年后我有多少钱？
压缩？零？没有什么？再想想。

以每年 100% 的速度持续衰减是我们开始的轨迹。

是的，我们确实从 10 公斤开始，预计到年底“全部减掉”，因为我们每年减重 10 公斤。

我们去了几个月，达到了 5 公斤。

还剩半年？不！现在我们以每年 5 公斤的速度减掉，所以从这一刻起我们还有整整一年的时间！
我们再等几个月，体重达到2公斤。

当然，现在我们以每年 2 公斤的速度衰减，所以我们有一整年（从这一刻开始）。

我们得到 1 公斤，一整年，达到 0.5 公斤，一整年——看到模式了吗？
随着时间的推移，我们会失去物质，但我们的衰变速度会减慢。

这种不断变化的增长是不断增长和衰退的本质。

3年后，我们将拥有498.10103)3)(1(==•--e e
KG. 我们使用负指数来表示衰减——我们想要一个分数 (rt e /1) 与增长乘数 (rt e ）。

[衰减通常用“半衰期”来表示——我们将
在以后的文章中讨论如何转换这些比率。

]
更多例子
如果您想要更高级的示例，请尝试使用Black -Scholes 选项公式（注意 e 用于值的指数衰减）或放射性衰变。

目标是看到 在一个公式中并理解它为什么存在：它正在模拟一种增长或衰退。

现在你知道为什么它是“e ”，而不是 pi 或其他一些数字：e 提高到“r*t ”给出了速率 r 和时间 t 的增长影响。

还有更多东西要学
我的目标是：
● 解释为什么 e 很重要：它是一个基本常数，如 pi ，显示在增长率中。

● 给出一个直观的解释： e 让你看到任何增长率的影响。

每一个新的“片断”（格林先生、
红先生等）都有助于增加总的增长。

● 显示它是如何使用的： 让您预测任何增长率和时间段的影响。

● 让你渴望更多：在接下来的文章中，我将深入探讨 e 的其他属性。

这篇文章只是一个开始——把所有东西都塞进一页会让你和我都感到疲倦。

擦掉身上的灰尘，休息一下，了解 e 的邪恶双胞胎，自然对数。